III. Conditions suffisantes
31. Je vais suivre maintenant la marche inverse de celle que j^ai suivie jusqu'ici. Je me propose d'étudier la nature de la condition que nous venons de trouver, et de montrer que toute fonction qui la remplit, c'est-à-dire qui est 'ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble 'parfait^ peut être obtenue dans les conditions des problèmes I et IL Pour cela, je m'occuperai d'abord de construire a priori une catégorie de fonctions présentant des discontinuités de plus en plus compliquées, mais satisfaisant à la condition précédente, et je démontrerai pour ces fonctions la possibilité des problèmes. J'aborderai ensuite le cas général, que je parviendrai à traiter complètement en le ramenant à celui des fonctions de cette catégorie particulière. En outre, la méthode que je suivrai nous permettra de transformer la condition fondamentale, et nous donnera un moyen en quelque sorte pratique de reconnaître si une fonction donnée satisfait ou non à cette condition.
Je rappelle que les problèmes à étudier sont les suivants:
Problème I. Que doit être la fonction y (x) définie pour ai^x^^^ pour qu'il soit possible de déterminer une fonction f{x^ y) définie dans le carré -, ai^x^^^ ai^y ^fij continue en tout point par rapport à (C et par rapport à y, et égale sur x = y à y (a?)?
Je conviendrai de dire qu'une fonction y (a;) est représentable dans les conditions du problème I, si le problème précédent est possible pour cette fonction. J'énonce tout de suite à ce sujet une remarque qui me sera souvent utile.
Supposons y (a;) représentable. Si f{x^ y) est une solution, on en aura d'autres en ajoutant à f(x^ y) une fonction /*, (a;, y) continue partout par rapport à (a;, y), et égale à sur a: = y. On peut évidemment choisir fx de manière que f-^fx prenne sur le périmètre du carré une succession de valeurs continue donnée h Vavance , assujettie seulement aux conditions : /-. (a, «) = 0, /•, (^, /3) = 0.
Problème IL Que doit être y (ar) définie pour « :^ a; î^ j3, pour qu'il existe une fonction f{x^ y) définie dans le rectangle: a^a;r^/3, Or^y^^yo) <5ontinue par rapport à (a:, y) en tout point pour lequel y > 0, continue par rapport à y aux points de y = 0, et égale sur a? à y (a?) ?
Nous dirons que y {x) est représentable dans les conditions du problème II, si ce problème a une solution.
Baire: Sur les fonctions
Remarquons, comme dans le cas précédent, que si cela a lieu, on peut se donner arbitrairement les valeurs de f{Xj y) sur le périmètre du rectangle, moins le côté y = 0.
H2. Je vais, comme je l'ai dit plus haut, former a priori des fonctions discontinues représentables. Pour prendre d'abord le cas le plus simple, je considère une fonction (f{x) définie pour 0:^x^1, et qui n'a de discontinuité qu'au point x = 0. Je rappelle à ce propos qu'une telle discontinuité est dite de première ou de seconde espèce {*) suivant que y (x) a ou non une limite déterminée quand x tend vers 0; mais il n'y aura pas lieu, dans la question dont je m'occupe en ce moment, d'insister davantage sur cette distinction.
Considérons d'abord le problème I. Je prends le carré A B C (fig. 4) :
Fig. 5.
Je définis d'abord la fonction sur la diagonale C par la condition :
Sur l'axe a:, c'est-à-dire sur Ay je place une fonction continue quelconque, assujettie seulement à la condition d'être égale à y (0) pour x = 0. Pour les points du triangle OACj on a: y<ix] je prendrai en ces points:
fix, y)^f{x, 0) + |- [f{x, x)-fix, 0)].
Autrement dit, sur tout segment MN parallèle à y et reliant les droites A et (7, je fais varier linéairement f (Xy y). Enfin , je complète la définition de f{Xj y) par symétrie autour de x = y. Il est évident que f{Xj y) satisfait aux conditions du problème.
La solution du problème II est analogue. Soit (fig. 5) A B A' B' le rectangle où il s'agit de définir la fonction f{Xy y). On a, sur A fî, une fonction
(*) Cf. DiNi, Foiidamenti, etc.
de variables réelles.
continue en tout point, sauf au point A. Je trace dans ce rectangle une courbe quelconque partant de Aj par exemple la diagonale AB] je définis, dans l'aire A' A B\ une fonction continue de (a?, y), la seule condition imposée étant que cette fonction prenne en A la valeur donnée; cela fait, sur chaque segment MN reliant AB et A B\ je fais varier la fonction linéairement de f{M) a f{N)] f{Xj y) est alors partout définie, et cette fonction constitue une solution du problème.
33. On conçoit tout de suite que le résultat s'étend à une fonction qui présente un nombre fini quelconque de discontinuités. Je donne à ce sujet le théorème général suivant:
Une fonction étant définie dans l'intervalle a ^ x ^ ^y si on peut partager cet intervalle en n portions par des points de division ol^^ a^j... «n-ij de
Fig. 6.
Fig. 7.
telle sorte que, sur chaque portion a.i'^x ^ a,>, , la fonction soit représentable ^ la fonction, considérée dans Vintervalle entier , est représentable.
Il suflSra évidemment de vérifier ce théorème dans le cas de n = 2.
S'il s'agit du problème I, considérons la fig. 6.
On suppose qucj sur chacun des segments OC, (7F, la fonction est représentable; on peut donc définir dans chacun des carrés A C B^ C G F H^ une fonction f{Xj y) satisfaisant aux conditions du problème; il suffit alors de définir dans AD O C une fonction continue prenant sur A C et C G une succession continue de valeurs, qui se trouve déterminée par la définition précédente; il en est de même pour BCHE. On voit alors que la fonction donnée, considérée sur F, est représentable.
Dans le cas du problème II, je considère la fig. 7. Le problème /îst supposé possible^ si on considère la fonction, seulement sur A C, ou seulement sur GB. Donnons-nous sur C G' une succession continue de valeurs arbitraire. D'après l'hypothèse et d'après une remarque faite au § 31, on peut achever
Baire: Sur les fonctions
la définition de f(Xj y) dans A C C A' et dans C B B' C\ de manière que, dans chacun de ces deux rectangles, les conditions fondamentales soient vérifiées ; considérons alors la fonction qui se trouve définie dans tout le rectangle ABB' A\ elle constitue une solution du problème proposé.
En résumé, nous connaissons, jusqu'à présent^ comme fonctions représentables, toutes les fonctions dont les discontinuités sont en nombre fini.
34. Pour passer au cas où les discontinuités peuvent être en nombre infini, je vais démontrer un autre théorème général.
Supposons qu'on ait, sur le segment où la fonction est définie, une suite de points. ^,, -4,,... ^w,.*- d'abscisses iri>a;. .. .>a:n . . . > ayant pour limite un point A^ de telle sorte que, sur chaque portion AnAn-t', la fonc-
Fig. 8,
^4 ^Aa Afi A^
Fig. 9.
tion soit représentable ; je dis qu'elle sera représentable sur le segment total A Ai.
Problème L Soit AB AiG le carré où il faut définir f{Xy y) (fig. 8); à cause de la symétrie par rapport à a: = y, je considérerai seulement le triangle AB Ai. La fonction est donnée sur ^^4,; je me donne sur AB une fonction continue; puis, je définis f{x^ y) successivement dans les aires suivantes: triangle T,, rectangle 12,, triangle Tj) rectangle B^, etc. Je peux définir f{x^ y) dans chacun des triangles T, , T,, etc...., en observant, bien entendu, les conditions de continuité, parce que, d'après les hypothèses, la fonction donnée est représentable sur chacun des segments A^At^ AtA^^i etc. Si on imagine l'opération prolongée indéfiniment, la fonction f{x^ y) se trouve définie en tous les points du carré et satisfait à toutes les conditions du problème.
Problème IL Considérons la fig. 9. Je définis d'abord la fonction dans le triangle AA'Ax^ puis je mène les droites AzA'^^ A^A'z^ etc...., qui relient A Ai et A A\^ et je définis la fonction successivement dans chacun des trapèzes formés: AiA\AtA\^ A^ A\A^A\^... etc.... Il est évident que cha-
de variables réelles. 35
cune de ces opérations est possible, puisque, sur chacun des segments AiA^j AfA'iy etc., la fonction est représentable. En tout point qui n'est pas sur le côté A Al y il y aura continuité par rapport à (x, y), et en tout point de co côté, il y aura continuité par rapport à y.
35. Le théorème est donc démontré; je vais en transformer l'énoncé de la manière suivante. Supposons que nous prenions sur A Ai un point A différent de Aj mais aussi voisin que nous voulons de A) si nous considérons alors le segment A Aij le théorème du § 33 suffit pour nous apprendre que la fonction est représentable sur ce segment, car il est décomposable en un •nombre fini de portions sur chacune desquelles la fonction est représentable. On voit alors que nous pouvons donner au théorème que nous venons d'établir la forme suivante :
Si une fonction est représentable dans tout segment A' B' intérieur à AB^ elle est représentable sur le segment AB.
