I. Enoncé des problèmes

15. Quand on considère, au point de vue de la continuité, une fonction de plusieurs variables, il y a lieu de distinguer la continuité par rapport à Pensemble de ces variables et la continuité par rapport h ces variables considérées séparément. On sait, en effet, qu'une fonction des deux variables réelles x et y peut être, en tout point, continue par rapport à chacune d'elles, sans être toujours continue par rapport à leur ensemble; cette remarque est énoncée depuis longtemps par M. Dini dans ses cours à l'Université de Pise. Citons, comme exemple, la fonction qui est égale à pour l'origine, et

à '^ ^ pour les autres points du plan; on voit qu'en tout point distinct do X -T y

l'origine, la fonction est continue, au sens ordinaire; à l'origine, elle est encore continue par rapport à x et par rapport à y, puisqu'elle est nulle sur chacun de ces deux axes; mais elle éprouve une discontinuité si on déplace le point de coordonnées (.r, y) suivant unc3 direction oblique; suivant la di-

de variables réelles. lî

réctiôn a? = y, par exetaple, elle saute brusquement de la valeur à la valeuri.

En partant de cet exemple on d'autres exemples analogues, on peut former une fonction qui sera toujours continue par rapport à chacune des deux variables, et telle cependant qu'il n'existe aucune aire où elle soit toujours continue par rapport à leur ensemble. Pour cela, rangeons tous les points du plan dont les deux coordonnées sont rationnelles en une suite simplement infinie («i, /Si), (««, /S,),... («n, /3n),... ce qui peut se faire, puisque ces points forment un ensemble dénombrable. Soit «/«^^/s., une fonction telle que la précédente, discontinue par rapport à l'ensemble (a;, y) au seul point («n, /3n), où elle est continue par rapport à a: et par rapport à y, et de plus, inférieure en valeur absolue à un nombre fixe. Si S a» est une série absolu ment convergente, 2anWa«,/s„ sera une fonction possédant les propriétés indiquées : elle sera partout continue par rapport à chacune des variables, et dans toute aire il existera des points de discontinuité par rapport à l'ensemble (x, y).

16. On est ainsi conduit à se poser les questions suivantes. En premier lieu, si l'on assujettit une fonction de deux variables à être continue par rapport à chacune d'elles, cette condition entraîne-t-elle des conséquences simples relativement à la manière d'être de la fonction ? En particulier, et c'est l'une des questions qui feront l'objet de ce chapitre, la succession de valeurs prises par la fonction sur une courbe du plan, par exemple sur la droite x=f=yj constitue une fonction d'une variable qui, nous venons de le voir, n'est pas nécessairement continue; cette fonction est-elle assujettie à des conditions, et quelles sont ces conditions?

En se plaçant au point de vue en quelque sorte réciproque du précédent, on se donnera a priori une succession de valeurs sur a? = y, et l'on cherchera s'il est possible ou non de former une fonction de x et y, toujours continue par rapport à chacune de ces deux variables, et prenant sur la droite x = y les valeurs données. Ce sera le problème I.

17. Indiquons maintenant une autre question d'analyse dont le rapport avec la précédente est très étroit.

Supposons qu'on ait une fonction continue par rapport à (a:, y) à Viniérieur d'une aire A limitée par un contour C, et supposons qu'en chaque point de C il y ait continuité suivant la normale) j'entends par là que, lorsque le point M se rapproche indéfiniment du point Mo de G en suivant la normale

à C en Jlfo, la fonction f{M) tend vers une limite déterminée, qui est égale à f{Mo). La succession des valeurs f(Mo) prises par la fonction sur la courbe C peut être discontinue, comme on en trouve des exemples dans des questions classiques d'Analyse; nous nous proposons d'examiner si cette succession de valeurs est assujettie à certaines lois.

Je fais remarquer tout de suite que nous n'enlèverons évidemment rien à la généralité de la question en supposant que le contour C est constitué par une portion de l'axe Ox. Nous supposerons donc que, dans le rectangle:

on a une fonction continue par rapport à l'ensemble (a?, y) en tout point sauf aux points de Ox, oîi elle est seulement continue par rapport à y. Il s'agira de savoir ce qu'est la fonction sur Ox. Ce sera le problème II.

18. Nous verrons dans la suite qu'il y a lieu de traiter simultanément les deux problèmes I et II. Montrons d'abord qu'on peut les considérer tous deux comme cas particuliers d'un troisième problème, dans lequel les conditions imposées à la fonction sont un peu plus générales.

