OR RAD TA AC PEU RE UN
où P(u) est un polynôme en « de degré m, dans lequel le coefficient de uw” est l'unité, les autres coefficients étant des séries entières eu x,
...,Y;2,t, convergentes dans 0, et s’annulant toutes à l'origine, et où
o, est une série entière en &æ....,y,24,t,u convergente dans d et ne
s'annulant pas dans 4.
30 Pierre Cousin.
De là résulte que les zéros de o(x,...,y,2,t,u) forment dans le
voisinage de l’origine une multiplicité à 2(n — 1) paramètres réels. Si 6m Vs, 2,00). Ét 20 (D: 0, RIT M) RONtPdeURrECNe tee tiéres en %,...,y,2,t,u sannulant à l’origine, deux cas peuvent se
présenter: ou bien ces deux séries admettent un diviseur commun (au sens donné à ce mot par M. Wgrersrrass); leurs zéros communs forment alors, dans le voisinage de l'origine, une multiplicité à 2(n — 1) paraméêtres réels; ou bien il n'y a pas de diviseur commun; les zéros communs à o et o forment alors, dans le voisinage de l'origine, une multiplicité à 2(n— 2) paramètres réels; dans ce dernier cas si le nombre des variables est » — 2, l’origine est un zéro commun isolé.
PRES USD NTS A) GNBIR TS Ter ND SEL) et o n’ont pas de diviseur commun, c'est-a-dire si leurs Zéros forment
La fraction
est dite irréductible à l’origine si &
une multiplicité à 2(n — 2) parametres réels dans le voisinage de l’origine.
La fraction 7 sera dite irréductible en un point (a,...,b,c,d,e)
où les fonctions W et V sont régulières, si W et V étant développées suivant les puissances entières de 4—a,...,y—b,2—c,t—d,u—e, la fraction obtenue est irréductible au point (a,...,b,c,d,e), au sens
sr ' EN : W cue : re qui vient d’être donné à ce mot; la fraction 7 Sera irréductible à l'in-
térieur de :(5,,8,..%,%), ou-,W ‘ét Font shpposces rés uHerc, 10H est 1rréductible en tout point intérieur à (s,, 5,,...,8,); ou bien, ce qui revient au même, si dans le voisinage de tout zéro commun à W et V intérieur à (s,,8,,...,s,) les zéros communs à W et V forment une multiplicité à 2(n— 2) dimensions; dans le cas de deux variables (n — 2), les zéros communs devront étre des points isolés.
Voici une dernière propriété connue des fractions dont les deux
termes sont des fonctions régulières; si W, V, W,, V, sont quatre fonc-
12 1 è , s | } Ù r: à : Li AN:
tions régulières dans une même aire et si les deux fractions TT sont toutes les deux irréductibles et égales entre elles à l'intérieur de cette
A est régulier et différent de o à l'intérieur de l'aire
aire, le quotient considérée,
16. Soit ® une fonction des # variables complexes æ,...,y,2,t,u
Sur les fonctions de n variables complexes. O1
? \ Q EC . SL n'admettant à l’intérieur de (8, , 8,,..., S,) que des singularités non essentielles; ce qui signifie que si (&a,...,b,c,d,e) est un point quelconque-intérieur. à (9,,5,,.:.,46,);-on aura, à l’intérieur d'un cercle
Luca de centre (a,...,b,c,d,e) et de rayon convenablement choisi:
De Wa,...,b,e,d,e
Va,...,b,e,d,e
OÙ Wu badge € V sont deux séries entières en 4—&@,...,y—b,2—c,
a. be, de t—d,u—e, convergentes à l'intérieur de 17,4. et choisies de telle sorte que la fraction précédente soit irréductible à l'intérieur du cercle Dvedes Ce dernier cercle peut toujours étre supposé de rayon assez petit pour étre tout entier intérieur à (8, , 8,,...,48,) Dès lors, si (a, .….,b!,c,d',e!) est un: point intérieur. à 17,5, on-aura dans le voisinage de ce point:
Wade de mu. 0,c;d,e,
Eu ?