Enfin, en combinant ce résultat avec celui du § 33 que je viens de rappeler à l'instant, on obtient l'énoncé suivant, qui résume l'étude que je viens de faire :
Théorème I. Etant donnée une fonction définie sur un segment A JB, s^il existe sur A B un nombre fini de points, tels qu'en entourant ces points d^intervalles aussi petits qu^on veut et en retranchant ces intervalles de A 5, la fonction y sur chacun des segments qui restent , est représentable y elle est représentable sur le segment A B.
36. Nous pouvons déjà, à l'aide de ce théorème, obtenir une catégorie étendue de fonctions discontinues représentables.
Supposons d'abord que (f [x) ait des discontinuités en nombre infini, mais que l'ensemble P des points où ces discontinuités ont lieu n'ait qu'un nombre fini de points limites; en adoptant pour les ensembles dérivés les notations de MM. Cantor et Bendixson (*), nous dirons que F' se compose d'un nombre fini de points. Dans ces conditions, si nous entourons ces points de P' d'intervalles très petits que nous retranchons de l'intervalle total, la fonction, sur chacun des segments qui restent, n'a qu'un nombre fini de discontinuités, et est par suite représentable ; donc, d'après le théorème I, elle est représentable sur le segment total.
On voit tout de suite comment, en appliquant de nouveau le théorème I, on passera du cas que nous venons d'examiner au cas où il existe un en-
{*) Acta Mathematicaf Tome II,
36 Baire: Sur les fonctions
semble P" composé d'un nombre fini de points, puis au cas où il existe pour P des ensembles dérivés d'ordre 3, 4,... t», etc
Pour voir exactement jusqu'où nous pouvons aller dans cette voie, rappelons brièvement les définitions de M. Cantor relatives aux ensembles dérivés d'ordre supérieur (*). Si un ensemble P est de telle nature que le dérivé d'ordre w, P*\ existe, quel que soit n, il y a des points qui appartiennent à P^j quel que soit n; on désigne l'ensemble de ces points par P", et l'on convient de dire que P^ est l'ensemble dérivé de P d'ordre w. . On désigne les ensembles dérivés successifs de P" par la notation P^^-*, P"+',... P**"^**,...; s'il en existe, quel que soit n, les points qui appartiennent à tous ces ensembles forment un nouvel ensemble qu'on appelle P**^, etc.; on est ainsi conduit à la notion d'ensemble dérivé d'ordre «, a étant un quelconque des symboles définis par M. Cantor et qu'il appelle nombres de la deuxième classe.
Je ferai remarquer à ce sujet, une fois pour toutes, que nous n'aurons jamais à nous préoccuper des difficultés que peut comporter en soi la notion abstraite de nombre iransfini\ bien que cette expression puisse être employée par nous dans la suite de ce travail. Dans le cas actuel, par exemple, l'ensemble P*, a étant un nombre déterminé de la deuxième classe de nombres, représente quelque chose de parfaitement déterminé, indépendamment de toute considération abstraite relative aux symboles de M. Cantor; il n'y a donc, dans l'usage que nous pourrons faire de la locution nombre transfini^ rien de plus que l'emploi d'un langage commode. Il en sera toujours de même dans la suite.
Rappelons encore quelques résultats. Il existe des nombres transfinis de deux espèces différentes; a est un nombre de première ou de seconde espèce, suivant qu'il existe ou non un nombre qui le précède immédiatement. Au point de vue des ensembles dérivés, qui nous intéresse ici, on peut dire que, si a est de première espèce, P* est l'ensemble dérivé de P*-*; si « est de seconde espèce, P* est par définition l'ensemble des points qui appartiennent à tous les ensembles P*', ol étant un quelconque des nombres inférieurs à a. Si a est de seconde espèce, et si P* est nul, il existe certainement un nombre a! de première espèce, inférieur à «, et tel que P*' est nul.
Nous pouvons maintenant étendre les résultats obtenus sur les fonctions représentables. Je dis que, en appelant P l'ensemble des points de discontinuité d'une fonction et a un nombre quelconque de la première ou de la
(*) Voir Acta, Tome II,
de variables réelles, S7
deuxième classe, s'il est démontré que toute fonction pour laquelle P* = est représentable, une fonction pour laquelle P* se compose d'un nombre fini de points est aussi représentable. En effet, j'entoure les points de P* d'intervalles très petits que je retranche de Tintervalle total; dans chaque portion qui reste, on a P* = 0, la fonction est donc représentable dans cette portion ; comme les intervalles retranchés peuvent être pris aussi petits qu'on veut, la fonction, d'après le théorème I, est représentable sur tout l'intervalle donné.
Nous savons déjà qu'une fonction est représentable si, en appelant a le plus petit nombre pour lequel P* = 0, on a: a= 1^ ou a -= 2. Le théorème qui précède montre que le résultat subsiste si Ton a a = 3, 4,... n,... w, w + lv 2«,... etc., de sorte qu'on peut énoncer le résultat suivant:
Toute fonction 'pour laquelle P* est nul, « étant Un nombre quelconque de la première ou de la deuxième classe, est représentable.
Il est bon de faire voir qu'il existe effectivement des fonctions représentables pour lesquelles P* existe, a étant un nombre donné arbitrairement. Il suffit de rappeler qu'on sait former un ensemble P pour lequel P* existe (*) ; si on prend une fonction égale à 1 aux points de P, à en tous les autres points, les points de discontinuité de cette fonction sont les points de P'; on a donc là un exemple d'une fonction représentable pour laquelle P* existe.
On peut dire que les fonctions représentables que nous connaissons jusqu'à présent sont celles pour lesquelles V ensemble P des points de discontinuité a son dérivé P' dénombrable, autrement dit est un ensemble réductible.
37. Nous allons chercher maintenant à construire des exemples de fonctions représentabfes pour lesquelles l'ensemble des points de discontinuité ne sera pas dénombrable. J'aurai besoin de rappeler d'abord quelques résultats sur les ensembles parfaits linéaires qui ne sont denses dans aucun intervalle.
Soit donc P un ensemble parfait non dense par rapport au continu; cela veut dire que, dans toute portion de segment, on peut trouver une autre portion qui ne contienne aucun point de P. Soit M un point ne faisant pas partie de P; il n'est pas non plus point-limite de P, puisque P est parfait; donc on peut trouver un intervalle contenant M à son intérieur, et dont aucun point intérieur ne fait partie de P; si les points extrêmes de cet intervalle ne sont pas des points de P, on peut reculer les limites de l'intervalle d'une longueur finie; on voit donc qu'on peut attribuer un sens précis à l'expression;
(*) Voir Gantor, Acta MatJieniatica, Tome II, page 360,
38 Baire: Sur les fonctions
'prendre V intervalle précédent aussi grand que possible; ce sera déterminer un intervalle A B contenant 3f, et ne contenant aucun point de P si ce n'est A et B, qui devront être des points de cet ensemble.
On reconnaît ainsi que l'ensemble parfait P peut être défini de la manière suivante: Il existe, sur le segment de droite qu'on considère, une infinité dénombrable d'intervalles -4i P, , ^ij P, , . . . AnBw,'*- tels que deux quelconques de ces intervalles n*ont aucun point commun, et tels que toute portion de droite contient un de ces intervalles ou fait partie de l'un deux; l'ensemble complémentaire de P est constitué par les points intérieurs aux intervalles; l'ensemble P comprend des points de deux espèces distinctes: en premier lieu, les points il», ^2,... ^n,-- ^«j B^j... Bn^^*- qui sont les extrémités des intervalles précédents, et qui forment un ensemble dénombrable; en second lieu, l'ensemble non dénombrable des points C tels que chacun d'eux est eX' térieur à tous les intervalles AnBn*
Etant donné un ensemble parfait non dense, nous imaginerons que les intervalles AnBn dont nous venons de rappeler la définition, et qu'on peut appeler intervalles contigus à P, sont rangés dans un ordre déterminé, par exemple dans un ordre tel que chacun d'eux ne surpasse en longueur aucun de ceux qui le précèdent. Concevons que, de l'intervalle total, on retranche
successivement AlB^. puis AtBtj A3B3J etc ; au bout de n opérations,
l'intervalle total se trouve partagé en intervalles partiels, les uns retranchés, ce sont précisément ^, P,, ^j P,,... AnBn^ les autres conservés; soit In la plus grande longueur d'un segment conservé; je dis que, si n croît indéfiniment. In tend vers 0; si en effet cela n'était pas, Xn aurait une limite positive X; on démontrerait l'existence d'une portion de droite de longueur .X dans laquelle il n'y aurait jamais de segments à retrancher, par suite dont tous les points feraient partie de P; cela est impossible, puisque P est non dense.
Remarquons aussi que, si l'on effectue l'opération précédente, les points de P de la deuxième espèce sont ceux qui se trouvent, quel que soit n, à Vintérieur d'un intervalle conservé.
Comme type d'ensemble parfait non dense, citons celui qui est obtenu
comme il suit: on retranche de l'intervalle (0, 1) l'intervalle (-5 -j, puis on opère sur chacun des deux intervalles restants comme on vient d'opérer sur
(1 2\ ^2 1 2 2\ q ' q) ^Mt "^ q ' ^ "1" q ) ' ^^ d'unc manière générale, après un nombre quelconque d'opérations analogues, on opère îur chacun des intervalles conservés comme on a opéré sur (0, 1). Tous les
points de Fensenible P ainsi défini sont ceux qui correspondent à une valeur de X donnée par la formule :
a; = £i4-fi + fij l£2j-...
le nombre des fractions étant fini ou infini, et chaque quantité c pouvant prendre Tune des valeurs ou 2.
38. Ces notions étant rappelées, considérons un ensemble parfait non dense P situé sur un segment A J5, en supposant, pour plus de commodité, que A et B appartiennent à cet ensemble. Imaginons une fonction définie sur .^ B et satisfaisant aux deux conditions suivantes: d'une part, les discontinuités n'ont lieu qu'en des points faisant partie de P ; d'autre part, la fonction, considérée sur l'ensemble P, es* continue. Un exemple de ce cas nous sera fourni par la fonction qui est égale à 1 aux points de P, à aux autres points. Je me propose de montrer qu'une fonction qui satisfait aux deux conditions précédentes est représentable. Cela résultera, comme cas particulier, du théorème général suivant:
Théorème IL S^il existe un ensemble parfait non dense P sur lequel la fonction est continue^ et si, sur tout segment contigu h P, la fonction est 7'eprésentable, elle est représentable sur l'intervalle total.
Je ferai une remarque générale très simple au sujet de la notion de fonction continue relativement à un ensemble parfait non dense. Soit 9 {x) une telle fonction, que nous supposons continue sur P. Je dis qu'on peut trouver une fonction tp (oî), définie en tous les points de Tintervalle, égale à <f (x) aux points de P, et partout continue.
Il s'agit de définir ^p (x) aux points qui n'appartiennent pas à P, c'est-à dire aux points qui sont situés à l'intérieur des segments An Bn contigus à P. Il suffira par exemple d'adopter la loi suivante: dans chaque segment AnB^ ou fera varier linéairement i|/(;c) depuis ^(An) jusqu'à d/{Bny Je dis que, dans ces conditions, la fonction <// {x) est continue ; la chose est évidente pour les points qui ne font pas partie de P; soit maintenant Jtf [oîo] un point de P. D'après l'hypothèse faite sur f (a;), à tout nombre e correspond un nombre a tel que, en tous les points de P compris dans l'intervalle {Xq — «, îCo + a), on a :
\<f{x) — o (Xo) I < e.
Diminuons, s'il y a lieu, cet intervalle, de manière que ses points extrêmes fassent partie de P. Si alors nous considérons dans cet intervalle un point H
Baire: Sur les fonctions
quelconque , il se trouve sur un segment An Bn contigu à P, et i|/ (H) est compris entre ^{An) et ^ {Bn)j c'est-à-dire entre ^{An) et f (Bn). On a donc, pour tous les points de Tintervalle:
ce qui exprime la continuité de ^(x).
Reprenons maintenant la fonction assujettie aux conditions du théorème II qu'il s'agit d'établir; soit (f(x) cette fonction; nous pouvons, d'après ce qui précède, définir une fonction ip {x) continue partout, et égale à v (x) aux points de P. Posons alors:
La fonction ^i{x) sera dans les mêmes conditions que ?(x); car, puisqu'elle
Fig. 10.
ne diffère de y que d'une fonction continue, elle est représentable sur tout segment contigu à P; mais elle présente cette particularité d'avoir la valeur en tous les points de P.
Le théorème II sera démontré pour y (a;), si nous le démontrons pour y, (a;), qui n'en diffère que par une fonction continue ; le fait que y, est nul aux points de P rendra plus claires nos démonstrations.
39. Je me place donc dans les hypothèses suivantes: Sur -4 B on a un ensemble parfait non dense P, dont A et B font partie; on a une fonction ^{x) égale à aux points de P, et qui, sur chacun des segments An Bn contigus à P, est représentable; il faut montrer que f {x)j considérée sur A P, est représentable.
Problème I. Soit A C B D le carré où il s'agit de définir f{Xj y) satisfaisant aux conditions du problème I (fig. 10). La fonction a, en .4 et P, la valeur 0; je lui attribue la valeur sur tout le périmètre A C B D.
de variables réelles. 41
Je suppose, comme plus haut, que les segments AnBn contirjus h P sont rangés dans un ordre déterminé; soit .4,J5, le premier d'entre eux. Menons par Ai et J5, les parallèles à a: et à y; nous divisons ainsi le carré donné en plusieurs aires partielles, que je distingue en trois catégories :
1.^ Le carre Ai F B^ H, qui a pour diagonale -4, Bx\ sur le périmètre de ce carré je donne à la fonction la valeur 0, et je définis, à l'intérieur, une fonction continue par rapport à chaque variable, ce qui est possible, puisque d'après Thypothèse la fonction est représentable sur ^ , J5, .
2.^ Les carrés AKAiEj B, I B L^ qui ont pour diagonales ^4 ^4, et Bi B\ pour le moment, je me borne à définir la fonction sur le contour de chacun de ces carrés: je lui attribue la valeur 0.
3" Il reste les deux aires DE A^HB^L^ A.KCIB^F] sur chacun des deux contours de ces aires, la fonction a la valeur 0; je lui attribue la valeur en tous les points intérieurs.
Cette première opération étant effectuée, la fonction se trouve définie partout, sauf à l'intérieur des carrés qui ont pour diagonales A As et BiB\ et on reconnaît que chacun de ces carrés se trouve exactement dans les mêmes conditions que le carré primitif A C B D.
Supposons que le' second segment contigu à P, /U Bty se trouve sur la portion A Ai. On répétera l'opération précédente, A^Bt jpuant dans le carré de diagonale A A^ le même rôle que AiBi dans le carré A C B D. On continuera ensuite de la même manière, en opérant successivement sur AsBs^... AnBny^ Quand on a enlevé de A B les segments ^iJ5,, /ïjBj,... AnBnj il reste sur AB des^ segments conservés; les seuls points où la fonction ne se trouve pas définie sont ceux qui sont à l'intérieur d'un carré ayant pour diagonale un segment conservé. Il résulte de là qu'en répétant l'opération précédente indéfiniment, la fonction se trouvera définie en tous les points qui ne se trouvent pas sur la diagonale AB) en effet, la distance d'un tel point à i4 J5 est un nombre positif > , et il existe un entier n tel que , après n opérations, la plus grande longueur des segments conservés est inférieure à 2 X; à ce moment, il est certain que la fonction se trouve définie au point considéré. D'autre part la fonction est donnée sur AB\ elle est donc définie dans toute la région A C B D.
Démontrons maintenant que les conditions de continuité sont remplies. La chose est évidente pour tous les points situés en dehors de A B, car la fonction est définie en un quelconque de ces points au bout d'un nombre fini d'opérations; et d'après la construction, elle est continue par rapport a a; et
Baire: Sur les fonctions
par rapport à y. Pour un point de A B ne faisant pas partie de P, le fait est aussi certain, car un tel point se trouve à Tintérieur d'un carré ayant pour diagonale un segment AnBn»
Il reste à étudier les points de P, Remarquons que, d'après la construction, les seuls points où la fonction n'a pas la valeur sont ceux qui sont à l'intérieur d'un carré ayant pour diagonale un segment An Bn- Si donc M est un point de P, et si l'on mène par M les parallèles à a; et à y, la fonction a, en tous les points de ces droites, la valeur 0; il y a donc continuité en M par rapport à a: et à y, ce qui achève de démontrer la proposition.
On peut résumer la construction de f{Xj y) dans le carré A C B D de la manière suivante: on prend les carrés C, , (7j,... Cn?.-- V^^ ^^^ P^^^ diago-
Al
Bi'
ij'
Fig. 11.
nales les segments ^iJ5,, J, £«,... Jn^nj--.; sur les périmètres de ces carrés, on pose /'=0, et on définit /"à l'intérieur de chacun d'eux en observant les conditions de continuité; enfin, en tous les autres points du carré ACBDy on pose /*=0.
Problème IL Soit (fig. 11) le rectangle ABA'B': a^x^fi^ O^y^y^. Imaginons qu'on trace toutes les parallèles h Oy menées par les points de P; sur chacune de ces droites, j'attribue à la fonction la valeur 0, ainsi que sur A' B'\ de cette manière, il y aura certainement, en tout point de P, continuité par rapport à y.
Considérons le rectangle AiBiA\B\^ correspondant au segment AiBi\ puisque, par hypothèse, la fonction donnée (f{x) est représentable sur >4|J5,, je peux, dans ce rectangle, définir f{x^ y) continue par rapport à (a?, y) en tout point, sauf en ceux de ^4, Bi, où il y aura seulement continuité par rapport à y.
de variables réelles. 43
Traçons maintenant la droite .1" jB" : y = -^; si nous considérons le
rectangle A' B' A' B'\ la fonction se trouve actuellement définie, d'une part dans la portion A\B\A\B\^ d'autre part sur toutes les parallèles à Ot/ dont le point d'intersection avec AB est un point de P; j'achève la définition de f{x^ y) dans ce rectangle, en donnant à /" la valeur en tous les points où elle n'est pas encore définie ; on voit alors que f aura la valeur en tous les points de chacun des deux rectangles A A\A" A'\^ B\B' B'\B"\ et, dans tout le rectangle A B' A' B'\ ce sera une. fonction continue.
Prenons maintenant le segment AtB^^ supposons qu'il soit sur AAi^ par exemple; considérons le rectangle A^Bi A\B'ty limité supérieurement à
la droite : y = ^ ; dans ce rectangle, je peux définir f{x^ y\ puisque la fonc-
tion (f{x) est représentable sur AiBi\ je trace ensuite la droite A" B" : y =« -^ >
et j'achève la définition de f{x^ y) dans le rectangle A' B'' A" B"'^ en donnant à /* la valeur en tous les points où elle ne se trouve pas encore définie. On voit aisément comment le procédé de définition se généralise pour ce qui concerne les segments ^gBs,..., AnBn^-*' En tout point où l'on a 2/>>0, la fonction se trouve définie au bout d'un nombre fini d'opérations, et par conséquent, d'après la construction de /*, il y a continuité en ce point par rapport à (a?, y)\ nous avons remarqué en commençant qu'aux points de P il y avait continuité par rapport à y; il reste à considérer les points à^ AB qui ne font pas partie de P : chacun d'eux est intérieur à un segment AnBn] d'après la construction précédente, il y a encore, en un tel point, continuité par rapport à y.
En résumé, le théorème II est établi d'une manière complète; on voit que c'est pour une simple raison de commodité que j'ai ramené le cas général à celui de la fonction qui est nulle en tous les points de P; on aurait pu faire la démonstration directement pour le cas général.
40. Appelons toujours P l'ensemble des points de discontinuité de la fonction donnée f {x) ; je supposerai toujours, dans ce qui suit, que P est un ensemble fermé; si cela n'était pas, il suffirait d'adjoindre à P ses points limites; autrement dit, on remplacerait la considération de P par la considération de l'ensemble formé par la réunion de P et de P'.
Il résulte des raisonnements de M. Bendixson exposés dans les Acta Mathematica (Tome II) que, si P est un ensemble fermé non dense^ il peut se présenter deux cas :
44 Baire: Sur les fonctions
1." P est dénombrable ; alors il existe un nombre a de la première ou de la deuxième classe, tel que P* = 0.
2.° P n'est pas dénombrable; la condition précédente n'est remplie pour aucun nombre a ; mais il existe un nombre a tel que :
p* = p*fi = . . .
On est conduit à dire qu'il existe dans tous les cas un ensemble P-\ dérive d'ordre ù de P, 12 représentant le premier nombre transfini de la troisième classe de nombres; dans le premier cas, on a P-^ = 0; dans le second:
L'équation P-- = caractérise les ensembles pour lesquels P est dénombrable; on dit encore dans ce cas que P est réductible.
Dans le second cas, P-- est un ensemble parfait, et P est constitué do la manière suivante: dans chaque intervalle contigti à P--, P forme un ensemble réductible (*).
Nous avons appris jusqu'ici à former des fonctions discontinues représentables de deux sortes: celles pour lesquelles P est réductible^ et celles pour lesquelles P est 'parfait^ la fonction étant continue sur P; nous pouvons tout de suite en former une troisième catégorie, comprenant les deux premières. Supposons que P soit un ensemble non dense, et qu'il existe un dérivé d'ordre iî, P--; nous prendrons une fonction continue sur P--, et, dans chaque intervalle contigu h P", nous définirons la fonction de manière qu'il y ait des discontinuités aux points de P (qui forment, dans un tel intervalle, un ensemble réductible). Le théorème II montre que la fonction ainsi définie sera représentable, car elle est continue sur l'ensemble parfait P--, et elle est représentable sur tout segment contigu à P--.
41. Nous sommes conduits à une extension des remarques faites au § 37 sur les ensembles. Etant donné sur ^ P un ensemble P fermé et non dense^ il existe sur A B des intervalles parfaitement déterminés, dont les points extrêmes sont des points de P, et dont aucun point intérieur ne fait partie de P; deux quelconques de ces segments n'empiètent pas l'un sur l'autre, mais ils peuvent avoir une extrémité commune; comme cas particulier, on voit que si cette dernière condition n'est jamais remplie, l'ensemble P est
(*) Les démonstrations de ces théorèmes se trouvent dans le Mémoire de M. Bkn- DixsoN (Actaj T. II). J'aurai d'ailleurs occasion plus loin (§ 47), d'établir sur les ensembles des théorèmes qui comprendront ceux-ci comme cas particuliers.
de variables réelles. 45
parfait; au contraire, si un quelconque des segments en touche deux autres par ses points extrêmes, l'ensemble P est réductible.
Réciproquement, si, par un moyen quelconque, on arrive à déBnir sur une droite une infinité dénombrable d'intervalles, dont deux quelconques n'empiètent jamais l'un sur l'autre, et tels que, dans toute portion de la droite, il y ait des points appartenant à ces segments, l'ensemble P formé par leurs extrémités et par les points limites de ces extrémités est un ensemble fermé non dense. Nous dirons encore que chacun de ces intervalles est contigu à P.
Le dernier résultat obtenu sur les fonctions représentables est celui du § 40, qu'on peut énoncer ainsi: S'il existe un ensemble P fermé et non dense, tel que la fonction est continue sur P-- et continue dans tout segment intérieur à un segment contigu à P, elle est représentable.
Ce résultat n'est qu'un cas particulier d'un théorème général, qui sera une combinaison des théorèmes I et II et qui résumera tout ce qui précède.
Généralisons d'abord les résultats obtenus au § 36 ; nous y avons reconnu que si, en dehors de tout point d'un ensemble P pour lequel P* = 0, la fonction est continue, elle est rèprésentable. Cet énoncé peut être considéré comme cas particulier du suivant: Si, dans tout segment contigu à P (en supposant P réductible, c'est-à-dire P* = pour une certaine valeur de a), la fonction est rèprésentable^ elle est représentable dans tout le segment. La démonstration est identique à celle du § 36; le théorème a déjà été démontré pour le cas de a= 1, a = 2; on a, dans ces cas, les propositions des § 33 et 34. Il suffit de montrer que si le théorème est vrai quand P est de telle nature que P* = 0, il est encore vrai si P" comprend un nombre fini de points; en effet, si on entoure ces points d'intervalles très petits qu'on retranche de l'intervalle total, la fonction, dans chaque intervalle restant, où l'on a P* = 0, est représentable ; le théorème I montre alors qu'elle est représentable sur tout le segment.
Nous sommes maintenant en mesure d'énoncer le théorème général suivant:
Théorème III. S'il existe un ensemble P, fermé et non dense, tel que la fonction est continue sur P-- et est rèprésentable sur tout segment contigu à P, elle est représentable sur le segment total.
En effet, dans tout intervalle contigu à /^--, la fonction est représentable, d'après ce que nous venons de voir; le théorème II nous montre î^u'elle l'est sur l'intervalle total.
Pour que le théorème III résume tout ce qui a été démontré jusqu'ici^ nous conviendrons de faire rentrer le cas de P-- = dans celui où, P- existant effectivement, la fonction est continue sur cet ensemble.
46 liaire: Sur les fondions
42. GrAce au th(3orèrae III, nous allons pouvoir donner une extension considérable aux résultats acquis. Supposons que Tensemble des points de discontinuité P (complété, s'il y a lieu, par ses points-liraites) soit non dense, contienne un ensemble P--, mais qu'il existe sur P^ un nombre fini de points qui soient points de discontinuité |}ar rapport à P--; le théorème I suffit pour montrer que la fonction est représentable, car en isolant ces points de discontinuité par de petits intervalles, la fonction est représentable sur chaque portion restante. Nous avons donc là un nouvel exemple de fonction représentable que nous n'avions pas obtenu jusqu'ici; mais on peut tout de suite donner à cette remarque toute sa portée, en introduisant d'une manière systématique la considération des points de discontinuité par rapport à P--.
J'appellerai d'une manière générale Pi l'ensemble des points de P-- qui sont points de discontinuité par rapport à P-, ou qui sont points* limites de points de discontinuité, de telle sorte que P^ sera essentiellement fermé. Nous venons de voir que si P, est fini, la fonction est représentable. D'une manière plus générale, supposons que P, soit, ou bien un ensemble réductible, ou bien un ensemble non réductible, mais tel que, sur Pf- (dérivé d'ordre il de P,) la fonction soit continue. Nous pouvons, dans ces conditions, appliquer le théorème III, en faisant jouer h l'ensemble P, que nous venons de définir le rôle de l'ensemble P dont il est parlé dans ce théorème; en effet, P, , d'après sa définition même, est d'une nature telle que, dans tout intervalle contigu à P,, la fonction est représentable, puisque, si dans cet intervalle il existe une portion de P-, il y a, en chaque point de P-- intérieur à l'intervalle, continuité par rapport à P". On reconnaît ainsi que le théorème III est applicable à l'ensemble P,; il en résulte que la fonction est représentable.