Supposons une fonction f{Xy y) définie dans le rectangle :

en tout point, il y a continuité par rapport à y ; en ce qui concerne l'autre variable x, nous supposons seulement que, entre deux droites parallèles à ar, y == y, j y =s= yg ^ il existe toujours une droite y = y^ sur laquelle il y a continuité par rapport à a;; en d'autres termes, il y a un ensemble de parallèles à x sur chacune desquelles la fonction est continue par rapport à rr, et cet ensemble est dense par rapport à l'ensemble de toutes les parallèles à Oo:. On se propose de voir ce qu'est la fonction sur une courbe du plan. Ce sera le problème III.

Il est bien évident que les conditions des problèmes I et II rentrent dans les conditions du problème III.

19. Passons maintenant à un autre ordre de questions, relatives à la théorie des séries.

Reprenons le cas du problème II, indiqué au § 17, oîi l'on suppose que la fonction f{x^ y) n'a de discontinuités qu'aux points de a;; il y a, en chacun de ces points, continuité par rapport à la variable y.

Prenons une suite décroissante de quantités positives et tendant vers 0; soit 2/19 i^tv** yn)--*9 et traçons dans le plan les parallèles à Oo; ayant pour ordonnées ces nombres tfij t/tj... yni^» Chacune des fonctions de x\ f{x^ y,), f{x^ y,),... f{Xj yn)j*" est une fonction continue de x^ tandis qu'au contraire la fonction f{x^ 0) peut être discontinue. D'autre part, si on donne à x une valeur fixe, la suite /(.r, y»), /{x^ yt)^*** fi^j yn)j"* a pour limite f{Xy 0).

D'une manière générale, nous dirons qn^une fonction f{x) est la limite de la suite de fonctions fi{x)y /i(a;),... fn{x)^... dans un certain champ de variation de Xj si, pour chaque valeur Xq appartenant à ce champ, la suite

de quantités fi{x^^ ffi^ol^'*' A(^o)r-- ^ P^^^ limite f{x^.

On voit, d'après cette définition, que dans la question précédente, la fonction discontinue f{x^ 0) est la limite de la suite de fonctions continues f{Xj y,), f{x,yt)j*'^ fi^yyn)"^ ou, ce qui revient au même, la somme de la série de fonctions continues :

fi^i yd +1 [fi^^ yn^i) - f{x, yn)] j

série qui est convergente pour toute valeur de a?, au moins dans un certain intervalle de variation.

Ces remarques nous conduisent tout naturellement à étudier le problème suivant. Etant donnée une série, dont les termes sont ^es fonctions continues de Xy et que nous supposons convergente pour chaque valeur de x (dans un certain intervalle de variation)^ la somme de cette série est une fonction déterminée de X] on sait que, lorsque la convergence est uniforme (ou même uniforme simplement, au sens donné à cette expression par M. Dini (*)), cette fonction est continue ; mais si on suppose seulement la convergence, la fonction peut être discontinue, comme la théorie des séries trigonométriques en fournit des exemples; il y a donc lieu de rechercher quelle est la nature de cette fonction; en d'autres termes, existe-t-il un critérium précis, caractérisant les fonctions qui peuvent être représentées par des séries de fonctions continues? 20. Je veux montrer ici comment ce problème se ramène complètement au problème II (§ 17). Soit la série :

Wj (x) + Wf (a;) + • • • + «n (iP) H

Posons : Sn (x) = w^ (a?) H \-Un (x)

S(x) == ti, (a;) H h Unix) -^

S{x) est la limite de Sn{x).

(*) U. Dini, Fondamentij etc., page 103,

Baire: Sur les fondions

Prenons, comme plus haut, une suite décroissante tendant vers 0: y,, y,,.,, yn,.*. et traçons dans lé plan les droites: y =» y,, y = yi>--- !/ =^ yn^-** En supposant que la série soit convergente .quand x varie de a à /3, considérons Je rectangle AB AiB^ limité par les droites x.^a^ a;=. /3, y=.0, y =r y, (fig. l)j appelons A^ Btj etc., ^n Bw,... les droites y=^y%\^'. ys=±y„j... Je définirai dans cette région une fonction /"(.r, y) de la manière suivante.