Va... b,e,d,e Var biesdie
ces deux fractions étant irréductibles, on en conclut que le quotient
Va,.….,b,e,d, # . rer : z nue est régulier et différent de o au point (a’,..., b', €’, d', e'). Ua',...,b',c',d',e' T -
On peut, d'après cela, appliquer aux fonctions v,..se41, 1e théorème VI: il existe une fonction V de æ,...,y,2,t,u, régulière à l'intérieur
: V : Ne ei de (s,,5,,...,s,) et telle que le quotient ——— soit régulier et diffé- Va,.….,b,e,d,e reutide O at point: (4,::.,0,0,.d,6),intérieur an(s,e 5); te0jt: nn Led)
Va... b,e,d,e on à également dans le domaine du point (a,...,d,c,d,e)
De Wa,...,b,e,d,e
Va,.…..,b,e,d,e
D ° y Wa... be de AIRES
égalité qui montre que le produit ®.V est une fonction W révulière en
(en)
Do Picrre Cousin.
tout point (&,...,0,c,d €) intérieur à (s,,5,,...,8,); par conséquent l’on a:
W et V étant régulières à l’intérieur de (s,,s,,...,8,).
à e W . ; e \ , (AR EQ La fraction 7 St irréductible à l’intérieur de (s,,...,8,); car on
a dans le domaine de tout point (a,...,b,c,d,e) intérieur à (s,,5,,...,8,):
L4 a Ta..b,e,d,e © À: ,0,c,d,e3
| | ra Wa...b,e,de Q RSR TO
: : W dbeas ne Sannulant pas au point (@,...,b,c,d,e), la fraction T est
irréductible en ce point comme la fraction —°".
On a donc le théorème suivant:
Théorème VII Si une fonction ® des n variables x ,...,y,2,t,u,
n'admet à l'intérieur de (S,, 8, ,..., 8) que des singularités non essen-
tielles, elle est égale à l’intérieur de (s,,5,,...,s8,) à la fraction FT dont
les deux termes sont des fonctions régulières à l'intérieur de (s,,5,,...,s,) et qui est irréductible à l'intérieur de (s,,5,,...,s8,).
17. Dans les théorèmes précédents, il a été constamment supposé que (s,,8,,...,8,) étaient des aires connexes, limitées par des contours fermés, et, par conséquent, d’étendue finie; il a été supposé de plus que (SES LORS) étaient réepectiveimebt INMÉMENTÉ LAS USE re OA 0e telle sorte que les périmètres de $,,8,,...,8, peuvent être choisis aussi voisins que l’on veut des périmêtres de 8,,8,,..., 8, mais non confondus avec eux. La suite du présent travail a pour but de démontrer que
tous les théorèmes précédents subsistent lorsque s,,s,,..., 8, sont confondus avec S,,8,,..., S,, ces dernières aires étant limitées par des
contours fermés ou non fermés, dont la nature sera précisée plus loin. Cette extension, dans le cas général, exigeant la démonstration de plusieurs propositions préliminaires, fera l'objet de la quatrième partie.
Sur les fonctions de % variables complexes. 33
Dans le cas particulier où chacune des aires S,,8,,...,8, est un cercle, le problème est plus simple, et je vais l’exposer dans les paragraphes suivants.
18. Théorème VII Soi y un ensemble de cercles y. ,7,,...,7,, tracés respectivement sur les plans des n variables x,...,y,2,t,u et ayant pour centres les origines des coordonnées dans les différents plans et des rayons finis ou infinis. On suppose qu'à chaque point (a,...,b,c,d,e) intérieur à y correspondent:
ne
un cercle [sea de centre (a, ..….,b,c,d,e) compris à l’intérieur de y;
2° une fonction fa.veae(® y» .:» Yy 2yt, U) MOnotrope et Sans espace lacunaire, définie à l'intérieur de 1 voa, et telle que si (a, ..., b',c',d’,e') est un point intérieur à [pour les. deux fonctions fa: voa Le.» Yr8st 4) et favede(® sr... Y,8,t,u) soient équivalentes au point (a’,…, D',c',d',e).
Il existe une fonction monotrope et sans espace lacunaire F(x,.….,y,2,t,u) définie à l'intérieur de y et équivalente en tout point intérieur à y à la fonction qui correspond à ce point.
Théorème VIII. A lieu de supposer, comme dans l'énoncé précédent chacune des fonctions fi peaelt 5.3 8, t,U) Monotrope el sans espace lacunaire, on peut supposer que chacune d'elles est le logarithme d'une fonction Vabede(T sr... Yy8,t,4) régulière à l’intérieur de I, 5.3, et telle que si (a',...,0",c', d',e'’) est un point intérieur à 7, 5ea, le quotient
De ss U,8, L, u) Va’... bd ,d',e (Æ se.) 7,%, t, u)
soit régulier et différent de o au point (a',...,0,c, d', e').
Il existe alors une fonction F(x,...,y,2,t,u) définie à un multiple près de 2ix à l’intérieur de 7, et équivalente en chaque point intérieur à 7 à la fonction correspondant à ce point.
Démonstration du théorème VII J'imagine à l’intérieur de chacun des n cercles y, (p—1,2,...,n) de l'énoncé, une suite indéfinie de cercles concentriques 71,72,...,7»,... dont les rayons vont en croissant avec l'indice supérieur, de telle sorte que 7} ait pour limite y, lorsque m augmente indéfiniment; dans le cas où le cerele 7, a un rayon infini, le rayon de y* devra augmenter indéfiniment avec m»; je désignerai par
7" l’ensemble des » cercles 77,75, ., 72. D’après les notations et con-
Acta mathematica. 19 Imprimé le 25 avril 1694. 5
34 Pierre Cousin.
ventions adoptées, nous dirons que j',7°,...,7",... est une suite infinie de cercles, tous intérieurs à 7, dont chacun est intérieur au suivant, et tels que 7” ait pour limite 7 pour m augmentant indéfiniment: cette derniére condition revient à dire que si (a,...,b,c,d,e) est un point quelconque intérieur à y, on peut choisir # assez grand pour que le point considéré soit à l’intérieur de 7”.
Le cercle y" étant intérieur à y, il existe, d'après le théorème IV, une fonction monotrope et sans espace lacunaire, ç,,, des variables %,..., y,2,t,u, définie à l’intérieur de y” et équivalente en tout point intérieur à y" à Ia fonction de l'énoncé correspondant à ce point. Il est clair qu'on aura une autre fonction satisfaisant aux mêmes conditions en retranchant de &, un polynôme quelconque entièr en %,..:,y,4%,1t,u. À chaque cercle 7" (m—1,2,...+ ©) correspond ainsi une fonction @,.
Considérons la différence
\] L] Pn+1 TS Pm — Om
elle est régulière en tout point intérieur à 7", car en un tel point ç,.; et &, sont équivalentes à une même fonction; 9, peut donc être considérée comme une série entière .eny ®, : : 9%, 26 , .convergente “dans: J’appelle À, la série obtenue en remplaçant dans d, chaque terme par son module.
Soit €,,€,,..., €»)... une suite indéfinie de nombres positifs dont la somme constitue une série convergente.
Jendisrque lés fonctionsidé la suite mndéinie 6. "9... peuvent être choisies de telle sorte qu’à l’intérieur de 7’ on ait:
A; << Em * (m=2,3, oo)
En effet, supposons que les #— 1 premières fonctions: @,,9,,...,@, satisfassent à la condition précédente; je vais montrer que &,,; peût être choisie de façon à y satisfaire également.
Il existe en effet une fonction d,,, dexæ,...,y,2,t,% monotrope et sans espace lacunaire définie à l’intérieur de }>“*! et équivalente en tout point intérieur à 7"!" à la fonction qui correspond à ce point dans l'énoncé. On devra prendre pour Pru une fonction équivalente à
+1 \ rue FA . . . r Te k à l'intérieur de 7", et satisfaisant de plus à l'inégalité prescrite.