Montrons comment on pourra effectivement former des exemples de fonctions pour lesquelles P, existe. Prenons un point Aj juxtaposons des segments qui auront ce point pour limite, soient AiAt^ AfAs^...^ -4n-i -4n, . . . ; dans chacun des segments de rang impair, je placerai un ensemble parfait y où je donnerai à y la valeur 1, tandis que je donnerai à y la valeur aux autres points du segment; au contraire, dans chacun des segments de rang pair, je donnerai à y la valeur aux points d'un certain ensemble parfait, et la valeur 1 aux autres points; en chacun des points Ai^ .4,,... Ai,..., Ay je donne arbitrairement à la fonction l'une des valeurs ou 1. On voit que, dans un tel exemple, il y a pour la fonction des points de discontinuité formant un ensemble parfait P, identique à P-; de plus, il y a des points
de P- qui sont joints de discontinuité par rapport à P-^: ce sont les points Ai^ Ai^... -4n,..., A] dans le cas actuel, Pi se compose donc d'une infinité de points ayant un point limite.
On conçoit tout de suite comment, en partant des mêmes principes, on pourra construire des exemples où P, aura des ensembles dérivés jusqu'à l'ordre 2, 3,... n,... &), w + 1,... 2a),... «,..., en d'autres termes, sera un ensemble réductible quelconque. Enfin, pour former un exemple oîi Pf* existe, prenons a priori un ensemble parfait, qui sera Pf-; dans chacun des intervalles contigus à Pf-, plaçons une fonction de la catégorie précédente, en ayant soin que les points extrêmes de ces intervalles soient effectivement des points limites de points de discontinuité relatifs à P--; de plus, prenons la fonction continue sur Pf^: on aura ainsi une fonction représentable.
Il est utile de remarquer que, dans tous ces exemples, l'ensemble Pi est non dense par rapport à P^%
43. Les notions nouvelles introduites par la considération de Pt se prêtent à une généralisation immédiate. Etant donnée une fonction ^ [x)^ nous appellerons P, Tensemble des points de Pf^ qui sont, par rapport à Pf-, points de discontinuité ou points limites de tels points. Nous définirons ainsi successivement Pî, P3,... Pw,..., chacun de ces ensembles se déduisant du précèdent exactement comme P, se déduit de P. Nous serons conduit à dire que, si Pn-i est réductible, ou bien si Pfii, son dérivé d'ordre îi, existe, mais si la fonction est continue sur Pfij, on a Pn==0.
L'application du théorème III montre que toute fonction pour laquelle un nombre entier n existe, tel que Fn = 0, est représentable. On reconnaîtra d'ailleurs facilement qu'il existe des fonctions pour lesquelles Pn comprend effectivement des points.
Je conviendrai d'appeler fonctions représentables d'ordre w, celles pour lesquelles Pn-i existe, tandis que Pn est nul. Par exemple, les fonctions dont nous nous sommes occupés en premier lieu, celles pour lesquelles P est réductible, ou bien pour lesquelles P-^ existe, la fonction étant continue sur cet ensemble, seront des fonctions d'ordre 1.
44. Imaginons maintenant que la formation des ensembles Pi , Ps , . . . Pn'i^" puisse se prolonger indéfiniment, sans qu'on rencontre jamais d'ensemble nul. On est conduit à introduire une notion analogue à celle que M. Cantor a introduite dans la considération des ensembles dérivés, sous le nom d'ensemble dérivé d'ordre w.
48 Baire: Sur les fonctions
Nous avons une suite d'ensembles fermés, tels que:
Pi>I\>''>Pn>''
j'exprime, par cette suite d'inégalités, que chaque ensemble est tout entier contenu dans le précédent. Je dis qu'il existe au moins un point appartenant à tous les Pn] en effet, si on décompose le segment donné en plusieurs portions, il y a au moins un de ces segments partiels dans lequel Pn renferme des points, quel que soit n; prenons l'un d'eux, décomposons-le à son tour, et répétons cette opération indéfiniment en faisant tendre vers la dimension du segment, nous avons ainsi une suite de segments dont chacun est contenu dans le précédent et contient des points de Pn^ quel que soit n; il y a un point intérieur h tous ces segments, il est donc point limite de Pn^ et par suite fait partie de P„, quel que soit n.
Pour conserver les analogies avec la théorie des ensembles dérivés, nous appellerons P„ l'ensemble des points qui appartiennent à tous les ensembles Pn] Pu est un ensemble fermé.
On peut former une fonction pour lequelle P^ se composera d'un point A donné d'avance; je prendrai une suite de points -4,, -4,,... i4n,.- tendant vers A y et dans le segment AnAn+i je placerai une fonction d'ordre ». Dans ces conditions, il existe, quel que soit n^ un ensemble P„ , qui comprend toujours le point A. Cette fonction sera évidemment représentable.
45. On définira de même l'ensemble P«i4i, déduit de P^j comme P» de P, puis les ensembles P^-i.,,... P^i^m-*' Pt^^"- Pa,... D'une manière générale, soit a un nombre de la première ou de la deuxième classe de nombres. Si a est de première espèce, c'est-à-dire si a — 1 existe, Z\ sera l'ensemble des points de discontinuité de P;/., par rapport à P;7-i (complété par ses points limites); dans le cas où Pf/., n'existe pas, ou dans le cas où la fonction est continue sur cet ensemble, nous dirons que P« est nul. Si a est de seconde espèce, P^ est par définition l'ensemble de tous les points communs à tous les ensembles Pa-, «' représentant un nombre quelconque inférieur à a; si l'on a Pa = 0, il existe certainement un nombre a' inférieur à «, et de première espèce, pour lequel on a P^' == 0.
Nous pouvons maintenant démontrer la proposition suivante : S'il est démontré qti'une fonction pour laquelle Pa^i est mil est représentable, la chose est encore v^raie d'une fonction pour laquelle P» est nul. En effet, puisque P^ est nul, c'est que, ou bien P»-, est réductible, ou bien Pf/., existe, mais la fonction est continue sur cet ensemble; de plus, si on considère un intervalle
de variables rffelles. 49
contigu à P«-,, comme il n'y a aucun point de P^-i à Tintérieur de cet intervalle, la fonction, d'après l'hypothèse, est représentable dans tout segment contenu à l'intérieur de cet intervalle, et par suite dans cet intervalle luimême; on peut donc appliquer le théorème III, ce qui montre que la fonction est représentable encore dans le cas où P« est nul.
On conclut de là que, en formant pour une fonction y (x) la suite d'ensembles :
si^ pour un certain nombre a de la première ou de la deuxième classe, on a Pa = 0, on peut affirmer que la fonction est représentable.
46. Nous avons, dans ce qui précède, obtenu une première catégorie de résultats dans la voie que nous nous étions tracée, en ce sens que nous avons démontré, pour certaines fonctions, la possibilité d'être représentées dans les conditions des problèmes I et IL Notre but, est, je le rappelle , de démontrer que toute fonction qui est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait, est représentable. Avant d'aborder le cas général , je commencerai par traiter complètement un cas particulier; on pourra se rendre compte d'une manière nette sur ce cas particulier de la méthode que j'emploierai et qui est fondée sur la considération des ensembles à indices inférieurs, définis précédemment.
Ce cas particulier est le suivant : on considère une fonction 9 (x) qui ne peut prendre que Tune des deux valeurs ou 1. Il s'agit de savoir quelles sont les fonctions de cette nature qui sont représentables, de sorte que la question pourrait se poser dans les termes suivants : Décomposer le continu en deux ensembles, de telle sorte qu'en attribuant à une fonction la valeur aux points de l'un, la valeur 1 aux points de l'autre, cette fonction soit représentable.
D'après la nature même de la fonction y (x\ l'oscillation en chaque point (par rapport au continu, ou par rapport à un ensemble parfait quelconque), ne peut être que l'un des deux nombres ou 1 ; si, dans un intervalle continu, la fonction est continue, elle est nécessairement constante dans cet intervalle.
Une première condition que doit remplir y (x) est d'être ponctuellement discontinue; dans le cas général, cela veut dire que l'ensemble des points où l'oscillation est ^a est non dense , a étant un nombre |)ost7t/ quelconque; dans le cas actuel, cela veut dire que l'ensemble de tous les points de discontinuité est non dense. On reconnaît, par exemple, qu'une fonction égale
50 Baire: Sur les fonctions
à pour X rationnel, à 1 pour x irrationnel, n'est pas représentable, car en tout point l'oscillation est égale à 1: la fonction est totalement discontinue.
Supposons donc que g^ (x) remplisse cette première condition, et soit P l'ensemble des points de discontinuité. Formons, s'il y a lieu, P--, et soit P< l'ensemble des points de P^ qui sont points de discontinuité par rapport à P^\ L'ensemble P,, comme P, est essentiellement fermé, car en chacun de ses points l'oscillation par rapport à P-^ est égale à 1. Si, dans un certain intervalle, Pj est dense par rapport à P-- (par suite coïncide avec P^^), la fonction n'est pas représentable, car alors elle est totalement discontinue relativement h P^, puisque, dans l'intervalle considéré, en chaque point de P-- V oscillation par rapport à P-- est 1. Construisons un exemple où cela a lieu: pour cela, prenons un ensemble parfait non dense P; les points de P r sont de trois sortes: 1.° les points Ji, extrémités gauches des intervalles contigus à P; 2.° les points P, extrémités droites des mêmes intervalles; 3.^ les points Cy points extérieurs à tous ces intervalles; chaque point de l'ensemble, qu'il soit J, P, ou C, est point limite de points des trois catégories; nous attribuons à f {x) la valeur en tout point, sauf aux points A où nous lui attribuons la valeur 1 ; dans ces conditions, la fonction est discontinue en tous les points de P, et de plus, si on considère cet ensemble, chaque point de P est point de discontinuité par rapport à P, l'oscillation étant 1; la fonction est donc totalement discontinue sur P.
On voit donc que, pour que y (a:) soit représentable, il est nécessaire que P| soit non dense par rapport h P--. D'une manière générale, appelons, comme plus haut, P^+t l'ensemble des points de discontinuité de P^ par rapport k P^J- ; nous reconnaissons que si la fonction est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait, Pa^., est non dense par rapport à P^-. Bien entendu, si a est un nombre de seconde espèce, P» se compose des points qui appartiennent à tous les ensembles Pa» dont l'indice est inférieur à a, de sorte qu'on peut écrire :
47. Je vais démontrer que, quelle que soit la fonction y(rr) (égale à ou 1) qu'on considère, il existe un nombre a de la première ou de la deuxième classe de nombres pour lequel on a P« = PaM- Les raisonnements que je ferai sont imités de ceux que M. Bendixson a employés pour démontrer ses théorèmes relatifs aux ensembles dérivés d'ordre quelconque (Acta^ Tome H).
de variables réelles. 51
D'une manière générale, supposons qu'on ait des ensembles correspondants aux différents nombres de la première et de la deuxième classe,
satisfaisants aux conditions suivantes :
1.^ Chacun de ces ensembles est fermé, 2." Si ai<CoL2^ tous les points de P^, appartiennent à P^,. 3.^ Si un ensemble ne comprend qu'un nombre fini de points, l'ensemble suivant est nul.
Ces conditions, qui se trouvent évidemment remplies par les ensembles dérivés d'un ensemble donné, suffisent pour qu'on puisse appliquer les raisonnements de M. Bbndixson, que je reprends ici, avec quelques modifications de détail.
Il est d'abord évident que deux cas seulement peuvent se présenter: ou bien il existe un nombre « tel que Pa = 0, et alors, tous les ensembles qui suivent sont également nuls ; ou bien, quel que soit a pris dans la deuxième classe de nombres, P» contient des points. Dans le premier cas, on a évidemment Pa. = Pa+i ; il suffit donc d'examiner le second cas.
Nous supposons donc que, dans le segment A P, l'ensemble P^ renferme des points, quel que soit «; on en conclut aisément, par un procédé que j'ai déjà eu l'occasion d'employer, qu'il existe dans A B au moins un point M possédant la propriété suivante: dans tout intervalle contenant M k son intérieur, si petit qu'il soit, Tensemble P^ renferme des points, quel que soit «; ce point M fait donc partie de tous les Pa, puisque ce sont des ensembles fermés. Nous avons ainsi démontré qu'il existe des points appartenant à tous les Pa; il est naturel de désigner l'ensemble de ces points par Po; nous savons déjà que Pçi comprend un point au moins.
Je vais démontrer que Po ne contient pas de points isolés. Remarquons d'abord que si un intervalle ne contient pas de points de Po (en comptant les points extrêmes) , il existe un nombre a tel que P^ = dans l'intervalle; en effet, si cela n'avait lieu pour aucune valeur de a, d'après ce que nous venons de voir, Pn contiendrait au moins un point dans l'intervalle. Supposons pour un instant que A soit un point isolé de Po; soit P C un intervalle contenant A à son intérieur et ne contenant pas d'autre point de Po; dans B C, prenons^ à droite de Aj une suite de points JL», A^^... Anj"> tendant vers A] dans chacun des segments AnAn^xj comme il n'y a aucun point de P.o, il existe un nombre «^ tel que Pa„ est nul dans ce segment.
52 Baire: Sur les fonctions
On peut de même déterminer à gauche de A une suite de segments A\A\^...j A'nA'nhi^'" tendant vers ^; il y a, pour chacun d'eux, un nombre a'n tel que Pa„ est nul dans A'nA'n^i- Servons-nous maintenant du théorème de M. Cantor : Une suite dénomhrable de nombres appartenant h Vune des classes 1 ou 2 a une limite supérieure^ qui est un nombre appartenant à Vune de ces mêmes classes (*j. On voit alors que les nombres a.n et cf!n ont une limite supérieure a; dans l'intervalle BC^ l'ensemble P^ ne peut pas contenir d'autre point que A; par suite, Pa+, est nul, le point A ne peut donc pas faire partie de Pn, La démonstration fait voir en outre que, si BC est un intervalle ne contenant à son intérieur aucun point de Po, les points extrêmes pouvant faire partie de Pa^ il existe un a tel que Pa = dans Vintérieur de l'intervalle.
Il résulte de là que Pn, qui ne peut pas contenir de points isolés^ est un ensemble dense en lui-même] il est d'ailleurs fermé^ car si un point est limite d'une suite de points dont chacun appartient à tous les P^, il a luimême cette propriété. En résumé, l'ensemble Pçi est parfait. Considérons alors un intervalle contigu à Pn (dont aucun point intérieur n'appartient à Po, les points extrêmes seuls en faisant partie). Dans cet intervalle, il existe un nombre /3 tel que P^ ne contient aucun point intérieur à l'intervalle. Il y a une infinité dénombrable d'intervalles analogues, et les points intérieurs à ces intervalles forment l'ensemble complémentaire de Po; les différents nombres ^ qui correspondent à tous ces intervalles ont une limite supérieure a, qui est un nombre de la première ou de la deuxième classe, et l'on voit que l'ensemble Pa ne peut pas contenir d'autres points que ceux de Po; il les contient d'ailleurs tous, de sorte qu'on a :
1 a.= PoL-hi = ■•••/•= Pn ,
et cet ensemble est essentiellement parfait.
48. Revenons maintenant à la fonction y (a;), qui ne peut prendre que l'une des deux valeurs ou 1 ; imaginons qu'on forme les ensembles P, P,, Pj,... Pa^.*. que nous avons définis. Il ne peut se présenter que deux cas:
Ou bien il existe un ensemble P» qui est nul. Dans ce cas, la fonction est représentable, d'après la conclusion qui termine le § 45.
Ou bien il n'existe pas d'ensemble de cette nature. Alors il existe un nombre « tel qu'on a:
(") Acta, Tome II, page 388.
de variables réelles. 53
d'où je déduis, comme on a toujours: Pa^ F^^/'a+i:
ce qui exprime que tous les points de l'ensemble parfait Pf sont points de discontinuité par rapport à cet ensemble, Foscillation étant égale à 1; autrement dit, la fonction est totalement discontinue par rapport à V ensemble parfait Pi^. Elle n'est donc pas représentable.
On peut exprimer le résultat d'une manière différente; convenons d'appeler, dans tous les cas, Pn l'ensemble des points qui appartiennent à tous les Pc, . La condition nécessaire et suffisante pour que la fonction y {x) soit
représentable est que :
Pn = 0.
Le problème que nous nous sommes proposé est ainsi complètement résolu dans le cas particulier que nous venons d'examiner.
49. Pour passer à l'étude du cas général, j'aurai besoin de quelques théorèmes auxiliaires sur les fonctions discontinues d'une variable.
Soit une fonction f{x) définie sur le segment A 5, les extrêmes compris; supposons que 'le maximum de l'oscillation de f{x) en chaque point, dans cet intervalle, soit X, et prenons X'>X. Je dis qu'on peut poser:
g (x) étant une fonction continue, et ^ {x) une fonction dont la valeur en chaque point est comprise entre et )/.
D'après ce que nous avons vu au § 13, puisque l'oscillation en chaque point est inférieure à X', on peut trouver un nombre p tel que, dans toute portion du segment dont la longueur ne surpasse pas p, l'oscillation relative à cette portion soit ^ X'. Partageons le segment en portions dont chacune
ait une longueur inférieure à ^; soit ^,-48-43^4^45... la suite de points de
division ainsi obtenue, à partir de l'extrémité -4, que je désigne par -4,.