Sur chacune des droites ,y = y^^ je pose :

f{^i yn) = Sn(x)y et sur l'axe Ox:

Cela fait, chacun des points où la fonction n'est pas encore définie se trouve

FW 1

situé entre deux droites y = yp et y=zy^^^^ Soit (:c, y) un tel point. En supposant :

yp>y>yp^^^

je poserai :

yp —

yp+i

fi^} 1/p+>) +

y — j^p+t yp — yp+i

f(Xy yp),

c'est-à-dire que, sur le segment parallèle à y quî joint les deux points {Xj yp) et (Xj yp^i) je fais varier la fonction linéairement.

D'après cette définition, la fonction sera continue par rapport à l'ensemble (a;, y) dans chacun des rectangles partiels tels que ^,B, -4, B,,

AtBi A2B3J etc — En effet, les différents termes qui figurent dans le second membre de la formule (1) sont des fonctions continues de l'ensemble (a:, y).

J'énonce à ce sujet une remarque. J'aurai souvent occasion, dans la suite, de définir une fonction continue dans une aire A limitée par un con* tour C, en supposant que, sur C ou sur certaines portions de C, la fonction doive prendre des valeurs formant une succession continue donnée; il est bien évident que la chose peut toujours se faire; j'ajoute qu'on peut s'assujettir à ce que les limites supérieure et inférieure de la fonction dans A soient les mêmes que les limites supérieure et inférieure de la fonction donnée sur C. C'est, ce qui a lieu, par exemple, pour chacun des rectangles partiels Al Bi AfBij etc.*.. d'après la manière dont nous avons défini f{Xj y).

Je dis que f{Xj y), qui se trouve définie maintenant dans tout le rectangle A BAiBtj satisfait aux conditions du problème II. D'abord, en tout point pour lequel y>0, il y a continuité par rapport à l'ensemble (a:, y), d'après ce que nous venons de voir. Si maintenant nous considérons un point de l'axe x^ je dis qu'il y a en ce point continuité par rapport à y. D'une part en effet^ la suite f{Xy y,), f{Xj y^)... f{Xj yn)--? tend vers f{Xj 0); d'autre part la quantité f{x^ y), lorsque y est compris entre yn et y„4.,, est comprise entre f{Xj yn) et f{Xy yn+i); il en résulte que, quelle que soit la manière dont y tende vers 0, f{Xj y) a pour limite f(Xj 0).

21. Nous voyons en résumé qu'il y a identité complète entre les fonctions discontinues qu'on peut obtenir comme fonctions limites, dans les conditions du problème II, et celles qu'on peut représenter par des séries de fonctions continues.

Nous reconnaîtrons que ces fonctions sont aussi celles qu'on peut obtenir sur la droite fl? = y, quand on suppose une fonction continue par rapport à chacune des variables, comme dans le problème I.

Je m'occuperai d'abord de trouver des propriétés générales que possèdent les fonctions assujetties aux conditions du problème II[ et a fortiori les fonctions assujetties aux conditions des problèmes I et II; nous obtiendrons ainsi des conditions nécessaires; nous démontrerons ensuite que ces conditions sont suffisantes; nous aurons alors complètement caractérisé ces fonctions.

IL Conditions nécessaires.

22. Je suppose donc une fonction f{x^ y) satisfaisant aux conditions du problème III, c'est-à-dire qu'elle est partout continue par rapport à y, et que, entre deux droites parallèles à x, il en existe toujours une troisième sur laquelle la fonction est continue par rapport à x. Nous pourrons énoncer cette seconde condition de la manière suivante: si on représente chaque parallèle à X par son point d'intersection avec y, il existe sur y un ensemble de points, dense dans toute portion de y, tel que, y étant l'ordonnée d'un de ces points, la fonction, en tout point de coordonnées (a?, y'), est continue par rapport à x. J'appellerai E l'ensemble des points qui appartiennent aux droites y = y'\ ainsi, en tout point de E, il y a continuité par rapport à x.

Je vais définir, en chaque point, une fonction qui jouera un rôle important dans l'étude que je me propose de faire.

Pour cela, prenons un point Ay de coordonnées (rro, yo), et considérons, sur la droite rc^aJo, un segment BC dont le milieu soit *4, et de longueur variable 2 p ; soit donc BA = A C = p.

Appelons (ù(p) l'oscillation de la fonction dans le segment B C\ c'est une fonction non décroissante de p] de plus, puisque la fonction, considérée sur la droite x^^^Xq^ est continue, on a:

on peut remarquer en outre que w(p) est fonction continue de p.

Soit maintenant a un nombre positif; j'appelle a^, la limite supérieure des valeurs de p telles que w('/3)^a. Le nombre a^ est ainsi complètement caractérisé par ce fait que:

pour p :^oLfs on a (»i(p)^(j pour |o > «j on a w (jo) > a .

Si dans la première de ces inégalités je peux écrire p^oLn et non pas seulement p<^a.fi (*), c'est à cause de la continuité de û)(/)) par rapport à jo, qui provient elle-même de la continuité de la fonction sur x=x^.

En supposant la définition précédente faite pour chaque point du plan, nous aurons ainsi défini une fonction a, {x^ y) parfaitement déterminée, et qui,

{*) Cf. § 13.

de variables réelles.

d'après l'hypothèse de la continuité par rapport à y, a en chaque point une valeur positive. Je vais démontrer, en faisant usage de l'autre condition imposée à /■(», y), que «, (r, y) est semi-continue supérieurement par rapport à l'ensemble {x, y).

23. Il faut montrer pour cela que, si je considère un point quelconque -^« [^0) ^ol) et si je prends un nombre positif quelconque e, je peux déterminer autour de At une aire assez petite pour que, A [x, y] étant un point quelconque de cette aire, on ait:

ka

M Bi

Fig. 2.

Bo Ao = A^Cq = az {xo , yo)j

Prenons (fig. 2):

prenons ensuite:

B, Ao = Ao Cl = «a (Xoj î/o) + 2 ■

D'après la signification de «<; (iTo, yo), l'oscillation de la fonction, dans le segment Bi Cij est un nombre supérieur à (7; je peux le représenter par cj 4- k. Si je prends Un nombre positif A:, inférieur à k^ je peux certainement trouver, entre B, et C;, deux points M et N tels que Ton ait:

\f{M)-fiN)\>o + k, (1)

De plus, je peux supposer que ces points M et N sont situés sur deux parallèles à a? sur lesquelles il y a continuité par rapport à x, autrement dit font partie de Tensemble E. Nous savons en effet que E est dense dans toute

24 Baire : Sur les . fonctions

portion de BtCi] si donc le point M de Tiriégalité (1) ne fait pas partie de Ej je peux le remplacer par un point Jlf, faisant partie de E et suffisamment voisin de 3f pour qu'on ait encore:

Je suppose donc que dans (1), les deux points M et N soient des points de^B; considérons maintenant les parallèles k Ox menées par. ces points M et N] la fonction étant continue sur chacune de ces droites, on peut déterminer deux segments M' M'\ N' N"^ parallèles à a;, ayant pour milieux M et iV, et de même longueur 2 cJ, tels que, si P et Ç sont deux points quelconques pris respectivement sur ces segments, on ait:

IAP)-fWL<|, \f{Q)-fiN)\<^-

De ces inégalités et de l'inégalité (1) on déduit :

P et Ç étant deux points quelconques pris, le premier sur M' M'\ le second sur N' N".

Prenons maintenant le carré de centre A^ et dont les côtés parallèles aux axes sont à une distance de A^ égale à 37, )? étant inférieur au plus petit des

nombres - et i. Dans ces conditions, si A est un point quelconque pris dans

ce carré, la distance de -4 à chacune des droites M' M'\ N' N" est moindre que adxoj yo) + e. Menons alors par A la parallèle à Oy, et prenons sur cette droite le segment dont A est milieu et dont la. demi-longueur est a, (iTo, yo) + «; ce segment traversera M' M'' et N' N" ; il contiendra donc un couple de points P et Q satisfaisant à l'inégalité (2) ; par suite, Toscillation dans ce segment est supérieure à a; donc la fonction «, relative au point A est inférieure à. aa(J*o, yo) + c; c'est-à-dire que «<, (rr, y) est semi-continue supérieurement par rapport à (a?, y)) c'est la propriété que je voulais établir.

24. Je vais maintenant tirer des conséquences du résultat précédent.

Considérons une courbe quelconque C coupant toutes les parallèles à y,

ou, avec précision, l'ensemble des points représentés par l'équation : y = y (x),

(f (x) étant une fonction continue quelconque définie dans un certain intervalle.

En chacun des points de cette courbe, «» a une valeur déterminée; je con-

de variables réelles.

sidère a<, comme fonction du point variable dé la courbe C; cette fonction a, en chaque point, un minimum par rapport à la courbe] on peut dire aassi que, dans les conditions où nous nous plaçons, a^ est une fonction de x\ je considère en chaque point le minimum de cette fonction, tel que je l'ai défini au § 7.

En premier lieu, je dis que, si en un point ^©(^oj tfo) àe C, la fonction «e a son minimum par rapport à C positif, l'oscillation de f{Xj y) en ce point par rapport à l'ensemble (rr, y) est ^^ 2 a. Soit en effet y ce minimum et soit -/,

['bT^aTc,

Ao

Fig. 3.

un nombre positif inférieur à /. Je prends d'abord, autour de x^^ un intervalle {x^ — âj Xg + i) assez petit pour qu'on ait dans cet intervalle:

lî(a:)-?(a:.)l<|'

je réduis ensuite cet intervalle, s'il le faut, de manière que, en tous les points de C correspondant aux valeurs de x qui s'y trouvent^ on ait :

La chose est possible, puisque j'ai choisi y, inférieur au minimum de aç au point Af^ relativement à C.

Prenons alors (fig. 3) le rectangle R :

Xo — i^X^X,'\^â^ y^- ^-^y^y^4-i-

26 Baire: Sur les fonctions

Sur tout segment tel que PC, parallèle à Oy, et joignant les deux bases du rectangle, l'oseillation de la fonction est ^<jy car il y a sur ce segment un point A de la courbe C^ et le segment de milieu A et de detaii-Jongueur a«(/4)]>7i contient tout le segment PQ.

Je dis maintenant qu'étant donné e, on peut trouver une aire autour de Ao dans laquelle Toscillation soit î^2^4-e. Je prends pour cela, sur l'ordonnée de Aq et dans le rectangle 2?, un point -^i(a?o, yO où il y ait continuité par rapport à x\ puis, sur la droite y = y^y un segment BiC^\x^ — i*y ^0 + ^], où l'oscillation soit <e, en prenant, de plus: i' ^à. Si on considère la portion du rectangle E limitée par les droites .r = a?© — i\ rr = iTo + i\ c'est-à-dire le rectangle R :

Xo — 9':^x:^Xo + à\ y, — ^ ^ y ^ yo + y »

l'oscillation dans ce rectangle est < 2 a + €. Soit en effet 3f et ^ deux points quelconques pris dans ce rectangle, projetons-les en Mt et Ni sur jB, Cj , on aura:

\fiM)-fiM,)\^o, \f{N)-f{N,)\^a, [fiM,)-f{N,)\<e,

d'où nous déduisons:

\fiM)-f{N)\<2<T + e.

Comme le raisonnement s'applique, quel que soit e, on voit qu'au point A^ l'oscillation par, rapport à (rr, y) est ^2 a- J'emploierai ce résultat, soit sous la forme que je lui ai donnée plus haut, soit sous la forme suivante. Si au point Ao Voscillation est > 2 a, on peut affirmer qu'en ce point le minimum de «a pcif* rapport à C est nul.

25. Rapprochons les deux propriétés de la fonction «<, (a?, y) considérée sur la courbe C, d'être positive et d'être semi-continue supérieurement. D'après le § 12, il existe dans tout arc D de la courbe C un arc 2), où a^ a son minimum positif.

Prenons maintenant une suite décroissante de quantités positives et tendant vers 0; soit o-, (7^ Cf,... an,... Dans l'arc Dj il existe un arc A sur lequel «^^ a son minimum positif, dans D, un arc A où «^^ a son minimum positif, etc — On voit de cette manière que, dans l'arc P, et par suite dans toute portion de la courbe C, il existe un point où «<, a son minimum positif par rapport à la courbe, si petit que soit <7. En ce point, l'oscillation par rapport à (a;, y) ne peut être que 0, puisqu'elle doit être inférieure ou égale

de variables réelles. 27

à 2(7, quel que soit <x; on a donc là un point de continuité par rapport à (.T, y)j et nous pouvons énoncer le résultat suivant :

Dans toute portion de courbe représentable par une équation de la forme y «y (a;), (f{x) étant fonction continue, il existe des points où f[x^ y) est continue par rapport à Vensemble (x, y).

