Le côté du carré est inférieur à y

3.^ L'oscillation de J- par rapport à E est inférieure à — ; il est

poseible de réaliser cette condition, parce que -^ est continue en A par rapport à E.

Dans ces conditions^ si nous prenons dans ce carré un point B appartenant à JS? et un autre point C quelconque, mais de même ordonnée que B, nous aurons:

et par suite :

r'BC-l[(B)

r-BC-lt(A)

Supposons qu'on ait déterminé autour de A un carré remplissant les conditions qui précèdent et celles qu'on en déduit en permutant le rôle des lettres ^v et y. Prenons dans cette aire deux points P et Ç appartenants à E\ soit Tt le point de même ordonnée que P, et de même abscisse que Q\ {K n^appartient pas nécessairement à E). On peut, en raisonnant comme au numéro précédent, montrer qu'on a :

fiQ)-f{P) VPQ

-[|^(^)cosX+^(^)sinX

À représente, comme plus haut, l'angle de P Ç avec .r.

112 Baire: Sur les fonctions

Je résume ces résultats dans l'énoncé suivant:

Si E est un ensemble parfait, il existe, au voisinage de tout point de E, des points de E que f appelle réguliers par rapport h E ; si A est un de ces points, à tout nombre e correspond un cercle de centre A tel que, si P et Q sont deux points de E pris dans ce cercle, on a :

r'PQ-[l^{Â).coB(0.r, P(?) + |/(^).8in(0.p, P (?)] j < e. (1)

Comme application de ce résultat général, nous reconnaissons que si l'on considère une courbe, il y a, dans tout arc de cette courbe, des points où

^ et ~^ sont continues par rapport à la courbe.

Mais il peut arriver que, pour tous les points d'un arc de courbe, ^ ^

par exemple, soit discontinue par rapport à (^, j/). Citons la fonction qui, pour X — y =^0^ est égale à 0, et qui, pour ;r — y 5 Oj est égale à :

{x — y)* sin

En tous les points de x — y = 0, les dérivées ô^ ©* ô^ sont discontinues,

l'oscillation étant. égale à 2.

96. Revenons maintenant au problème posé au § 89, à savoir l'intégration de l'équation :

Je viens de déterminer certaines conditions auxquelles satisfait toute fonction f{x^ y) qui possède en chaque point des dérivées déterminées; j'ajoute maintenant à ces conditions celle qui est exprimée par l'équation (2).

Interprétons alors les résultats trouvés. Prenons une quelconque des droites parallèles à x — y = 0, et sur cette droite un ensemble parfait quelconque E (qui, en particulier, pourra être le continu). Il existe, au voisinage de tout point de E^ des points réguliers par rapport à -B; si -4 est un de ces points, à tout nombre positif e correspond un intervalle de milieu -4, tel que, si P et Ç sont deux points de E pris dans cet intervalle, on a :

Dans le cas actuel, cette relation devient simplement :

\r^PQ\<e.

Nous sommes ainsi conduits à rechercher les fonctions d'une variable qui possèdent les propriétés exprimées dans Ténoncé précédent. J'aurai besoin, pour cela, d'exposer encore quelques considérations générales sur les fonctions. 97. Soit une fonction quelconque f{x)\ considérons, dans l'intervalle ^ B où elle est définie, un ensemble parfait E^ qui pourra être le continu, et prenons une portion déterminée de cet intervalle a /3, contenant des points de JS?.

Soit un couple de points P et Ç appartenant à JE? et situés sur a/3; considérons toutes les quantités : r^ P Q ; l'ensemble de ces quantités a une limite supérieure M et une limite inférieure w. Je conviendrai de dire que 3/ et m sont les coefficients 7naximum et minimum de variabilité de fi^r)^ par rapport à E^ dans ^intervalle a /3 ; et je représenterai ces nombres par M[f{x\ E, «/3], m[f{œ), E, «^].

Si ^0 est un point appartenant à Ej je prendrai, dans l'intervalle {x^ — cJ, Xo + d)j les nombres que je viens de définir; quand d tend vers 0, ces nombres tendent vers des limites déterminées : M [/*(.^), Ej iV^) et m [/^(•^), JE?, J?J, qui seront les coefficients maximum et minimum de variabilité de f{x) par rapport à E au point x^.

Il est évident que si .r^ est compris dans a/3, on a:

On déduit de là que si on considère le coefficient maximum de variabilité on un point ^{x) comme fonction de x\ cette fonction est semi<ontinue supérieurement.

J'énonce encore une remarque qui me sera utile dans la suite. Si l'on a deux points P et Ç tels que :

il existe certainement un point A situé entre P et Ç, ou coïncidant avec l'un d'eux, et où l'on a:

la fonction M étant relative au continu. C'est une conséquence directe d'une remarque faite au § 90.