Considérons d'abord les segments suivants: AxAz-^ ^3^59 ^s.-!?)--- La longueur de chacun de ces segments étant inférieure à /s, on peut certainement, dans chacun d'eux, déterminer un nombre m tel que la fonction soit, dans toute l'étendue du segment partiel considéré, comprise entre m et m + X'; on peut par exemple prendre pour w le minimum de la fonction dans l'intervalle; (mais il n'est pas toujours indispensable de choisir m de cette manière). Soient mi, mz^ t>?6,... les quantités ainsi choisies, relatives aux segments A^A^^ A^A^^ .45 47,... Je représenterai géométriquement les choses en traçant dans
Baire: Sur les fonctions
le plan xy (fig. 12) les segments JB, JBg, B\ B\^ d'ordonnées m, et wi| + )/ et correspondant à A, ^3, les segments C3 C5, C\ C\j d'ordonnées Wg et W3 + A', correspondant à ^3^5, etc....
Je prends maintenant les segments At Ai^ AiAa^... dont chacun empiète sur deux des précédents. Considérons, par exemple, At Ai] si nous supposons, pour fixer les idées, m, <wi3, comme dans le cas de la figure, on peut trouver m* compris entre Wi et ms, et tel que, dans -4, ^4, la fonction
soit comprise entre iw, et nit -f À'. Soient EfEi^ E\E\ les segments correspondant à Af Aij d'ordonnées w, et m, + X'.
Traçons maintenant les lignes brisées parallèles: B^E^ C4, B\E\ C\\ je désignerai par g {x) la fonction continue qui est représentée par la ligne Bi BsEsCij et qui est ainsi définie jusqu'à présent de Ai k A4] la ligne brisée B'i B\E'zC\ représente évidemment la fonction g{x)'^X. Dans le segment At As^ la fonction donnée est comprise, d'une part entre w, et mi + ^'> d'autre part entre m^ et m^ + X', par suite entre m^ et m» + ^'j représentés par les segments E^ E^j B\ B\] elle est donc a fortiori comprise entre les fonctions représentées par B^E^ et B\E\, c'est-à-dire entre g{x) et g{x)-\'X. On voit de même que, dans le segment A^ A^ , elle est comprise aussi entre g{x) et gix)-^!'^ qui sont représentés par ^3^4, E^C^,
Pour prolonger la fonction g{x) au delà de A^^ on prendra le segment AiA^^ qui empiète sur A^A^^ et sur A^At^ on opérera sur lui comme on vient
de variables réelles. 55
d'opérer sur AtAi\ la fonction g{x) sera, dans ce segment, représentée par une ligne brisée telle que d F^ De ; on continuera Tapplication de la méthode jusqu'à ce que gix)Be trouve définie dans tout l'intervalle donné; nous aurons alors, en tout point;
ce qui démontre qu'on peut poser:
<f{x)^g{x) + ^{x), avec la condition:
50. Dans le cas que je viens d^examiner, j'ai supposé la fonction définie^ sur tout un segment ^ les extrêmes compris. J'ai maintenant besoin d'examiner le cas oîi l'on considère la fonction seulement pour les points intérieurs au segment. On voit tout de suite qu'il y a une différence essentielle avec le cas qui précède: si l'on sait que, en chaque point intérieur k AB, l'oscillation est inférieure à l\ on ne peut pas en déduire la possibilité de la division en un nombre fini de segments partiels, dans chacun desquels l'oscillation serait inférieure à X'; citons, par exemple, la fonction sin - définie
pour a; > ; en chaque point où a; > la fonction est continue, mais, dans un intervalle comprenant le point x — Oj la continuité n'est pas uniforme.
Voici comment il convient de modifier la méthode précédente, dans le cas oîi le point -4, par exemple, est exclu. Si on remplaçait le point A par un point A' voisin, si petit que soit A A\ les raisonnements que nous avons faits s'appliqueraient au segment A' B. Il résulte de là qu'on peut déterminer une suite infinie de points ^,, ^,,... An^-" tendant vers -4, et tels que dans tout segment A^ A^^-t l'oscillation de la fonction soit inférieure à X. En imaginant que la méthode indiquée dans le numéro précédent soit appliquée à AiAij AaA^^... indéfiniment, on définira ainsi une fonction g{x)j en tous les points intérieurs au segment considéré, qui sera continue en chacun de ces
points, et l'on aura:
(//(a?) étant compris entre et X (en chaque point intérieur).
51. Ces résultats suffiraient pour les applications que je me propose de faire; mais il n'est pas sans intérêt de montrer qu'on peut aller plus loin, et s'arranger de manière que, dans la décomposition de f en g + ^y la fonction ^ soit toujours comprise entre et X.
56 Baire: Sur les fonctions
Soit donc y (x) la fonction donnée, définie, soit sur tout le segment A B comme au § 49, soit seulement aux points intérieurs, comme au § 50; les raisonnements seront les mêmes dans les deux cas; si X est le maximum de l'oscillation en chaque point, je prends X' = X-f"<^; d'après ce que nous venons de voir, on peut poser :
? (^) = go (x) + ^0 {x).
go (x) est continue en tout point où y (x) est définie, et l'on a :
Je vais maintenant appliquer de nouveau la méthode, en mettant la
fonction ^o{x) à la place de f{x)y et en remplaçant <j par -• Faisons ici
une remarque: la fonction (po) qui ne diffère de <f{x) que par une fonction continue, a, en tout point, son oscillation ^X; de plus, elle ne dépasse en aucun point la valeur X-}-<7- Je peux donc, en appliquant à ^o{x) la méthode précédente, m'astreindre à prendre tous les nombres mi, m,, ma, etc ,
positifs ou nuls et inférieurs ou égaux à X-f-^-^l^ + ôI' c'est-à-dire à - • J'arriverai ainsi à mettre ^ (x) sous la forme :
^o{x)^gi{x) + ^,{x),
(jr, (x) étant une fonction continue, et i//, {x) étant compris entre et X + ^ • On voit en outre que ^f, (a:), qui reste toujours compris entre les valeurs extrêmes des quantités wî,, ntg, wis,..., est compris entre et — •
J'appliquerai ensuite la méthode à ^i{x) en remplaçant ^ par -? et j'aurai :
gi{x) étant continue; de plus on a:
On voit qu'au bout de n opérations analogues, on a l'identité :
9 («) — [^0 (a:) + ^, (x) + gt(x)-\ -f ^r» (x)J = <//„ («). (1 )
de variables réelles. 57
Imaginons qu'on répète l'opération indéfiniment; la série de fonctions continues : *
est uniformément convergente, puisque les termes, à partir du second, sont positifs et respectivement inférieurs à ceux de la série :
cette série représente donc une fonction continue g [x). Posons :
(fix) — g (x) = «p (x).
Il est facile de déduire de l'égalité (1) que, pour chaque valeur de a:, on a, quel que soit n :
0^iP{x)^iPn (x).
Par suite, ^(x) est une fonction déterminée de x qui est comprise entre
f't ^ + â;j ' quel que soit n, par suite entre et X.
Il est ainsi démontré qu'on peut efltectuer la décomposition :
g{x) étant continue, et f{x) compris entre et X.
52. Ajoutons une remarque. Si, au lieu de supposer une fonction définie pour tous les points d'un intervalle continu (les extrêmes étant compris ou non), on suppose qu'elle n'est définie que pour les points d'un certain ensemble jparfait (les points extrêmes pouvant être exceptés), des considérations analogues aux précédentes s'appliquent, et l'on peut énoncer le théorème suivant :
Si X est le maximum de Voscillation en un 'point de la fonction par rap* port h V ensemble^ on peut poser:
g étant une fonction continue relativement à l'ensemble donné, du moins en tout point où o est définie^ et ^ étant compris entre et X.
On peut d'ailleurs ramener cette question à la précédente ; soit <f la fonction, donnée seulement aux points de l'ensemble parfait P; je compléterai la définition de ? aux points du continu qui ne font pas partie de P de la manière suivante: sur tout intervalle contigu à P, tel que An Bn, je fais varier
58 Baire: Sur les fonctions
linéairement (f depuis (f {An) jusqu'à <f (£»)• H est facile de vérifier que pour la fonction ainsi définie, l'oscillation en chaque pomt (par rapport au continu) est !^X; on en déduit immédiatement le théorème.
Enfin, pour terminer cette étude, je ferai remarquer que les raisonnements que nous avons faits s'appliquent encore si (f{x) est une fonction multiforme; nous donnerons alors à l'expression: oscillation en un point le sens défini au
§ 14; on pourra écrire:
g (x) étant une fonction continue, et ^ (x) une fonction multiforme comprise entre et X.
53. Abordons maintenant la question qui fait l'objet essentiel de ce chapitre : Si une fonction est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait^ elle est représentable.
Je commencerai par démontrer le théorème suivant: Si une fonction ^(.r) est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait^ et si a est un nombre positif quelconque , on peut poser:
fo {^) étant une fonction dont nous pourrons affirmer qu^elle est représentable ^ diaprés les théorèmes donnés dans la première partie de cette étude^ et ^ ix) étant compris entre et a.