On peut dire, a fortiori^ que, dans toute aire^ il existe des points de continuité, c'est-à-dire que la fonction /"(rr, y) est ponctuellement discontinue.

En ayant plus spécialement égard aux valeurs prises par la fonction sur la courbe considérée, ce qui est mon principal objet en ce moment, on voit aussi que la fonction d'une variable ainsi déterminée est ponctuellement discontinue.

C'est là un premier résultat sur la nature de cette fonction. Pour en obtenir d'autres, je commencerai par poser de nouvelles définitions, qui me permettront d'étendre une partie des résultats déjà acquis.

26. Soit une fonction de la variable t définie dans un certain intervalle; comme toujours, j'imagine qu'on représente t par un point variable sur un segment de droite. Prenons, sur ce segment, un ensemble de points J?, que je supposerai parfait^ c'est-à-dire coïncidant avec son dérivé E'\ Considérons une portion BC du segment, contenant à son intérieur au moins un point de J?, et par suite une infinité. Les valeurs que prend la fonction en tous les points de E qui font partie de B C ont une limite supérieure Af, une limite inférieure w, et une oscillation (ù = M — m. Soit maintenant A [to] un point quelconque de E] l'intervalle {t^ — «, to + «), si petit que soit a, contient des points de E] les trois nombres précédents relatifs à l'intervalle (t^ — a, ^ + «)> quand a tend vers 0, tendent vers des limites déterminées, que j'appellerai le maximumj le minimum^ Voscillation àe la fonction en A relativement à Ven* semble parfait E.

On voit que ces définitions sont toutes semblables à celles que nous avons données dans le premier chapitre; la seule différence consiste en ce que nous nous occupons seulement des valeurs de la fonction en certains points, négligeant complètement les autres points. Il est bien évident d'ailleurs que ces mêmes notions peuvent être définies pour un ensemble E absolument quelconque; si je ne considère que des ensembles parfaits, c'est parce que c'est seulement dans ce cas que ces notions me seront utiles.

Lorsqu'il y aura lieu de préciser, je désignerai par M [f{t)j JE/, « /3] le maximum de f{x) aux différents points de E contenus dans l'intervalle a/3, et par M[f(t)^ Ej P] le maximum en P de f{t) relativement à Ef

28 liaire: Sur les fonctions

27. Nous pouvons, grâce aux définitions précédentes, définir la continuilé et la discontinuité relativement à l'ensemble E.

Je dirai qu'en, un point A où l'on a w = 0, w étant Toscillation en ce point par rappvirt à -B, la fonction est continue par rapport à E] si au contraire on a û)>0, nous dirons qu'il y a discontinuité par rapport à cet ensemble.

D'une manière générale, trois cas sont possibles :

1.^ On a, en tout point de E (dans l'intervalle qu'on considère) : 0) = ; dans ce cas il y a continuité en chaque point ; nous dirons alors que la fonction est continue relativement à E.

2.^ Il existe des points où l'on a w>0; mais, dans tout intervalle aj3 contenant à son intérieur des points de E (autrement dit, au voisinage de tout point de J?), il existe des points de E pour lesquels « = 0. Par analogie avec une notion que nous avons déjà étudiée, nous sommes conduits à dire que, dans ce cas, la fonction est ponctuellement discontinue relativement à E.

3.*^ Si Ton ne se trouve pas dans l'un des deux cas précédents, c'est qu'il existe un intervalle a /3 contenant à son intérieur des points de J?, oj étant positif en chacun de ces points; nous dirons alors que la fonction est totale* ment discontinue relativement h E,

J'emploierai également la notion de fonction semi-continue sur un en* semble parfait. ,

28. Ces nouvelles notions étant acquises, nous pouvons généraliser un certain nombre de résultats précédemment obtenus. Je commencerai par le suivant, démontré au § 12 : Une fonction positive, semi-continue supérieurement, ne peut pas avoir son minimum nul en tous les points d'un segment.

Cet énoncé va devenir un cas particulier du suivant: Une fonction, dé* ■finie aux points d'un ensemble parfait E^ positive et semi*continue supérieurement^ ne peut pas avoir son minimum (par rapport à E) nul en tous les points de E. Il me suffira de reprendre, avec quelques modifications, la démonstration du théorème qui précède.

