En chaque point P je pose

W (Xi , X^j. , . Xn) = (f {Xi j .Tj , . . . Xfi) Y V'^y iTj j . • . Xn)j

et je conviens d'appeler o) VosciUation au point P; c'est aussi, comme on le voit, la limite de l'oscillation de la fonction dans un domaine contenant P à son intérieur et dont la plus grande dimension tend vers 0.

Comme pour M et w?, nous emploierons les notations w [/*, D] et w [/", P] pour désigner l'oscillation de f dans le domaine D et l'oscillation au point P.

De par sa nature même, la fonction w est positive ou nulle. En un point où elle est nulle, la fonction /'est continue; au contraire, en un point où elle est positive, il y a une discontinuité pour f. On peut dire, en quelque sorte, que la fonction w \f\ relativje à la fonction f caractérise le degré de discontinuité de f aux différents points.

Je dis que « [/*] est semi-continue supérieurement. En effet, si on po donne un nombre positif c, on peut trouver autour de tout point Po un domaine où l'on aura partout :

et:

inégalités d'où l'on conclut, par soustraction :

w <! Oiio + e.

On pourrait d'ailleurs démontrer la chose directement, en employant un raisonnement analogue à celui du § 6.

Enonçons la remarque suivante, qui résulte immédiatement de ce qui précède : Etant donnée une fonction quelconque, Vensemhle des points oii VosciUation de cette fonction est ^a est fermé.

de 'variables réelles. 11

12. Je vais considérer une catégorie particulière de fonctions, celles pour lesquelles Foscillatiou u a son minimum nul dans tout domaine à n di- ^mensions, et par suite en tout point. La considération de ces fonctions s'introduit d'une manière naturelle; on peut dire en effet que, pour une fonction do cette nature, il y a, dans tout domaine, des points où elle se rapproche autant qti^on veut d^une fonction continue. Mais nous allons préciser cette idée un peu vague, en montrant qu'il existe effectivement dans tout domaine des points où la fonction est continue.

Je vais d'abord établir un théorème qui me sera souvent utile dans la suite.

Si une fonction / est semi-continue supérieurement, et si elle a en tout point son minimum nul, il existe, dans tout domaine, des points oh x ^^^ w^'-

En effet, prenons un domaine D quelconque. Puisque, dans ce domaine, X a son minimum nul, si on se donne un nombre positifs, on peut trouver un point P à l'intérieur de D où l'on a :

Ensuite, à cause de la serai-continuité supérieure, on peut trouver un domaine Z), entourant P où l'on aura partout:

Z<X(P) + |' c'est-à-dire :

Nous voyons ainsi que, dans tout domaine Z>, et quel que soit e, on j)eut trouver un domaine D^ où Ton a partout :

Prenons maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant

vers , par exemple e , ^ * ' * * ^i ' " *

Dans Z)| nous trouverons un domaine A où l'on aura partout :

X<|' dans D, un domaine A où l'on aura:

Z <. gt

etc,

» ■- ■■■■ ■>.-^^■■■^■■^■■^■ ■ —-■■-■ ■■■■^■b ■■ i » i» ■ ■ ■»■ ■■ I ■ ■ i I |^^^^^^^^»^ il » ■ ^ — ■ ■ ■-■■■■ ■■■■-■ ■,..-■■-- *■— -— ^ —

Les domaines Z>, , A,... -Dnj* . étant tels que chacun d'eux est contenu dans le précédent, il existe au moins un point limite contenu à rintérieur de

tous les Dn^ On doit avoir, en ce point, &>< — > quel que soit n, c'est-à-dire

w = 0, ce qui démontre le théorème.

Il n'est pas inutile de remarquer que les deux conditions données dans l'énoncé du théorème sont indispensables. En effet, il est bien évident d'une part qu'une fonction peut avoir en tout point son minimum nul, sans jamais atteindre la valeur 0; citons, par exemple, la fonction f{x) qui est égale à 1

pour X irrationnel, et à - pour les valeurs de la forme a; = - • D'autre part,

une fonction assujettie à être semi-continue supérieurement, peut ne jamais atteindre la valeur 0, et cependant avoir son minimum nul en un point, ou même en tous les points d'un certain domaine à n — 1 dimensions, s'il s'agit d'une fonction de n variables; pour former un tel exemple, prenons dans le plan un arc de courbe A B, et formons une fonction continue ayant la valeur aux points de cet arc, une valeur positive aux autres points du plan ; remplaçons ensuite les valeurs aux points de l'arc AB par une succession continue de valeurs positives; la nouvelle foncfîon est semi-continue supérieurement en tout point; elle a, en chaque point de AB^ son minimum nul, et cependant n'atteint jamais la valeur 0.

