À, AE

La fonction ç,,, ainsi déterminée satisfait aux conditions imposées.

On déterminera ainsi de proche en proche toutes les fonctions @,,, 3»--. satisfaisant à la condition prescrite.

Je définis une fonction F{x,...,y,2,t,u) à l’intérieur de y par la condition suivante: à l’intérieur de 7? (p > 2) on a:

7 = ns ’ è + A (1) Fo, ...,y,8,1,0) = Pen + Zôs, Tr = la série: 2 9,,, est une fonction régulière à l’intérieur de 7?; car à l'inr=1l

térieur de ce cercle on a la suite d’imégalités:

AT, = Entre (A 27.510001)

36 Picrre Cousin.

Dés lors, d'après une propriété connue des séries à double entrée, la = a

série 20,,, peut être ordonnée suivant les puissances entières et positives

de æ,...,y,2,t,4u et conduit ainsi à une série convergente dans 7°. L'expression (1) définit donc une fonction bien déterminée à l’in-

térieur de 7”. Il reste à montrer que deux quelconques des expressions

de F(x,...,y,2,t,u) fournissent bien la même fonction. Soit (& étant

un entier positif) les deux expressions:

F(o,...,y,48,t,u) = qu + Zôs,

et:

LS AR MR Re Z pres dont la première . définit F(4,...,9,23,1;u) à l'intérieur de 7" et la

deuxième à l'intérieur de 7?’*"; elles définissent donc simultanément F(x,...,y,2,t,u) à l'intérieur de 7”; pour vérifier que ces deux expressions sont identiques, il suffit de se rappeler que:

Optr — Pptrti Pr+r:

La fonction F(x,...,y,2,t,u) satisfait à toutes les conditions de l'énoncé; car si (a,...,d,c,d,e) est un point intérieur à ;, 6e point est intérieur à 7”, p étant choisi assez grand. La fonction est done définie dans le domaine du point (a,...,b,c;d,e) par:

= © Fa ( DA —— S 1 HE 5: ses Y,&; t, u) rt Ppr1 1 Zôp4r, ee la série du second membre étant une fonction régulière dans ;, HP, My 25 Fu) eEt'équivalenté au DOME, ee ie) er nc PATATE AN RTC) Démonstration du théorème VIII Cette démonstration est analogue à la précédente: la seule différence consiste en ce que les fonctions @,, Dis Ft, ...,y,2;t,u) ne sont considérées comme définies qu'à un multiple près de 2i7. Il n'en est pas de même des séries 9 dont chacune

est déterminée sans ambiguïté. On est, en effet, conduit à poser comme

Sur les fonctions de % variables complexes. 37

dans la démonstration précédente, les notations conservant un sens analogue :

Du ne re

chacune des déterminations de Durs — 9, est régulière dans 7#; €, désignera le, développement en série de l’une quelconque de ces déterminations, choisie arbitrairement; on décompose ensuite ei

(e nr — E GE 0

0, est ainsi définie sans aucune ambiguïté.

19.. Dans le cas du théorème VIII, en posant: V(t,...,9,8,4, 0) = etronnin

par un raisonnement déjà fait, W(x,...,y,2,t,u) est une fonction régulière dans y; ou si l’on veut, est une série entièreenæ,...,y,2,t,4 convergente dans 7. D’où le théorème:

Théorème IX. Si à chaque point (a,...,b,c,d,e) intérieur à y correspondent:

1% yn cercle Ti sise de centre (an. by; ed, ejretintérieurrèvr; 2° une fonction 0. beue(E 5°.» Y, 84,4) régulière dans Loue €t telle que si (a',..., 0", c', d', e') est un point intérieur à 17. seu, le quotient mers ANUS US) PORTE DUC TE EU RCE AE)

Il existe une série entière en x,...,y,2,t,u, V(x,.….,y,2,t,u) con-

soit régulier et différent de o au point (a',….,b',c',d', ce’).

vergente dans y et telle que, en tout point (a,...,b,c,d,e) intérieur à 7, ÉCRAN MN AE) OR ER) Théorème X. Si une fonction ® des n variables x,...,y,2,t,u

le quotient soit régulier et différent de o.

n'admet à l'intérieur de 7 que des singularités non essentielles, elle est le quotient de deux séries entières convergentes dans y, et telles que la fraction obtenue soit irréductible dans y.

