Proposition I Soient

Cet C' deux contours fermés simples tracés sur les plans des deux variables x et y;

a et ce deux points du plan de la variable x extérieurs à C;

bei & deux points du plan de la variable y extérieurs à C';

f(x , y) une fonction de x et y qui est régulière excepté pour les valeurs

æ—a@ et y—b et qui s'annule pour à — © ainsi que pour y = ©;

. À ‘ I I I I Il existe un polynôme entier en 3 ” nl =, — ) tel > œ—c y—d æ—c y—d

qu'en tout point (x, y) intérieur à (c,c'), on ait:

: mod. EC » Y) — Q(— à = a) AE.

e étant un nombre positif donné à l'avance.

Sur le plan de la variable + je trace une ligne ac partant de a et aboutissant à €, tout entiere extérieure au contour ©; et sur le plan de la variable y, je trace d'une facon analooue la ligne 04 extérieure au contour C’. Je marque sur la ligne ac, en allant de & vers c, n points dr, eb SuE bd, # points b, ,'b

a ., 0, en allant de b vers d.

" Nr “Je suppose » choisi assez orand et les points assez rapprochés pour que PI S

la condition suivante soit remplie: dans les deux suites de points: @,4,,

a mdr cet D, ,0::.02,04, dd, le tdistrce#rdéndeuspomttdeon

sécutifs quelconques est inférieure à une longueur À, plus petite elle-même que les distances des lignes ae et C d'une part, bd et C’ d'autre part;

de telle sorte que les cercles de rayon RÀ et de centres a, , b,, laissent

à leur extérieur les contours © et C7 et comprennent à leur intérieur respectivement les points 4, , et b,,. Les cercles le rayon À ayant pour

Acta mathematieu. 19, Imprimé le 27 avril 1894, 6

42 Pierre Cousin.

c et b,,0,,...,b,,d. seront désignés dans là démonstration simplement par leurs centres. et b,; les points & et b étant intérieurs

Gén)

centres les points @,,4,,..:,4

Je considère les cercles a,

a ces cercles, la fonction /(x,y) est développable en série entière en

; ES absolument convergente à l’extérieur et sur le périmètre æ— a, y —b L ‘ 1

des cercles a, et b,. J’appelle P, (- = RU Ÿ r le polynôme formé par

les premiers termes de ce développement, pris en nombre assez grand pour que, à l'extérieur des cercles a, et b,, on ait:

mod | f(x ; 1) a nenill er

; Eve I le polynôme P, ne renferme pas de terme indépendant de —— ee mir DE

: ne, I Te Les points a, et b, étant intérieurs aux cercles a, et b,, P, (— æt— a, y—b;,

he I I est développable en série entière en F7 Co | URSS

absolument convergente 4 VE | I L à l'extérieur et sur le périmètre des cercles 4, et à, ; soit P, (5) æ— a, y—b, as 2 le polynôme formé par les premiers termes du développement pris en

nombre assez grand pour que l’on ait à l'extérieur des cercles «, et b,:

I jL k I I € r,( )— ( = a ER.

mod | A un JE TE à EG

En poursuivant ce raisonnement on obtient une suite de (n + 1) polynômes satisfaisant aux (n + 1) inégalités:

5 ŒIL I ; € « $ mod | fr ,Y)—P, PUS | rar l'extérieur des cercles a, ct à,

I Ï à I I € HOME ie Er PP ee: So rte | 1 (— a ve =) À eee =] ou à l'extérieur de a, etb.,

ie (Ur 0 . , . . . 0

< I I I Ï mod | Rial —- —) PAT RSS .

; ren J— DT À —Un y—b

| < *__ à l'extérieur de n+I

a, et b,,

I I I I € mod js )— o(—, BEL PARSARNASS IE 2 | n OrE he Ÿ ) = nr l'extérieur de € et d.

L— An æ—c" y—d

Sur les fonctions de »# variables complexes. 43

Ces inégalités sont simultanément vérifiées à l’intérieur de (C', C’); on en conclut, le module de la somme étant moindre que la somme des modules:

ou [rc ui a(. ) << à l'intérieur de (C, C')

at y — d Le théorème énoncé est donc démontré.