CHAPITRE IV
Ponctions de plusieurs variables.
78. Au sujet dés fonctions de plusieurs variables, il se pose des questions tout à fait analogues à celles dont nous nous sommes occupés relativement aux fonctions d'une seule variable. En particulier, les notions indiquées au commencement du chapitre III sur les fonctions des différentes classes, s'appliquent mot pour mot, si l'on considère des fonctions de n variables. Nous appellerons classe l'ensemble des fonctions continues, classe- 1 l'ensemble des fonctions discontinues qui peuvent être considérées comme limites de fonctions continues, etc.... Il y aurait, comme pour le cas d'une seule variable, à étudier les fonctions de ces différentes classes, en commençant par celles
88 Baire: Sur les fonctions
de classe I. On conçoit tout de suite que cette étude serait plus difficile que Tétude des fonctions d'une seule variable ; supposons, pour prendre le premier problème qui se pose, qu'on cherche la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction /"(rr, y) soit la limite d'une suite de fonctions /*, (a:, y)» fi{x^ //)?••• fn{Xj y)j""> ^^^^ chacune soit continue par rapport à l'ensemble (a:, y); les résultats que nous avons démontrés dans le chapitre II nous donneront bien aisément des conditions nécessaires, mais si nous cherchons des conditions suffisantes, nous serons amenés à considérer des ensembles parfaits de points dans le plan ; or, il est plus difficile de raisonner sur ces ensembles que sur les ensembles parfaits linéaires. On peut dire que la théorie de ces derniers est complète: tous les points qui ne font pas partie de l'ensemble sont constitués par les points intérieurs à une infinité d'intervalles parfaitement déterminés^ qui sont les intervalles contigus à l'ensemble. Dans le cas du plan, les choses sont loin de se présenter d'une manière aussi nette; il faudrait donc en premier lieu chercher ce qui, dans le plan, remplacera la notion d'intervalle contigu à l'ensemble. Dans tous les cas, il faudrait faire, à un point de vue en quelque sorte géométrique, une étude de l'ensemble parfait à deux dimensions le plus général ; c'est seulement alors qu'on pourrait aborder le problème relatif aux fonctions.
En ce qui concerne les fonctions de plusieurs variables en général, je me bornerai donc à ces indications; je vais, dans ce chapitre, donner quelques résultats sur les fonctions de plusieurs variables continues par rapport à chacune d'elles.
I. Fonctions de deux variables, continues par rapport X chacune d'elles.
79. Nous avons déjà obtenu, dans le chapitre II, des résultats importants sur les fonctions de deux variables, continues par rapport à chacune d'elles; je me propose de compléter ces résultats.
Soit f{x., y) une telle fonction; nous avons reconnu (§ 25) que l'ensemble des points où l'oscillation par rapport à {x^ y) est ^a est un- ensemble qui n'est dense nulle part par rapport au continu, et qui n'est dense non plus par rapport à aucune portion de la courbe: y = (f{x), f{x) étant une fonction continue. Posons-nous maintenant la question suivante: soit un rectangle parallèle aux axes:
de variables réelles. 89
Parmi les segments parallèles à y et contenus dans ce rectangle, c'est-à-dire parmi les segments:
en supposant Xq compris entre a et By considérons ceux qui contiennent un point où l'oscillation est ^a, et prenons leurs points d'intersection avec Qx] ces points peuvent-ils former sur x un ensemble dense par rapport au continu? En d'autres termes, les segments en question peuvent-ils former un faisceau dense par rapport au faisceau de tous les segments parallèles h Oy? C'est la question que je me propose de traiter, et qui m'amène tout naturellement à de nouvelles études sur la théorie des ensembles. 80. Supposons que, dans le rectangle:
il existe un ensemble de points E réparti de telle manière que, entre deux droites parallèles à Oy: a: = rt, x = bj (supposées limitées aux bases du rectangle), il existe toujours une droite a; = c contenant un point de E] je suppose de plus que E est fermé.
Remarquons d'abord que ces deux conditions entraînent la suivante : Sur toute parallèle à y, il y a au moins un point de E, Cela résulte du théorème suivant:
Si une droite rr»a est limite d'une suite de droites oE^^a,, x :=:a,,..., a: = an ... , dont chacune contient un point de Ey supposé fermé, elle contient un point de E au moins. Soit en effet P Q(x = ay y ^y ^à) le segment limite de la suite de segments Pi Çi , Pi Ç, , . .. PnQn[^^ cin^ y :^ y ^ (>],... ; chacun de ces segments contient un point de E au moins. Partageons tous
Y 4- 8 ces segments en deux par la droite fit ^,, .. . JS^,. . . B, d'ordonnée y = -^-^ — •
Je dis qu'un au moins des deux segments P fi, BQy a la propriété que nous supposons appartenir à PQ\ en effet, ou bien, parmi les segments P|fii, PfRfy... PnBnj-''^ il y on a une infinité contenant des points de E et admettant P fi comme limite, ou bien la chose a lieu pour B Q ; car si la propriété n'avait lieu ni pour PBy ni pour BQy elle n'aurait pas lieu non plus pour le segment total P Q. Supposons par exemple que P fi possède la propriété; on divisera Pfi en deux segments, dont un au moins la possédera, et ainsi de suite indéfiniment. On arrive ainsi à la démonstration de l'existence d'un point M{yo) de PC, qui possède la propriété suivante: si petit
do
Baire: Sur les fonctions
que Boit ê, le* segment:
est la limite d^une suite de segments:
^==an, yo — «i^î'^yo + fi, (w = lj 2, 3,...)7
dont chacun contient au moins un point de E. Le point M est donc un poinilimite de E^ et par suite fait partie de E.
Nous pouvons énoncer le résultat sous une autre forme: Si E est ferme, et si on projette cet ensemble sur une droite, l'ensemble projeté est fermé.
Ci ' JD.
ip
Fig. 15.
81. Cette remarque étant faite, reprenons l'ensemble Ej supposé fermé, et' réparti sur toutes les parallèles à Oy dans le rectangle A B CD (fig. 15):
Traçons la droite EF:
Je dis qu'il existe certainement un rectangle parallèle aux axes, ayant pour bases des portions de il B et de EF^ ou de EF et de CD, tel quej sur chaque segment parallèle- à Ot/ joignant les bases de ce rectangle, il y a au moins un point de E.
Si en effet cela n'était pas, c'est que, en projetant sur A B (parallèlement à Oy) les points de l'ensemble E contenus dans le rectangle ABFEj ou ceux qui sont contenus dans E F G D^ on aurait chaque fois un ensemble non dense; on en déduirait que, dans le rectangle total A B Dj îl n'y au-. rait qu'un ensemble non derise de parallèles à Oy portant des points de Ej ce qui serait contraire. à l'hypothèse.
de variables réelles. 91
Il existe donc certainement un rectangle tel que!^, J?, Ci D, (fig.' 15), qui se trouve dans les mêmes conditions que le rectangle primitif AB CD: l'ensemble E est réparti sur toutes les parallèles à Oy contenues dans ce rectangle; de plus, la hauteur de ce nouveau rectangle est la moitié de celle du rectangle primitif. Je désigne par a,, jS,, 71,^, les coordonnées qui jouent le même rôle par rapport à A^^Bi C, Dj que «, /3, /, c^, par rapport à ABCDj de sorte que Ai BiCt D, peut être représepté par :
et Ton a: , .
Par le même raisonnement, on voit qu'il existe dans ^,5, CD, un rectangle AtBtCt A :
possédant les mêmes propriétés que AB C D et ^4 , J5| (7, D, , et tel que :
En répétant indéfiniment l'opération, on obtient une suite de rectangles dont chacun est contenu dans celui qui le précède; de plus, on peut s'assujettir à prendre toujours:
les inégalités excluant les égalités. Dans ces conditions, il existe au moins un point P(Xoj ijo) appartenant à Ej et tel qu'on a, quel que soit n:
Ce point possède la propriété suivante : Si on prend une aire quelconque contenant P à son intérieur, si petite qu'elle soit, on peut trouver dans cette aire un rectangle de côtés parallèles aux axes^ dans lequel Vensemhle E est réparti sur toutes les parallèles à Oy, P étant contenu dans ce rectangle j mdis ne se trouvant pas sur l'un des côtés parallèles à y.
Si nous reprenons le rectangle A B C Dj et si nous considérons deux ' parallèles quelconques à y, le raisonnement s'applique aussi bien à la portion de A B C D limitée par ces deux droites qu'au rectangle total ; il existe donc, entre ces deux droites, un point de même nature que le point dont jeviens de démontrer l'exiçtence; je dirai qu'un point est un point ÎPb^ il' fos-^'
Baire: Sur les fonctions
sède la propriété fondaiï\entale que je viens d'énoncer. Nous pouvons dire alors que V ensemble des parallèles à Oy qui portent des points P est un en* semble deftse*
Je vais montrer que l'ensemble des points P est un ensemble dense en lui-même^ c'est-à-dire qu'un point P ne peut pas être isolé. Supposons pour un instant qu'il puisse exister un point Po (^o, y©) isolé; je peux alors déterminer un rectangle A B G D (fig. 16) contenant Po à son intérieur et ne contenant pas d'autre point P. Soit:
Fig. 16.
ce rectangle. On a :
Menons la droite G H:
a<^o<i3, yi^yo^â.
tC ^— Xn "~^ €•
Le rectangle A G G H ne contient, par hypothèse, aucun point P; donc, entre A G et G Hj \\ ne peut y avoir qu'un ensemble non dense de segments parallèles à Oy portant des points de l'ensemble E. Ce raisonnement s'applique, si petit que soit e, de sorte que, dans le rectangle AGEFj l'ensemble des segments qui portent des points de E est non dense; cela est encore vrai pour le rectangle EF BD^ et par suite pour le rectangle A B G D. Donc le point Po ne peut pas posséder la propriété caractéristique des points P, puisqu'il y a des valeurs x de x aussi voisines qu'on veut de x^ et telles que x==x' ne contient aucun point de E, L'hypothèse faite sur Po ^st donc inadmissible; Po n'est pas un point isolé.
En appelant G l'ensemble des points P, on voit donc que G, qui est contenu dans £*, est un ensemble dense en lui-même; l'ensemble (?', dérivé de Gy est aussi contenu dans E^ et c'est un ensemble parfait; de plus, il est, dans le rectangle donné, réparti sur toutes les parallèles à Oy»
de variables réelles. 93
Voici maintenant la conséquence que je déduis de la propriété essentielle des points P. Supposons que, en chaque point M de, Ey on construise le segment parallèle à ^| ayant ce point pour milieu, et de longueur 2 h ; considérons l'ensemble de tous les points qui se trouvent appartenir aux segments ainsi construits; prenons un point P(a^o, y^); je dis que, si petit que soit hj il existe une aire contenant P à son intérieur, et dont tous les points appartiennent à l'ensemble précédent. En effet^ traçons les droites:
D'après la propriété de P, il existe certainement un rectangle R ayant pour bases des portions de ces droites, comprenant P entre ses côtés parallèles à f/, et tel que l'ensemble E est réparti sur tous les segments parallèles à Oy contenus dans R. Si, par chaque point (.Ti, y^) de E contenu dans i?,
on mène le segment de longueur 2 h qui a ce point pour milieu, ce segment:
contiendra tout le segment:
On pourra donc affirmer que tout point du rectangle R appartient à un segment de longueur 2 h ayant pour milieu un point de E.
82. Considérons maintenant une fonction f{Xy y) continue par rapport à chacune des variables; reprenons la fonction a»(a;, y) définie au chapitre II: c'est la demi-longueur du plus grand segment parallèle à Oy et de milieu A (x, y), dans lequel l'oscillation est égale à a.
Nous savons que «, est une fonction positive et semi-continue supérieurement; si on considère un ensemble parfait quelconque i?, je dis qu'il est impossible que, en tout point de JE?, a^ ait son minimum nul par rapport à E. La démonstration a déjà été faite au chapitre I (§ 12), quand on considère une fonction de n variables qui peuvent prendre toutes les valeurs comprises entre certaines limites; je l'ai étendue ensuite, au chapitre II (§ 28), au cas oîi la fonction est seulement' définie aux points d*un ensemble parfait linéaire. D'une manière plus générale, le théorème est vrai si la fonction est définie sur un ensemble parfait absolument quelconque, dans un domaine à n dimensions; il suffit, pour le voir, de reprendre avec quelques modifications de détail, la démonstration donnée au § 28; j'admettrai donc ce résultat.
83. Cela posé, considérons la fonction f{x^ y) dans un certain rectangle ABGD parallèle aux axes, et admettons pour un instant que rensemble E des points où Poscillation est ^o- puisse être réparti dans ce rectangle sur toutes les parallèles à Oy.
L'ensemble E est essentiellement fermé; par le procédé du § 81 je déduis de E un ensemble (?, dont chaque point P possède la propriété étudiée dans ce paragraphe; j'ai fait remarquer de plus que* 6?' est parfait, et réparti sur toutes les parallèles à y. Il est donc impossible que a<, , considérée comme fonction définie sur G\ ait, en tout poiAt d$. G\ son minimum nul par rapport à G'. Il est également impossible que ce minimum de a^ par rapport à (?' soit nul en tous les points de (?, car alors il serait nul en tout point de G'. Il existe donc certainement des 'points de G en chacun desquels a» a son minimum par rapport à G' positif.
Je dis que, en un point P de G où a, a son minimum positif par rapport à 6r', ^l'oscillation de la fonction par rapport à (rr, y) est ^2 a. En effet, prenons un nombre positif h inférieur à ce minimum. D'après ce que nous venons de voir au § 81, si par chaque point de G' on mène le segment parallèle à Oy et de longueur 2 h qui a ce point pour milieu, il existe un réc« tangle contenant P à son intérieur, et dont tout point fait partie d'un de ces segments; par suite, sur chaque segment parallèle h, Oy contenu dans ce rectangle, l'oscillation est :^ a. On en déduit, en raisonnant comme au § 24, qu'au point P l'oscillation par rapport à (a:, y) est ^ 2 <7. Nous dirons, sous
une autre forme : Si, en un point P, l'oscillation est ^ a, et si l'on a cr' < - ?
la fonctiou «,' a en P son minimum nul par rapport à G\
Nous sommes maintenant en mesure de montrer que l'hypothèse faite plus haut aboutit à une contradiction: l'ensemble E des points où w^tj serait réparti sur toutes les parallèles à y dans A B C D. Il en résulterait que «ff' aurait son minimum nul en tous les points de G] nous avons vu que cela est impossible.
En résumé, il est établi que, dans tout rectangle tel que A B C D^ l'ensemble des parallèles à y portant des points où w ^ a, est un ensemble non dense. La conclusion de cette étude est donc le théorème suivant:
Si f{Xj y) est une fonction continue par rapport à chacune des variables y l'ensemble des points où Von a: w [/*(a;, y)] ^ a, se projette sur chacun des deux axes, parallèlement h Vautre, suivant un ensemble non dense.
84. J'indique maintenant une autre propriété des fonctions séparément continues par rapport à x et y, propriété qui a été remarquée par M. Volterra.
de variables réelles. 95
Si on considère un point ;4(5Co, yo)j et si on. se donne un nombre e, on peut, dans tout cercle de centre Ay trouver un autre cercle en tout point duquel on a:
En effet, nous pouvons prendre, sur Ox par exemple, et à partir de A^ un segment AB contenu tout entier dans le cercle donné, et dans lequel
l'oscillation sera inférieufe à ^. Dans Je segment ABj il existe des points où
la fonction est continue par rapport à Tensemble (a:, y); prenons Tun de ces points; nous pourrons trouver un cercle C ayant pour centre ce point, et dans
lequel l'oscillation sera inférieure à - • Il est évident qu'en tout point du
cercle (7, l'inégalité (1) a lieu.
Remarquons la différence qui se présente entre les points de continuité et les points de discontinuité: si en A la fonction est continue, on peut toujours choisir pour cercle C un cercle contenant A ; au contraire, s'il y a une discontinuité en Aj lorsque e est suffisamment petit, on est obligé de prendre pour cercle C un cercle ne contenant pas A.
IL Fonctions de trois variables.
85. Etudions maintenant le cas d'une fonction de trois variables rr, y, ;^, qu'on suppose, en chaque point, continue par rapport à chacune d'elles.
Soit f{Xj y, z) une telle fonction; soit Aq un point {Xq^ y^j Zo)j jo considère une portion de surface S passant par i4o, et représentable par une équation de la forme:
a; = ç(y, 0), avec la condition :
^o = ?(yo, 2fo). .
Soit, en chaque point A{Xj y, z\ a»(.r, y, z) la demi-longueur du plus grand segment BC parallèle à a: et de milieu Aj dans lequel l'oscillation est:^(7j je vais étudier cet|e fonction «^(r, y, z\ considérée comme fonction sur la surface S, . . .
Soit (fig. 17): . ' :
' Bo i4o = i4o '^o ^ iîfff (a'o , yo, ^o). . • •
Baire: Sur les fonctions
Prenons, e étant un nombre positif quelconque:
Dans le segment B'o G\^ l'oscillation est un nombre supérieur à a, soit d-^-h] si je prends: k' <^, il existe entre B\ et C\ deux points Po et Q^ tels que:
IAi'.)-A<?o)l>cr + i'.
Je vais considérer des points de S voisins de Ao ; je m'astreins tout d'à-
Fig. 17.
bord à faire varier y et z dans un champ suffisamment restreint autour de yo et Zo pour qu'on ait toujours :
Menons par Fo et Qo les plans parallèles au plan des yzj et dans ces plans, les parallèles à Oy, P^y'^ Qoy"] prenons, sur P^y et Q^y'^ deux segments Pg P, et Çg Ç, , dans chacun desquels l'oscillation soit inférieure
à -— ; nous les prenons en outre assez petits pour que les valeurs de y et ^r
correspondant aux points intérieurs à ces segments soient comprises dans le
champ de variation de y et ^, précédemment défini.
Choisissons sur Pg P, un point de continuité par rapport à l'ensemble
(y, z) dans le plan Py' s') soit P' un tel point; prenons dans ce plan un
k' cercle C de centre P' et où l'oscillation soit moindre que — • Prenons en-
suite, sur ÇoÇi, un point Q' se projetant à l'intérieur du cercle C, et tra-
de fmriahlf^ réelles. 97
çoDS dans le plan Q^y^ z'^ un cercle C de centre Qq oh l'oscillation soit m^*
k' feneure à — •
Si P et Q sont deux points quelconques pris, l'un dans C et Tautre dans C'y on a les différentes inégalités:
\f(P')-f{P,)\<:^, \fiP)-f(^p')\<!L,
IAÇ')-Aa)l<|' \f{Q)-n9)\<^*
d'où l'on déduit:
D'après la construction des cercles C et C", ces cercles ont en projection (sur le plan y;?) une partie commune; le cylindre projetant cette partie commune découpe sur la surface S une certaine aire (?; sî A{Xj y, ;?) est un point de cette aire, et si on trace le segment parallèle à Oa^ de milieu A et de demi-longueur «,(^0, y©) "o) + «) ce segment contient certainement un couple de points P et Ç, car la distance de /4 à chacun des plans menés par B\ et C\ parallèlement au plan des y z est moindre que «» (:r^, y^i ^o) + ^j d'après l'inégalité (1). Par suite, l'oscillation dans ce segment est supérieure à Q ; on a donc, au point A :
Ainsi, la fonction a^ définie sur la surface S possède la propriété sui* vante: au voisinage de tout point (Xo, y©? -î^o), ^t si petit que soit e, on peut trouver sur la surface une aire où Von a partout:
a« {Xy y, ^)< «d (oTo) yo, ^o) + «•
Cette propriété, jointe à cette autre que a« est positif en tout point, conduit à celle-ci que a« ne peut avoir son minimum par rapport à S nul en tous les points d'une aire. Supposons en effet que cela puisse avoir lieu; si
nous nous donnons un nombre «, nous pouvons prendre un point où «•< ~ »
puis, au voisinage de ce point, une aire en tout point de laquelle on aura:
98 Baire: Sur les fonctions
c'est-à-dire:
De même, dans cette aire, on en trouvera une autre oîi Ton aura partout:
et ainsi de suite.
On aurait finalement un point où a9 = 0, ce qui est impossible.
Ainsi, dans toute portion de S^ il existe une autre portion dans laquelle le minimum de «« est positif. Soit C une portion dans laquelle «« a son minimum positif, et soit y un nombre positif inférieur à ce minimum.
Nous pouvons déterminer un domaine à trois dimensions, un prisme de côtés parallèles aux axes, par -exemple, tel que, sur chaque parallèle à .r contenue dans ce prisme, il y ait un point de (7, et dont la dimension parallèle k Ox soit au plus égale à 7; dans ces conditions, sur tout segment parallèle à Orc.et contenu dans le prisme, Toscillation est ^a. Prenons ensuite une section de ce prisme par un plan parallèle aux y j^j et dans cette section, une aire G dans laquelle Toscillation soit ^a. Considérons le cylindre qui projette G sur le plan des ^ z^ soit L ce cylindre, limité aux faces du prisme, et soit C, la portion de C qu'il découpe sur la surface S. Je dis que, dans lo cylindre L, l'oscillation de la fonction est ^ 3 a. En effet, soient P et Q deux points quelconques pris dans ce cylindre, et soient P' et Ç leurs projections sur G. On a:
lf{P)-f{P')\^., \f{Q)-f{Q)\^a, \f{P')-^f{Q')\^o,
d'où :
En particulier, nous constatons que, en chaque point de C,, Toscillation par rapport à l'ensemble (rr, y, ;?) est ^ 3 a.
Ainsi, dans toute portion de la surface: a: = 9 (y, 0), et si petit que soit cj, il existe une aire en chaque point de laquelle l'oscillation par rapport à (rr, y, 0) est î^Sj. On déduit de là, par un procédé de raisonnement que j'ai ^u souvent l'occasion d'employer, l'existence, daps chaque portion de la surface, d'un point de continuité par rapport à l'ensemble (r, y, z).
On a, a fortiori^ les résultats suivants:
X>ans tout domaine à trois dimensions ^ il y a des 'points de continuité par rapport à l'ensemble (.r, y, z-)] autrement dit, la fonction est ponctuellement discontinue.
de variables réelles. 99
Sur toute surface a; = ^ (y, z\ la fonction donnée^ considérée comme fonction de y et Zj est ponctuellement discontinue.
86. Nous voyons d'après cela que l'ensemble des points où l'on a: (k) [f{x^ y, z)] ^ (7 ne peut pas être dense par rapport à un volume, ni nàême par rapport à une surface ; mais cet ensemble peut contenir tous les points d'une ligne j comme je vais le montrer sur un exemple très simple.
Prenons une fonction <f{Xj y) continue par rapport à chacune des deux variables x et y, en supposant que le point a; = 0, .y = 0, par exemple, soit point de discontinuité. Nous définirons f(x^ y, ^) par la condition:
fi^i y. ^) = ?(a:. y),
de sorte que f sera constante sur toutes les parallèles k z. Cette fonction est continue partout par rapport à chacune des variables, et l'on voit que tous les points de Oz sont des points de discontinuité, la valeur de l'oscillation en tous ces points étant la même.
J'indiquerai encore un autre exemple. Je fais remarquer d'abord qu'on peut prendre, dans le plan (or, y), une fonction toujours continue sur les trois séries de droites suivantes: les parallèles à Orr, les parallèles à Oy^ et les parallèles à une troisième direction telle que celle de x — y = 0, cette fonction pouvant être discontinue en certains points par rapport à Tensemble (a;, y) ; la fonction qui est égale à pour l'origine, et à:
xy(x—y)
pour les autres points, possède ces propriétés. Prenons alors une fonction f(x^ y, ^) qui sera constante sur toutes les parallèles à la droite:
X i ' y ■ ■ Zj
et qui, pour les points du plan a?Oy, sera égale à la fonction précédente. Sur la droite x = y==:-^ tous les points sont des points de discontinuité, la valeur de l'oscillation étant la même en tous ces points: D'autre, part, la fonction /i qui est égale à .0 pour la droite a; = y == 0, et à :
\{x - zY ^ {y - z)*f
aux autres points, est partout continue par rapport à chacune des variables
Baire: Sur les fonctions
87. Il y aurait lieu maintenant d'étudier la sucoeasion de valeurs que |)rend, sur une courbe quelconque de Te^pace, la fonction f{x^ jf, z\ continue par rapport à chacune des variables. Je donnerai à ce sujet le résultat suivant; /a fonction d'une variable ainsi obtenue est au plus de la deuxième classe.
Je commencerai par démontrer le théorème suivant : Si une fonction de deux variables f{Xj y) est continue sur chaque parallèle à a:, et est de première clause sur chaque parallèle à y, elle est, sur une courbe quelconque,
Fig. 18.
de deuxième classe au plus. Je ferai la démonstration en considérant la droite X — y = 0. Prenons la suite des droites (fig. 18):
y = ai, X'-y^atj... x — y = anj...
a^J as,... an,... étant une suite de quantités tendant vers G.
Soient ^, .4',, i4, i4 ',,... ces droites. Entre une quelconque de ces droites et la droite voisine, par exemple entre AtA't et A^A'sj je peux tracer des segments parallèles à 1^, tels que P, Qt , Pt Çi > etc. . . . , de sorte que chaque parallèle à Go; contienne un seul point appartenant à l'un de ces segments (sauf les droites ÇiPt, ÇtPsy etc. ...)•,. la succession des valeurs que prend f{Xj y) sur Pi Qi (Pi compris, Çj exclus), puis sur P, Q^ (P, compris, Ç, exclus), etc.... forme une fonction d'une variable, qui est de première classe, puisqu'elle est de première classe sur chacun de ces segments. En supposant que cette opération soit effectuée entre AnA'n et An^-t -4n+i, pour toutes les valeurs de n, nous déterminons ainsi une suite de fonctions de première classe :
Si d'autre part y (y) est la fonction donnée, considérée sur x — y = 0, on reconnaît que <f{y) est la limite de fniy)- Ainsi o{y) est une fonction de la deuxième classe.
Reprenons maintenant la fonction f{x^ y, z\ et soit C une courbe de Tespace. Projetons C sur le plan des (y, z) suivant C'y et imaginons qu'on développe sur un plan le cylindre projetant. Dans ce plan, aux parallèles à rr de l'espace qui rencontrent C correspondent les parallèles à une direction X: il y aura donc continuité sur ces droites. A C et aux courbes parallèles à C situées sur le cylindre correspondent les parallèles à une direction Y\ or, dans chaque plan parallèle h y o Zj comme il y a continuité sur chacune des parallèles à l'un des axes y et ^, la fonction est de première j^lasse sur les courbes parallèles à C et par suite sur les parallèles a F. Enfin, à C correspond dans le plan XOY une courbe C, à laquelle le théorème précédent s'applique; donc, sur (7,, et par suite sur C, la fonction est au plus de deuxième classe.
