CHAPITRE V

Le problème de rintégration au point de vue des variables réelles.

88. Lorsqu'on se sert de la théorie du changement de variables dans une question d'Analyse, on suppose implicitement la continuité des dérivées qu'on emploie. Pour prendre un exemple très simple, soit une fonction de deux variables f(Xj y); faisons le changement de variables:

Les formules connues :

dx

df

di/

dY~

Jf

dx

df oy

ne sont valables que si l'on suppose ô^ ^t ô-^ continues. Si l'on suppose

seulement Vexistetice de ces dérivées eu chaque point, il peut arriver que les formules ne s'appliquent pas; c'est ce qui a lieu^ par exemple, à l'origine.

102 Baire: Sur les fonctions

pour la fonction qui est égale à en ce point, et à ^ aux autres points.

On a, en effet, au point x = 0, y ^0:

dx dy ' Si maintenant on déplace le point {Xj y) à partir de l'origine dans la direction y = ax^ on a, en appelant ^-^ la dérivée dans cette direction :

df a

dna ^1 + a»

Ainsi, à l'origine, il y a une dérivée déterminée dans chaque direction, mais ces dérivées ne sont pas données par les formules ordinaires.

Cette remarque correspond, au point de vue géométrique, à ce fait que si on considère la surface z — f{Xj y), cette surface n'a pas, au point a' = y = 0, de plan tangent déterminé.

89. Cela posé, considérons une équation aux dérivées partielles, et posons le problème de l'intégration de la manière suivante:

Rechercher toutes les fonctions de variables réelles, assujetties seulement aux conditions strictement indispensables pour que les éléments qui entrent dans Véquation aient un sens déterminé et vérifient cette équation.

En prenant comme exemple l'équation très simple :

dx^dy ^'

il faudra déterminer toutes les fonctions de x et y qui, en chaque point, sont continues par rapport à chacune des variables, et possèdent des dérivées

7^ et ô^ satisfaisant à la relation donnée.

à X oy

Le problème étant ainsi posé, le raisonnement qui consiste à prendre comme nouvelle variable X = x—y^ et à constater que la ftmction ne doit dépendre que de X, est insuffisant, car il suppose la continuité des dérivées.

Pour essayer de traiter la question avec le minimum d'hypothèses possible, il convient tout d'abord de faire une étude des conséquences qu'entraîne, pour une fonction de deux variables, l'hypothèse de l'existence de dérivées partielles en chaque point.

90. Je commencerai par exposer quelques considérations générales sur les fonctions d*une seule variable.

Soit une fonction quelconque f{x)j définie dans l'intervalle A B. Prenons deux points Mi{x^) et Mi{xt) dans cet intervalle, et formons le rapport:

f(X2)-f(Xi) Xt — Xi

Je désignerai dans la suite ce rapport par la notation:

rapport {Xi , a:,), ou r* (rc, , a:«), ou r* (M, 3f ,).

Il est indépendant de l'ordre dans lequel on énonce les deux points; on peut dire que c'est une fonction de l'ensemble des deux nombres (x,, Xi\ définie seulement pour Xt^x^.

Dans le cas où l'on suppose la fonction f{x) continue, la fonction r*(a:,, x,) est, en chaque point (a?, , a;,) où elle se trouve définie, continue par rapport à l'ensemble (a:,, Xf).

Je donne une propriété élémentaire de cette fonction qui me sera utile dans la suite. Considérons trois nombres a?,, a?,, a-s, rangés par ordre de gran* deur. Soit:

Xi ^^ Xf ^Z. ^z •

On a évidemment:

f{XB)—f{Xi) ^ fjxt) —fjxi) ^^ XX — Xi . f{x^^ — f{xi) ^^ X% — Xt ^ X3 — Xi Xt — Xi Xs — a7i ~ Xs — Xî Xi — Xi

c'est-à-dire, en posant :

Xt — Xi

X9 — Xi

r^ (cCi , iTs) = « r' (a», , a;,) + (1 — «) r^ {^t , ^2). Comme on a:

on en déduit que r^{Xi^ Xs) est compris entre r^^a?,, Xt) et r^ix^j Xs).

Nous emploierons quelquefois ce résultat sous une autre forme: Si a;, ^ ar, , X3 sont rangés par ordre de grandeur j et si r'(a:,, a:,) est supérieur (inférieur) à un nombre X, Vun au moins des deux nombres r*(^i, ^t)j ^'(^d ^3) est supérieur (inférieur) à X.

Enfin le résultat s'étend au cas où l'on considère un nombre quelconque de quantités x: Si ;r,, a*,, a-g,... Xn sont rangés par ordre de^ grandeur, la

104 Baire: Sur les fonctions

qumiité »*(a:,, r„) est cofitprfse entre la plus grande et la plus petite des quantités :

91. Reprenons maintenant la fonction r'(aî,, x,); laissons Xi fixe, et donnons à Xt toutes les valeurs satisfaisant à l'inégalité: