X. < ar, :^ a-i + A
// étant un nombre positif. Les valeurs de r^(a:,, a;,) qui correspondent à ces diverses valeurs de x, forment un ensemble de nombres, qui a une limite supérieure et une limite inférieure: soient Mh ^t mh ces limites (qui peuvent d'ailleurs être infinies); si h tend vers 0, Mh ed mn tendent vers des limites déterminées Ad ed ?.d, qui sont les extrêmes oscillatoires de la fonction à droite {*)j on définit de même les extrêmes oscillatoires à gauche Ag et Ig. On a ainsi les quatre nombres dérivés^ dont l'étude a fait Tobjet de travaux de plusieurs géomètres, en particulier de MM. Dini, VoLTERRà, L. Schbbffer.
Remarquons que, si en un point les quatre nombres dérivés sont finis, il est certain qu'en ce point la fonction est continue, mais la réciproque n'a pas nécessairement lieu.
Si, en un point, les quatre nombres dérivés sont égaux, c'est qu'il «xiste en ce point pour la fonction une dérivée déterminée f {x) qui a pour valeur la valeur commune de ces quatre membres.
Supposons qu'il en soit ainsi au point w^e(^o)- On peut alors, si petit que soit e, déterminer un intervalle B C [rCo — a, a^o + ^J? tel que, si M est un point quelconque de cet intervalle, distinct de Aoy on a:
\r'AoM-f{x.;)\:^e.
Prenons alors deux points P et Q dans l'intervalle B 6*, situés de part et d'autre de Ao\ dans ces conditions, d'après la remarque faite au § 90, r^ P Q est compris entre r^A^P et r^A^Q. On a donc:
\r^PQ-f{x,)\^z.
D'une manière générale, BC représentant un segment de milieu A{x^ et de longueur 2 «, prenons, de toutes les manières possibles, un couple do points P et Ç situés dans cet intervalle et de part et d'autre de iJ, de telle
(*) Cf. Dini, Fondamenti, etc., page 190.
de variables réelles. 105
sorte qu'on ait toujours:
D'après ces inégalités, il y aurait lieu de considérer l'expression r^(rro, x^^ qui n'a pas encore été définie ; je poserai :
De cette manière, pour tout système de valeurs de Xp et Xq satisfaisant aux inégalités (1), il existe une valeur de r^ P Q parfaitement déterminée; l'ensemble de ces valeurs a un maximum M et un minimum m ; posons en outre : (ù = M — m. Si nous faisons varier «, nous pouvons considérer &> comme fonction de «; c'est évidemment une fonction qui n'est jamais décroissante; de plus, si a tend vers 0, elle tend vers 0, car, d'après ce que nous avons vu plus haut, M et m tendent tous deux vers la même quantité f {x^).
Si donc on se donne un nombre positif (j, il existe un nombre positif parfaitement déterminé, que je désigne par a^, qui est la limite supérieure des nombres a pour lesquels w^<t. Soit B© ^o 1® segment de milieu A^ et de longueur 2oLt/{xQ)j dans ce segment, le nombre w est inférieur oté égal à a (si on suppose la fonction continue) ; dans tout segment B\ C\ de milieu Aq et de longueur supérieure à 2a<,,- u est supérieur à a. ,
92. Je considère maintenant une fonction de deux variables /"(a:, y), sur laquelle je fais les hypothèses suivantes: elle est continue par rapport à a:, par rapport à y, et possède en tout point une dérivée déterminée par
rapport à a:, ^ • En chaque point A , je considère la fonction a, {Xj y) dé-
finie comme au numéro précédent: c'est donc la demi-longueur du plus grand segment parallèle à Oa:, et de milieu ^4, dans lequel la différence entre les valeurs extrêmes de r^ (P Q) \xp < o?^ < X(^ est ^ a. Je dis que «, {x^ y) est semi-continue supérieurement par rapport à (r, y). Pour le démontrer, prenons (fig. 19) :
Bo Aq=^ A^Cq = «<r {xo , yo)
Dans le segment B\ C\, le nombre &> est supérieur à a] soit a + ^ sa valeur. En prenant k' <Ckj on peut déterminer, entre B\ et C\, deux couples de
Baire: Sur les fonctions
points P, Ç, , Fi Çî , tels que :
|r'P.Çi-r'PeÇ.|>cr + A;'. (1)
On peut d'ailleurs s'astreindre à oe qu'aucun des quatre points P,, Ç, , P,, Ç,, ne coïncide avec A^] on aura ainsi;
Il existe un nombre positif /3 tel que, dans l'intervalle (x^ — jS, 0*0 + /S)? ^1 n'y a aucun de ces quatre points.
if
Fig. 19.
La condition (1) s'écrit:
f(xp,^ yo) — /(a;^,. yo) /(a^A. yo) — f{x(^ yo)
Je vais maintenant utiliser la condition imposée à la fonction d'être continue en tout point par rapport à y.
Considérons les parallèles h Oy menées par le? points P», Ç», P«, Ç«, et remarquions que, si daiïs la formule (2) on remplace y^ par la quantité variable y, le premier membre de cette formule est une fonction continue de y; donc on peut trouver un nombre positif y tel que, quand y sera compris entse y^ — y et y^ + 7, on aura :
f(xp,. y)—f{xQu y) fjxj^ y) —fixç., y)
Xpt — Xq, a?p, — X(^
Appelons ri le plus petit des trois nombres j3, 7, - , et considérons le carré de centre Jq et de côté 2)?, soit:
de variables réelles. 107
Si A (Xj y) est un point quelconque pris dans ce carré^ le segment parallèle à Oxy de milieu A et de demi-longueur «^(^0? yo)^^? contiendra certainement deux couples de points tels que:
auxquels s'appliquera la relation (3); de plus, les deux points de chacune des couples seront de part et d'autre de A» Par suite, dans le segment de milieu A et de demi-longueur a^O^o) Vo^ + ^j Toscillation w des r'(FÇ), telle que nous l'avons définie, est supérieure à a. On a donc:
ce qui montre que ««(r, y) est une fonction semi-continue supérieurement,
93. Nous déduisons de là que si E est un ensemble parfait quelconque, il y a, au voisinage de tout point de JP, des points de ^ Où «<, a son minimum positif par rapport à E*
Prenons d'abord pour E le continu à deux dimensions, c'est-à-dire une aire quelconque. On peut, dans cette aire, en trouver une autre où «« a son minimum positif, dans celle-ci une autre où a„ a son minimum positif, etc
On voit ainsi que dans toute aire il existe des points où a, a son minimum par rapport à (jj, y) positif , quel que soit a.
Supposons que, dans une aire C, le minimum de «, soit positif. Je dis
qu'en un point quelconque A^{ocq^ y^ de cette aire, l'oscillation de -5— par
rapport à (^, y) est ^ 2 <t. En effet, prenons dans C un rectangle d de côtés parallèles aux axes, contenant A^^ et dont la dimension parallèle à Oa; soit inférieure au minimum de «» dans C\ dans ces conditions, si P, Ç, ^4, sont trois points situés dans ce rectangle Ci , sur une même parallèle à ^, et de manière que P et Ç soient de part et d'autre de A y on aura:
r'PÇ-I^C^)
Donnons-nous un noinbre t positif. Je prends d'abord, sur la parallèle à Oa; menée par A^^.^i de part et d'autre de A^^ deux points P^ et Q^ compris dans C; puis, sur les parallèles à Oy menées par P^ et Ç^? j® prends deux intervalles entourants ces points, assez petits pour que, P et Ç étant deux
108 Baire: Sur les fonctions
points quelconques pris respectivement dans ces intervalles, on ait:
\r^PQ-r^P,Q,\<e. (2)
On voit alors qu'on peut prendre autour de Aq une aire assez petite pour que, A étant un point quelconque de cette aire, il y ait, sur la parallèle à Ooo menée par Aj une couple de points P et Ç vérifiant les inégalités (1) et (2); ajoutons l'inégalité:
Nous déduisons de là:
K w - lî (A)
et comme e est aussi petit qu'on veut, l'oscillation de ^ en ^^ est ^2 a.
Nous avons reconnu qu'il existe des points où a^ a son minimum positif,
quel que soit a; en un tel point, l'oscillation de -^ est nulle, c'est-à-dire
que ^ est continue.
On reconnaît ainsi que si ^ existe en tout point, c'est une fonction
ponctuellement discontinue.
94. Supposons à présent que f{xj y) ait, en chaque point, des dérivées partielles déterminées par rapport à x et par rapport à y. Appelons fio (a?, y) la fonction qui joue par rapport à y le même rôle que «, (^, y) par rapport à v. Dans toute aire il existe une autre aire où a<, a son minimum positif, et dans celle-ci une autre où /3a a son minimum positif; ceci ayant lieu quel que soit a, on reconnaît qu'i/ existe dans toute aire des points en chacun desquels «<, et /3, ont leur minimum positif, quel que soit <t. Je dirai qu'un tel point est un point régulier.
Soit A un point régulier; d'après la définition, quel que petit que soit a, les fonctions a, (a?, y), /S^ (a?, y), ont en A leur minimum positif; je dis que, si petit que soit a, il est possible de déterminer autour de A une aire assez petite pour que, si B et C sont deux points quelconques de même ordonnée situés dans cette aire, on ait:
r'BC-^/^iA)
<cr.
de variables réelles.
En effet, «^ a son minimum positif en A\ je peux prendre un nombre
positif y inférieur à ce minimum, et déterminer autour de A une aire en tout point de laquelle on aura: cia>7' Dans cette aire, je prendrai un rec-
tangle de centre A et dont la dimension parallèle à 0^^ sera plus petite que y; enfin je diminuerai, s'il le faut, les dimensions de ce rectangle, de manière que
l'oscillation de —^ y soit inférieure à — . Dans ces conditions, si nous pre-
lions, dans le rectangle obtenu en dernier . lieu, et sur une même parallèle à 0^, deux points quelconques B et (7, on a, en appelant D le milieu du segment B C:
rtBC-l^{D)
et:
^Ai.m-1-AA)
inégalités d'où l'on déduit:
r.BC-f{(^)
On démontrerait de même que si Taire considérée autour de A est suffisamment petite, et si on prend deux points quelconques B' et C de même abscisse dans cette aire, on a:
Etudions maintenant ce qui se passe quand on considère deux points au voisinage de Aj situés l'un par rapport à l'autre d'une manière quelconque. Je suppose qu'on ait déterminé autour de A une aire (un carré de centre -4, par exemple), dans laquelle les conditions précédentes, exprimées par les inégalités (l) et (2^, se trouvent remplies.
Soient P et Ç deux points quelconques de cette aire. Je représente la longueur P Q par l , l'angle que fait la direction P Q avec x par X ; de cette manière, si les coordonnées de P sont a;,, y», celles de Q seront a;j = a;i + ^cosX, y^ ^^ yj 4- / sin X. Considérons le point R qui a même ordonnée que P et même abscisse que Ç, c'est-à-dire qui a pour coordonnées
Baire: Sur les fonctions
Je me propose de trouver une expression de la quantité:
Pour cela, j'écris :
^ longueur P Q
f(Q)-f(P) ^ f(R)-f (Pi PB ■ f(Q)-f(R) RQ l'PÇ PB ' fPQ'^ RQ 'fPQ
c'est-à-dire :
r« P Ç = r' Pi2 . cos X + l' iî Ç • 8in X.
Rappelons maintenant qu'on a :
rtpR-lL(A)
Nous avons donc :
df
'*PQ-]^/i{^)"^o^'^ + y-y{A)'%\n\
^ or . (I cos X I + I sin X I).
La quantité du second membre ne surpasse pas a • V2. Nous pouvons tirer de cette étude la conclusion suivante :
Si A est un 'point régulier ^ h tout nombre positif e on peut faire correspondre un cercle de centre A y tel que, P et Q étant deux points quelconques pris dans ce cercle, et X étant V angle de P Q avec ^, on a :
VPQ
-[|{(^)cosX + |^(^)sinx]
95. On pourrait faire des raisonnements analogues aux précédents, en considérant une courbe au lieu d'une aire. D'une manière plus générale, je passe tout de suite au cas où l'on considère un ensemble parfait quelconque E. Bi on considère les fonctions a^ (^, \j) et % (.r, y) sur l'ensemble ^, cha* cune d'elles étant positive et semi-continue supérieurement, il est impossible que l'une d'elles ait, en tout point de JS7, son minimum nul par rapport à E\ par suite, au voisinage de tout point de E^ on peut trouver un point de E où le minimum de a^ et celui de /3<, sont positifs. On déduit de là que, au voisinage de tout point de J?, il existe des points de E en chacun desquels le minimum de a<, et de jS^ par rapport à E est positif, quel que soit o. Je dirai qu'un point de cette nature est un point régulier par rapport à E*
Nous allons voir qa'un tel point possède des propriétés tout à fait anTilogues à celles que j'ai étudiées dans le numéro précédent.
Soit .1 un point régulier par rapport à E] la fonction «,, a son mini-
mum par rapport à E positif; soit y un nombre positif inférieur à ce roini* mum. Je peux déterminer un carré de centre A possédant les propriétés suivantes :