Je n'ai fait jusqu'à présent aucune hypothèse sur f{x)\ je suppose maintenant que cette fonction est continue. Soit a^ un intervalle contenant le

114 Baire: Sur les fonctions

point -^oO^o)- Pour définir M{f{jic\ Ej a/3), on peut, au lieu de considérer tous les couples de points Ai{xi) et ^î(^,) appartenants k E et situés dans l'intervalle, considérer seulement ceux pour lesquels on n'a pas: œi = x^^Xq^ en d'autres termes faire abstraction du point M^. En effet, dans l'hypothèse de la continuité, toute quantité telle que r^ A^ A peut être regardée comme limite d'une suite de quantités telles que r^^i^lg. Ai et At étant distincts de Aq] par suite, que l'on tienne compte ou non des quantités de la forme: r^ A^ Aj les limites supérieure et inférieure resteront les mêmes.

Prenons maintenant l'intervalle {r^ — c?, x^ + (J), et considérons tous les points du continu C qui sont dans cet intervalle, en retranchant le point .r^. La fonction M[f{x), C, r] a, en cTiacun de ces points, une valeur déterminée; cet ensemble de valeurs a un maximum qui, quand i tend vers 0, a une limite M' ; je dis que, dans le cas où la fonction est continue^ cette limite M' est précisément M [f{'^)j C^ *^o]'

Nous savons déjà qu'on a:

Cela résulte de ce que la fonction M{x) est semi-continue supérieurement; il suffit donc de démontrer qu'on ne peut pas avoir :

Supposons que cela ait lieu; prenons un nombre X tel qu'on ait:

On peut trouver, aussi près qu'on veut de .^7„ , deux points P et Ç tels que :

r^PQ>h

On peut d'ailleurs supposer que P et Ç sont du même côté par rapport à A{Xo)] en effet, si cela n'a pas lieu, si l'on a, par exemple:

Xp <Z. Xq <^ Xç y

il est certain que l'une au moins des deux quantités r^ P A et r^ A Ç, est supérieure à X ; soit, par exemple :

r' FA > X.

Nous pouvons, à cause de la continuité de la fonction, prendre un point Ç, du même côté que P par rapport à ^ et assez voisin de A pour qu'on ait

encore : '.

r'PQ,>h

de variables réelles. 115

Il existe, entre P et Ç,, un point B(x) où l'on a:

ce qui est en contradiction avec Thypothèse: X>ilf',

En résumé, dans le cas où f{x) est continue, la fonction M (x) relative au continu, possède une propriété caractéristique qu'on peut énoncer de la manière suivante:

La fonction M{x) est égale, en chaque point, au maximum des valeurs qu'elle a aux points voisins.

Considérons maintenant une fonction f{x) continue ^ et non constante; cette dernière condition peut s'exprimer de la manière suivante: il existe deux points P et Ç tels que l'on a :

HPÇ^O.

On aura, ou bien : r' P $ > 0, ou bien : r^ P Ç < ; il suffit d'envisager, par exemple, la première hypothèse. Je suppose donc qu'il existe un nombre positif a et un couple P Ç, pour lequel on a :

r'PÇ>cr.

D'après ce que nous avons vu, il existe certainement au moins un point x où l'on a :

et, au voisinage de ce point, il en existe d'autres possédant la même propriété: tout point où l'on a M{x)'>(j est point limite d'une suite de points où l'on a aussi M (x) Z> o . Autrement dit, en désignant par^G l'ensemble des points où M{x)>(Tj l'ensemble est dense en lui-même. Son dérivé G' est donc un ensemble parfait, et en chaque point de Cr' on a :

98. J'arrive maintenant à l'étude des fonctions présentant la propriété indiquée au § 96, propriété que je peux énoncer de la manière suivante: Si Von considère un ensemble par fait . quelconque E^ il y a^ au voisinage de tout point de E^ des points où Von a:

On peut dire qu'un point où cette double condition est remplie est un point stationnaire par rapport à E ; au contraire, en un point où l'un des deux nombres M et m est différent de 0, on dira que la fonction est variable par

H6 Baire: Sur les fonctions

rapport à E. Nous sommes conduits à dire, par analogie avec la notion de fonction ponctuellement discontinue, que la fonction dont nous nous occupons en ce moment est ponctuellement variable relativement à tout ensemble parfait. D'après cette définition, le résultat du § 96 peut s'énoncer dans les termes suivants: Si une fonction f{x^ y) satisfait en tout point à V équation:

^ 4" q"^ = 0, sur chaque droite x — y = (7% elle esb ponctuellement variable

relativement h tout ensemble parfait.