Par une démonstration identique à celle du paragraphe 16, où l’on

remplace (8, 8,,..., 8) et (s,,5,,...,S,) tous les deux par 7, on voit que ® est le quotient de deux fonctions régulières dans y, et par suite

38 Pierre Cousin. °

le quotient de deux séries entières en æ%,y,...,2,t,4u convergentes

dans 7.

20. Supposons que les » cercles 7,,7,,..., 7; qui composent y, aient tous des rayons infinis; le théorème précédent, devient le théorème de M. PoincaRrE£:

Si une fonction ® des n variables x,...,y,2,t,u nadmet à distance finie que des singularités non essentielles, elle est le quotient de deux fonctions entières de x,...,y,2,t,u, telles que la fraction obtenue soit irréductible en tout point à distance finie.

Es

G'énéralisation des théorèmes précédents.

21. J'ai indiqué précédemment le but de cette quatrième partie. L'objet des propositions préliminaires que je vais établir est le suivant: je me suis servi dans la démonstration du théorème VIT d’une propriété bien connue: si une fonction f(x,...,y,z,t,u) des n variables complexes Z,...,Y,2,t,u est régulière à l'intérieur et sur le périmètre de » cercles tracés sur les plans respectifs des » variables, il existe un polynôme entier LL 32,0, utel ‘quésà différence 4vec Tafonétion /(x, "y, 2, 6,4) ait, à l'intérieur des » cercles, un module plus petit qu’un nombre positif e donné à l'avance. Il s’agit d'étendre cette proposition au cas où, aux n cercles, on substitue # contours fermés quelconques; si chacun de ces n contours est à connexion simple, je montrerai que le polynôme existe encore; si les contours sont à connexion multiple, en général le polynôme répondant à la question n'existe pas; mais on peut, au lieu du polynôme, trouver une fonction rationnelle de æ,...,y,2,#,u satisfaisant à la condition précédente.

J'entends par contour fermé simple, une ligne conrexe fermée, ne

présentant aucune boucle; d'après cela un contour fermé sinple partaoc

Sur les fonctions de % variables complexes. 39

tout le plan en deux aires connexes: l’une intérieure au contour, l’autre extérieure, là première d’étendue finie, la seconde d’étendue infinie.

22. Je donnerai d’abord la démonstration sommaire des deux propositions suivantes.

Soient /' et /” deux cercles tracés respectivement sur les plans des deux variables + et y, ayant pour centres les origines des coordonnées et pour rayons À et Æ.

1% Si ft, y) est une fonction des deux variables x et y régulière pour x intérieur à Let pour y extérieur à I"; si, de plus, f(x , y) tend vers O pour y augmentant indéfiniment, æ conservant une valeur constante

intérieure à 1’, la fonction f(x, y) est développable suivant une série entière

I Give ; .

en x et GE absolument convergente pour x dans I" et y extérieur à 1”; soit: ACL RD PET AT BE (a=0,12,,+o, Bla +æ)

J’exprimerai plus brièvement les conditions auxquelles f(x, y) est supposée satisfaire dans cet énoncé, en disant qu’elle est réguliére pour æ dans Z' et y extérieur à 7” et qu’elle s’annule pour y = ©.

Le théorème à démontrer revient au suivant: si l'on pose:

la fonction: fe. est régulière pour (x, y’) intérieur à (7', 1") Il ne peut y avoir de doute que pour la valeur y = o.

Je trace un cercle y’ concentrique à 1” et de rayon p > R'; comme f(x&,y) s'annule pour y = ©, on aura pour % intérieur à 1° et y extérieur à 7’: |

f(x Rare à f(&, x)dz