BUY

l'intégrale étant prise le long de 7’ dans le sens direct. En remplaçant

Joe . . . 120 « , ’ . FR \ nl -, il vient, pour x intérieur à /’et y’-intérieur à un cercle 7

y par

concentrique à 2” et de rayon p, ='—:

40 Picrre Cousin.

f(æ, 2) ne ie

Ne

on voit par cette expression que pour y =, f(x, +) est régulière: J

le théoreme est ainsi démontré.

Si f(x, y) est régulière pour x et y extérieurs à T° et I” ct si elle tend vers o pour x augmentant indéfiniment, y conservant une valeur constante extérieure à 1" el pour y augmentant indéfiniment, x conservant

une valeur constante extérieure à TL; f(x, y) est développable en série entière

I I à Zu 7 en — et - absolument convergente à l'extérieur de 1" et 1”, et de la forme: de y

f(x > y) = 24 br Ye PEUT NT Ce)

J'exprimerai plus brièvement les conditions auxquelles satisfait par hypothèse /(x,y) en disant qu’elle est régulière pour (x, 7) extérieur à (1, 1") et qu’elle s'annule pour æ = © ainsi que pour y = ©. R° Re RU ; ; RAR * En posant: & = —, y == —, le théorème revient au suivant: 1 :

C y æ ? y est réguliére pour (x’, y) intérieur à (/”, /"); on a, effet, pour x extérieur à Jrétiy extérieurvau, Cerclé7#concentriqué=à:1t et defrayonwp="R®*

I f(@ , 2)dz

bee ; \ R° ou, pour y’ intérieur à 7; concentrique à 1°” et de rayon —: ï 0

“Ai à

NET D A US) 102 Sete

RE L la LE | Bed : \ .

cela montre que fa, ) est régulière pour x extérieur à Z' et y’ intérieur à /”; comme cette fonction s'annule pour æ— ®, en vertu de 1°,

R? R°? À de lents Acfan Top tés f(— , —) sera régulière pour (x', y’) intérieur à (7, TPE