Je vais maintenant tirer une conséquence du théorème que je viens de démontrer, ou, pour mieux dire, énoncer ce théorème sous une autre forme. Nous reconnaissons que si x est semi-continue supérieurement, et si l'on a partout :

les points où le minimum de / est nul ne peuvent pas former un domaine continu à n dimensions, car alors il existerait, d'après la démonstration que nous venons d'exposer, des points où l'on aurait / = 0. L'ensemble de ces points est d'ailleurs fermé ; il ne peut donc pas être dense (*) par rapport à un domaine à n dimensions; je déduis de cette remarque l'énoncé suivant, qui est une transformation de celui de tout à l'heure:

Si une fonction ^ ^st semi-continue supérieurement et est toujours positive y il existe dans tout domaine à n dimensions un domaine de même nature dans lequel x o, son minimum positif

(*) On dit qu'un ensemble est dense par rapport à un domaine si son ensemble dérivé contient tous les points de ce domaine. Voir, par exemple: Borel, Leçons sur la ihcorie des fonctions, page 38.

(le variables nielles. 13

Revenons aux fonctions pour lesquelles o a son minimum nul en tout jxiint; d'après ce que nous venons de voir, il existe dans tout domaine à n dimensions (autrement dit, au voisinage de tout point) des points en chacun desquels on a û) = 0, et où par suite la fonction est continue.

Une telle fonction est dite 'ponctuellement discontinue^ toute fonction qui n'est, pas ponctuellement discontinue est dite totalement discontinue. On voit que, si une fonction est totalement discontinue, il existe nécessairement un domaine à n dimensions dans lequel Voscillation en chaque point de cette fonction a son minimum positif.

Les fonctions ponctuellement discontinues sont caractérisées par ce fait que, en tout point, et dans tout domaine, le minimum de tù est nul. On peut encore dire que l'ensemble des points où w^a, 7 étant un nombre positif, n'est dense dans aucun domaine à n dimensions.

Montrons qu'une fonction semi-continue, supérieurement par exemple, rentre dans cette catégorie de fonctions. Soit en effet f la fonction considérée ; en reprenant les notations déjà employées aux § 9 et 10, on a, dans le cas actuel :

et par suite :

or, nous avons montré que, dans tous les cas, f — ^ a son minimum nul partout. Donc w a son minimum nul en tout point, et f est ponctuellement discontinue.

13. Pour terminer ce chapitre, je vais donner un théorème sur les fonctions quelconques, qui comprendra comme cas particulier le théorème connu relatif aux fonctions continues : La continuité est uniforme.

Soit /"(a:,, a:,,... Xr^ une fonction quelconque. Considérons un point P, et une sphère à n dimensions de centre P et de rayon p] dans celte sphère (considérons la sphère fermée, par exemple), la fonction a une oscillation déterminée w; si je fais varier p^ je pourrai considérer w comme une fonction de p définie pour les valeurs positives de p. Pour /> = 0, j'attribuerai à la fonction w la valeur limite des valeurs qu'elle prend lorsqu'on fait tendre p vers 0, c'est-à-dire ce que j'ai appelé Voscillation au point P.

Oela posé, donnons-nous un nombre positif X; le seul fait que (ù est une fonction de p non décroissante suffit pour qu'on soit assuré de l'existence d'un nombre r parfaitement déterminé, tel que :

pour ^p<ir on a : ew (p) ^ X pour p > r on a : w (p) >> X .

14 Baire: Sur les fonctions

Pour p=^r^ on peut avoir, soit ût)(r)<X, soit û)(r) = X, soit w (>•)>}., Nous pouvons définir r comme la limite supérieure des nombres p pour lesquels on a: (ù (p) i^ X.

On peut être conduit, par la définition précédente, à attribuer à r la valeur +^5 cela ne créera, d'ailleurs, aucune difficulté dans les applications.

On reconnaît tout de suite que si Ton avait pris des sphères ouvertes au lieu de sphères fermées, on aurait trouvé le même nombre limite r; il suffit de remarquer que toute sphère ouverte de rayon <C r est contenue dans une sphère fermée de rayon <Cr, tandis que toute sphère ouverte de rayon >► r contient une sphère fermée de rayon >> r.

Au lieu de considérer des sphères de centre P et de rayon variable, on pourrait considérer des domaines de forme quelconque, mais assujettis aux conditions suivantes : l'ensemble des points qui constituent le domaine variable est déterminé par la valeur d'un paramètre unique jo, qui prend les valeurs positives et nulle; si l'on a p <.p\ le domaine D' qui correspond h. p est contenu tout entier dans le domaine D' qui correspond à p'\ enfin, si p tend vers 0, la plus grande dimension du domaine tend vers 0. Dans ces conditions, le raisonnement précédent est applicable, il existe un nombre r tel que, pour /)<r, l'oscillation dans le domaine correspondant à p est ^ X, tandis que pour p > r, cette oscillation est > X.

Reprenons le cas où les domaines considérés sont des sphères, et soit X un nombre positif déterminé, que nous laissons fixe, tandis que nous faisons varier le point P; r devient alors une fonction du point P; je vais démontrer que cette fonction est continue^ il suffira, pour s'en rendre compte, de reprendre un raisonnement employé par M. Lûroth dans le cas où f est une fonction continue {Math. Annalen^ Bd. VI).

Il s'agit de démontrer que, au voisinage de Pq, r{P) est aussi voisin qu'on veut de r(Po) = ro. Pour cela, considérons la sphère 2o de centre Po et de rayon ro*, en supposant d'abord r» positif, prenons un point P à l'intérieur de 2o, et soit P^P=d. Décrivons de P comme centre les sphères S, et ^2 de rayons respectifs r© — d et ro + ^î tous les points de S, appartiennent à 2,, et tous les points de 2o appartiennent à 8%.

Considérons maintenant toutes les sphères S décrites de P comme centre, avec le rayon variable p. Si p<C Vq — :J, la sphère S est comprise à V intérieur de S,, et par suite à l'intérieur d'une certaine sphère 2, de centre Po et de rayon inférieur à roj donc l'oscillation dans S est tS X. On déduit

de variables réelles. 15

de là:

r(P)^ro — 1

Si l'on a f)>ro + <ï, la sphère S contient à son intérieur *?«; par suite elle contient aussi à son intérieur une sphère I2 de rayon supérieur à ro; Foscillation dans S est donc > X. On a par suite :

En réunissant ces deux résultats, on voit que si on se donne un nombre positif e quelconque, il suffit de prendre P à l'intérieur de la sphère de centre Po et de rayon e pour que Ton ait:

\r{P)-r{Po)\<e.

Dans le cas où Ton aurait r (Po) = 0, il suffirait d'appliquer la seconde partie du raisonnement pour voir que la conclusion reste 1a même.

En résumé, r(P) est une fonction continue du point P. Donnons une application de cette propriété.

Etant donnée la fonction /(a:,, aîg,... Xn)j nous avons défini la fonction o)(a:, , X2,... Xn) qui représente en chaque point l'oscillation de f. Soit D un certain domaine; appelons X le maximum de w dans ce domaine, et prenons un nombre >/ supérieur à X.

Puisque, en chaque point, on a w<;X', la fonction r relative à X' a en chaque point une valeur positive (jamais nulle). Ainsi r est une fonction continue dans le domaine, toujours positive; son minimum dans le domaine est donc un certain nombre positif a. Nous déduisons de là le résultat suivant:

Si X est un nombre supérieur au maximum de w dans le domaine^ il existe un nombre positif a tel que, dans toute sphère de rayon égal ou inférieur à a, r oscillation est inférieure ou égale à X'.

Sous une autre forme, on peut dire qu'/Z existe un nombre positif (i tel que, si deux points P et Q sont à une distance ^ j8 Vun de Vautre, on a :

\fiP)-fiQ)\^l'.

Ce théorème doit être considéré comme la généralisation du théorème: La continuité est uniforme. En effet, appliquons notre résultat à une fonction continue ; il suffira de faire X = 0, X' = e ; on voit qu'on retrouve l'énoncé

connu.

14. J'ajoute, pour terminer ce premier chapitre, que beaucoup des résultats qui précédent peuvent s'étendre au cas où l'on étend encore la notion de fonction, en considérant des fonctions multiformes.

16 Baire: Sur les fonctions

Supposons qu'au lieu de considérer un seul nombre /"((oîî,)©, (a;,)©,.-- (^n)o) attaché au point [(a^Oo, {Xt)oy... {Xn)o]j on en considère plusieurs, ou même une infinité pouvant former un ensemble d'une nature absolument quelconque. Le seul point essentiel que nous avons besoin d'admettre est que la question suivante ait un sens précis : Un nombre donné ijo est-il, oui ou non, une valeur de la fonction f au point {Xi\j (0:2)0,... {Xn)o^

Pour une fonction de cette nature, on peut définir, comme pour une fonction uniforme, les limites supérieure et inférieure dans un domaine, puis eu partant de là le maximum, le minimum, l'oscillation en un point. Les fonctions y, vp, w, qui représentent respectivement ces trois quantités en chaque point, possèdent les propriétés que nous avons étudiées dans ce chapitre, en supposant qu'on était parti d'une fonction uniforme. Enfin, les résultats du §13 sont applicables aux nouvelles fonctions que nous considérons maintenant. J'aurai occasion, dans la suite, de faire usage de cette remarque.