Supposons qu'on impose à f{x^ y) la condition d'être continue par rapport à l'ensemble (x, y)\ dans ce cas, la fonction d'une variable définie sur chaque droite a; — y == C**, sera à la fois continue et ponctuellement variable sur tout ensemble parfait. Je vais démontrer qu'une telle fonction est nécessairement constante.

Je ferai voir pour cela qu'une fonction continue et non constante ne peut pas remplir la condition d'être ponctuellement variable sur tout ensemble parfait.

Soit donc f{x) une fonction continue et non constante; j'ai montré plus haut qu'il existe (soit pour f{x\ soit pour cette fonction changée de signe), un nombre positif a tel que l'ensemble G des points où M{f{x\ .C, :r)>a, C représentant le continu, est dense en lui-même. En tout point de (?' on a :

et en tout point qui ne fait pas partie de G\ on a:

Si on suppose que /*(a?) est ponctuellement variable relativement au continu^ 6 (et par suite (?') est non dense par rapport au continu.

Soit A (Xo) un point de G'. Je considère simultanément les deux nombres M[f{x)j (7, Xo] et M [f{x)j G\ Xq]] je vais démontrer qu'ils sont égaux. •

D'abord on a certainement:

M{G\ Xo)^M{C, Xo)y

car tous les couples de points qui sont à considérer dans la définition de M{G\ Xo)j le sont aussi dans la définition de 3/(6', Xq). Je dis maintenant qu'on ne peut pas avoir:

de variables réelles. 117

Supposons en effet que cela puisse avoir lieu; prenons alors un nombre X tel qu'on ait:

et en même temps:

On peut, d'après cela, déterminer un intervalle B B' contenant le point A {x^^ tel que, pour tout couple HK de points de G' contenus dans cet intervalle, on ait:

Ir^HKKl.

Soit alors PQ (xp<CXç) un couple de points quelconques pris dans l'intervalle; soit H le point de G' qui est le plus voisin de P, à droite de F, et K le point de G' qui est le plus voisin de Ç, à gauche de Ç; on a ainsi:

Xp ^ Xj£ ^ Xx ^ Xq.

De plus, il n'y a, entre P et ff, ou bien entre K et Ç, aucun point de l'ensemble G'. De cette manière, il est certain qu'on a:

Ir^Pfll^a, \r^KQ\^a,

car si l'on avait, par exemple: r^ PH'^dj il y aurait entre P et H un point de Gy ce qui ne peut pas être. On a en outre:

\r'HK\<l.

Or, la quantité r^ P Q est comprise entre les valeurs extrêmes des quantités r' PH, r^HK, r'KQ. On a donc:

\r^PQ\<'k.

Comme P et Ç sont deux points quelconques de l'intervalle B B\ on devrait avoir :

ce qui est contraire à l'hypothèse.

En résumé, on a:

ce qui montre qu'en tout point de l'ensemble parfait G\ on a:

118 Baire: Sur les fonctions

Donc, sur l'ensemble parfait G\ la fonction considérée ne peut pas être ponc* tuellement variable; nous pouvons dire qu'elle est, sur 0\ totalement variabley ou même totalement croissante.

La conclusion de cette étude est, que, si une fonction est continue et est ponctuellement variable relativement à tout ensemble parfait^ elle est constante.

Pour se convaincre de la nécessité des raisonnements que nous venons de faire, il suffit de se rappeler qu'une fonction peut être continue, non constante, et telle que, dans tout intervalle, il en existe un autre où elle est constante (*). Autrement dit, une fonction peut être continue et être ponctuellement variable relativement au continu, sans être constante.

D'autre part, si on supprime la condition de la continuité, le théorème ne s'applique plus. Prenons par exemple la fonction discontinue égale partout à 0, sauf en un point, où elle a la valeur 1. Cette fonction, qui n'est pas constante, est ponctuellement variable relativement à tout ensemble parfait. 99. L'application des résultats précédents à l'intégration de l'équation

^ -|- ^ == est immédiate, et nous pouvons énoncer le résultat suivant :

Toute fonction f{Xj y)y continue par rapport à (rc, y), et possédant en tout point des dérivées ~- et a— satisfaisant à la relation:

est de la forme:

<f (w) représentant une fonction continue de u qui a une dérivée déterminée en chaque point.

Si on compare ce résultat avec les résultats courants, on voit que notre démonstration est plus complète que la démonstration par le changement de variables, en ce sens que nous ne faisons sur les dérivées aucune autre hypothèse que celle de leur existence. Il resterait, pour terminer la question, à voir ce qui se passe lorsqu'on n'assujettit plus la fonction à être continue par rapport à l'ensemble des variables, mais seulement par rapport à chacune d'elles.

(*) L. ScHBEFFBR, Actu MathemoUca, Tome V, page 289.

de variables réelles. 119

100. Les résultats que nous Tenons d'obtenir pour l'équation simple : TT^ + o^ = 0^ 8-étendent sans diificulté à toute équation de la forme :

X(x, y).|^+F(ar, y).|^=0. (I)

Lorsqu'on se place au point de vue ordinaire, on cherche d'abord les courbes satisfaisant à la relation différentielle :

dx d y

Ces courbes sont les caractéristiques de l'équation (1); si l'on admet quo j^et^ sont des fonctions continues, la fonction /*(«, y) admet une différentielle totale:

On voit alors que cette fonction doit être constante sur les caractéristiques. Cherchons dans quelle mesure nous pouvons étendre ce résultat.

Je me place dans les hypothèses suivantes : Dans une certaine aire S, il existe une fàmiUe de courbes :

de sorte que, par tout point de l'aire, passe une courbe et une seule de cette famille; y (or, y) a en tout point des dérivées continues par rapport à (a;, y); il y a ainsi, en chaque point (Xq, yo)y une tangente déterminée pour la courbe qui passe en ce point; l'angle « de cette tangente avec Oa: est donné par la formule:

cos a sin a 1

Enfin, X et F sont limités dans l'aire que nous considérons.

Soit C une de ces courbes, E un ensemble parfait de points pris sur C; je dis que la fonction f{x^ y), relativement à E, est ponctuellement variable. Il suffit, pour le démontrer, d'interpréter le résultat général énoncé au § 95:

Il existe dans E des points réguliers par rapport à E] si A est un de ces points, à e correspond un cercle de centre A tel que, si P et Ç sont

120 Baire: Sur les fonctions

deux points de E pris dans ce cercle, on a :

r*PQ-[l^iA)-coB(Ox, PQ) + ^(A)-s\n{Ox, PQ)]\<e. (2)

Dans le cas actuel, si a est l'angle de la tangente à C en A avec Oar, les quantités cos (0 Xj P Ç), sin (0 Xj P Q\ sont infiniment voisines de cos « et sin. ût, qui sont proportionnelles à X{A\ Y{A)\ donc, en tenant compte de réquation (1), la relation d'inégalité (2) donne lieu à celle-ci :

e, pouvant devenir aussi petit qu'on veut. Cette inégalité (3) exprime la proposition que je voulais démontrer.

On déduit de là que, si /"(rr, y) est assujettie à être continue par rapport à (a:, y), elle doit être constante sur les caractéristiques, la chose étant démontrée indépendamment de toute hypothèse sur les dérivi^es autre que celle de leur existence.

101. Nous pouvons enfin donner encore une extension à ces résultats, en considérant le cas de l'équation à n variables:

X, (x„ a:.,. . Xn) • |£ + X. ^ + • • • + X„ ^^ - 0. (1)

En premier lieu, on fera une étude sur les conséquences qu'entraîne, pour une fonction de n variables, l'hypothèse de l'existence de dérivées partielles en chaque point; dans le cas général, cette étude présenterait des difficultés, analogues à celles que nous avons rencontrées dans l'étude des fonctions de n variables, continues par rapport à chacune d'elles, dès que n est égal à 3.

Mais si l'on suppose que /"(a?,, a:,,.., Xn) est continue par rapport à l'ensemble des variables, on a immédiatement un résultat très simple; en effet, appelions ««(a^i, a:,,... Xf^ la fonction définie au § 91, et relative à Xj; dans l'hypothèse de la continuité de f^ cette fonction «, est semi-continue supérieurement par rapport à l'ensemble (x,, Xe,... Xn)] on en déduit que, sur toute courbe caractéristique de l'équation (1), la fonction f est à la fois continue et ponctuellement variable relativement à tout ensemble parfait; elle est donc constante.

Ici encore nous avons accompli un progrès : nous avons supprimé la restriction de la continuité des dérivées.

Je ferai remarquer qu'il existe certainement des fonctions non continues par rapport à P ensemble des variables et satisfaisant à l'équation (1); par

de variables réelles. ISTl

exemple, si nous envisageons l'équation :

la fonction que j'ai déjà considérée au § 86, qui est égale à pour les points de la droite x = y = Zj et à :

pour les autres points de l'espace, satisfait en tout point à l'équation aux dérivées partielles (2); cela résulte de ce qu'elle est constante sur chaque parallèle à x = y=^z] mais on voit qu'elle est discontinue par rapport à l'ensemble {Xy y, z).