Supposons d'abord une fonction définie sur E^ positive ou nulle, semicontinue supérieurement, et ayant, en tous les points de E (au moins entre deux limites déterminées), son minimum nul. Je conviendrai, pour abréger, de dire qu'un intervalle est relatif à E s'il contient à son intérieur des points de E'j dans ce qui suit, je considère exclusivement des intervalles satisfaisant à cette condition. D'après la dernière hypothèse faite sur notre fonction, on

de variables réelles. 29

voit que, dans tout iiiteryalle a relatif à Ey et si petit que soit e, il existe un point ^ de jE? où Ton a :

En vertu de l'hypothèse de la semi-continuité supérieure, on peut déterminer autour de A un intervalle a» où l^on aura partout, c'est-à-dire pour tous les points de E contenus dans ai'.

f<:fiA) + ^<e.

On peut donc trouver, dans tout intervalle a un autre intervalle «, où Ton aura partout :

dans <xi on trouvera «, où Ton aura :

et ainsi de suite; chacun des intervalles «n étant contenu dans le précédent, et l'ensemble E contenant tous ses points limites, il existe au moins un point de E contenu dans tous ces intervalles; on a nécessairement en ce point:

On déduit de là que s/ une fonction déplie sur E est positive (jamais nulle) et semi-contintie supérieur entent ^ Vensemhle des points où cette fonction a son minimum nul^ ensemble qui est essentiellement fermé, ne peut coïncider avec l'ensemble E dans aucune portion du segment.

29. Ceci nous amène à poser quelques nouvelles définitions au sujet des ensembles.

Nous dirons qu'un ensemble F contenu dans un ensemble parfait E est dense par rapport à E^ dans une certaine portion de droite, si le dérivé de F comprend tous les points de E situés sur cette portion de droite. Si cette condition n'est remplie pour aucune portion du segment considéré, c'est que, dans tout intervalle relatif à j&, on peut trouver un intervalle relatif k E ne contenant aucun point de F) dans ces conditions, nous dirons que F n'est dense nulle part par rapport à E^ ou plus brièvement que F est non dense par rapport à E.

On peut dire que si une fonction est positive et semi-continue supérieurement sur Vensemble E^ Vensemhle des points où le minimum de la fonction

80 Baire: Sur les fonctions

est nul est un ensemble non dense par rapport à E] sous une forme différente, nous dirons que, dans tout intervalle relatif à Ey il existe un intervalle relatif à Ey dans lequel le minimum de la fonction par rapport à E est positif.

Comme application immédiate de ce théorème, on reconnait que si une fonction est totalement discontinue par rapport à un ensemble parfait, il existe certainement un intervalle relatif à cet ensemble, dans lequel o a son mi* nimum positif.

30. Reprenons maintenant la fonction f{Xy y\ assujettie toujours aux conditions du problème III ; soit une courbe y = ^{x)\ prenons un ensemble parfait E de points sur cette courbe, ou, ce qui revient au même, un ensemble parfait de valeurs de x.

Remarquons d'abord que , en un point de £ où «« a son minimum par rapport à E positif, l'oscillation de la fonction par rapport à JS? est ^ 2 a. Il suffit, pour le voir, d'appliquer le raisonnement du § 24, en considérant seulement les parallèles à y sur lesquelles se trouvent des points de E.

Cela posé, d'après les propriétés de «,, on peut trouver dans tout intervalle relatif à J^ un autre intervalle où a^ a son minimum pT>sitif, dans celui-ci un autre où a^ a son minimum positif, etc.; on démontre ainsi l'existence

d'un point de JS? où «^ a son minimum positif par rapport à E^ quel que soit d, et où par suite l'oscillation par rapport à E est 0. Ainsi, il existe, au voisinage de tout point de J57, des points de continuité par rapport à E\ en d'autres termes, la fonction est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait E.

Ce résultat comprend évidemment comme cas particulier celui du § 25, qu'on obtiendra en supposant que E est une portion de courbe continue. On voit, que, dans les raisonnements que nous avons employés, les propriétés essentielles du continu sur lesquelles nous avons raisonné , sont celles qui appartiennent aux ensembles parfaits en général : le continu n'est qu'une espèce particulière d'ensemble parfait.

Tous les résultats obtenus jusqu'à présent sur la question qui fait l'objet essentiel de ce chapitre peuvent se résumer de la manière suivante:

Une fonction qui peut être obtenue dans les conditions du problème III (et a fortiori dans les conditions des problèmes I et II) est 'ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait

de variables réelles. 31