Soit P l'ensemble des points oîi l'oscillation de y (a;) est ^ a; formons P--; soit P| l'ensemble des points de P^ où l'oscillation par rapport à P" est ^ 7. D'une manière générale, soit P^^^ l'ensemble des points de P^. où Voscillafion par rapport à P^est^a; si maintenant a est un nombre de seconde espèce, P^ sera par définition l'ensemble des points qui appartiennent à tous les ensembles Pa', dont l'ordre a'est<<a.
Puisque, par hypothèse, c- (x) est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait, il en résulte que, quel que soit «, l'ensemble Pa^^i (qui est d'ailleurs fermé) est non dense par rapport à P^] a fortiori cet ensemble ne peut pas coïncider avec Pa, à moins que Pa ne soit nul. Il existe donc, d'après le § 47, un nombre /3 de la première ou de la deuxième classe, tel que P^ = 0.
Cela posé, pour définir fo et </; de manière à satisfaire aux conditions imposées, je procéderai de la manière suivante.
Considérons d'abord l'ensemble P. Dans tout intervalle contigu à P, l'oscillation en chaque point intérieur est un nombre < a. D'après le théorème du
de variables réelles. 59
§ 51, on peut, dans chacun de ceB intervalles, effectuer la décomposition:
(fo et '^ seront ainsi définis en tous les points du continu, que je représente par Ey sauf en ceux de P, autrement dit aux points de E — P. En tout point de E.— P, f« est continue, et (/; a une valeur comprise entre et a. Il reste à définir yo et \^ aux points de P. Considérons, en supposant que P ne soit pas réductible, l'ensemble P — F-; cet ensemble est constitué par les points de P qui sont à Vintérieur des intervalles contigus à V ensemble parfait P-^; aux points de P — P^' je pose:
Si -4 p est l'un quelconque des intervalles contigus à P-^, P forme dans cet intervalle un ensemble réductible; il en résulte que yo, qi^i, dans chaque intervalle contigu à P, est représentable, sera représentable dans toute l'étendue de l'intervalle A P, (ou, plus exactement, dans tout intervalle compris dans A Bj puisque yo n'est pas encore définie aux points A et B).
La définition de fo et \p est maintenant faite partout, sauf aux points de P-; j'ai appelé Pj l'ensemble des points de P^^ où V oscillation par rapport à P'^- est ^ 'J'y Pi est non dense par rapport à P'\ Soit -4P un intervalle contigu à P,; cet intervalle peut contenir à son intérieur des points de P--, mais nous savons qu'en chacun de ces points, l'oscillation par rapport à P-- est <. (J. Il en résulte que, dans l'intérieur de l'intervalle, nous pourrons définir (fo et '| aux points de P^ qui s'y trouvent, de manière qu'on ait en tous ces points: ç= ?o + ^) que yo soit continue par rapport à P--, et que ^ soit compris entre et a. Nous aurons, par cette opération supposée effectuée dans chacun des intervalles contigus à P», défini fo et (p dans l'ensemble P^ — Pj . Il ne restera plus à les définir que sur P, , et, dans tout intervalle contigu à P,, «^o sera représentable.
On voit que la marche à suivre est la suivante: on effectue la décomposition de P en f + ^ successivement dans les ensembles:
E — P, P — P"i P"' Pij Pi Pr ") • • • ) -^«-1 "'n j Pfi Pn } • • •
Si on suppose cette suite d'opérations prolongée indéfiniment, la décomposition se trouvera effectuée en tous les points de Ey sauf en ceux de P«, qui est l'ensemble des points communs à tous les Pn] de plus, dans tout in-
60 Baire: Sur les fonctions
tervalle contigu à Pej, la fonction 90 s^^ra représentable. On continuera ensuite de la même manière, c'est-à-dire qu'on définira yo et ^ sur P^ — Pf;,
puis sur P^ — Pûn-i, etc ; après avoir appliqué cette méthode une infinité
de fois, on aura défini yo et ^ ^\xv E — Pîm.
Pour justifier d'une manière complète et rigoureuse ce que je viens de dire, je suppose, d'une manière générale, que la décomposition soit effectuée sur l'ensemble E — Pa-j, et que, dans chaque intervalle contigu à P«-i, la fonction ^o soit représentable. Considérons l'ensemble P?i', dans tout intervalle contigu à P?„ l'ensemble des points de P««i qui s'y trouvent est réductible; en ces points je pose:
la fonction foj qui par hypothèse est représentable dans chaque intervalle contigu à Pa-, , est encore représentable dans tout segment contigu à P^, . Prenons maintenant P«, qui est l'ensemble des points de P^., où l'oscillation par rapport à cet ensemble est^cx. Dans un intervalle contigu à P», on peut, aux points de P^i qui s'y trouvent, effectuer la décomposition, de manière que 9o soit représentable dans tout cet intervalle.
Il est ainsi démontré que, si y© et ^ sont définies sur l'ensemble E — Pa-i, elles peuvent être définies sur l'ensemble E — Pa,^ les conditions fondamentales étant encore observées.
Si maintenant a est un nombre de deuxième espèce, on peut toujours le considérer comme la limite supérieure d'une suite dénombrable de nombres:
ai, ce s, .., CLfi^'
de telle sorte que a joue par rapport à cette suite le même rôle que w par rapport à la suite:
Imaginons qu'il soit possible de définir yo et ^ sur E — P^i, sur E— Pa^o^... et généralement sur E — P*/, si on suppose cette suite d'opérations prolongée indéfiniment, la décomposition se trouvera effectuée sur tout l'ensemble E — P„. Dans toute portion contenue à l'intérieur d'un intervalle contigu à P^, il existe un nombre n déterminé tel que P^',, est nul dans cette portion; fo est donc représentable dans cette portion, et par suite, dans tout intervalle contigu à Pa.
de variables réelles. 61
On voit ainsi que, quel que soit a, il est possible d'effectuer la décoraposition sur Tensemble E — Pa.y de telle sorte que sur tout intervalle contigu à Pa la fonction o^ soit représentable. Or, il existe un nombre /3 tel que P^ est nul. Quand la décomposition se trouvera effectuée sur E — P/g, qui est identique à Ey on aura, en tous les points du segment donné:
3>o {x) étant représentable dans toute Vétendue du segment, et ^ {x) ayant en chaque point une valeur comprise entre et a.
54. J'arrive maintenant à la démonstration du théorème général. En supposant 9 {x) ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfaity et en prenant arbitrairement un nombre positif a, nous venons d'obtenir l'égalité (2). Appliquons maintenant la même méthode à la fonction ip (x) de
cette égalité, en remplaçant a par -; remarquons en outre que, comme on
a : ^ </i ^ a, on peut, en définissant f , et i//, de manière que :
s'arranger de façon qu'en tout point on ait :
Cela résulte d'une remarque énoncée au § 51 ; bien entendu, (fi (x) est une fonction représentable.
On posera ensuite :
avec les conditions:
D'une manière générale, on aura :
"fn-, (x) = <fn {x) + «//„ (x) ,
62 Baire: Sur les fonctions
avec :
et (fn{x) étant une fonction représentable.
Quand n croît indéfiniment, la fonction ^ni^) tend uniformément vers 0; on peut donc écrira :
î {x) = yo (x) + ç. (x) + fi{x)-\ -h ?n (a:) -I (3)
la série étant uniformément convergente.
Chacune des fonctions qui figurent dans le second membre de l'égalité (3) est représentable dans les conditions des problèmes I et IL Considérons, pour fixer les idées, le problème I; il correspond à (fn{x) une fonction fnix^ y), continue en tout point par rapport à chacune des variables, et égale sur x = y à (fn (x) ; cela résulte de ce qiie (fn {x) fait partie de la catégorie de fonctions que nous avons appris à construire dans les § 33 à 45; ce qui distingue ces fonctions, c'est que l'ensemble de tous les points de discontinuité relatifs à un ensemble parfait quelconque est non dense par rapport à cet ensemble. On reconnaît aisément que, dans tous les théorèmes qui ont été démontrés pour établir que ces fonctions sont représentables, on peut s'astreindre à ce que la fonction f(Xj y) que l'on définit, ait pour limites supérieure et inférieure dans toute l'aire les limites supérieure et inférieure de ©(a;).
Nous supposerons donc que la fonction fn (x, y) qui correspond à <j>n (x)
compris entre et ~ > est elle-même comprise entre et — • Nous pouvons alors poser :
fi^j y) = fo{x, y) + f^{Xy y) + h fn (^, y) + • ■ •
le second membre est une série uniformément convergente. Il en résulte que f{x^ y) est une fonction parfaitement déterminée, qui possède tous les caractères de continuité des fonctions fn (a?, y), et qui, pour a? = y, se réduit à y {x). Il est ainsi démontré que y {x) est une fonction représentable dans les conditions du problème I. La démonstration est évidemment analogue pour le problème IL
En résumé, nous avons prouvé que la condition nécessaire et suffisante pour qu^une fonction soit représentable, est qu'elle soit ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait.
de variables réelles. 63
Nous ayons aussi donné un moyen de reconnaître si cette condition est remplie ou non. Etant donné un nombre positif or, on forme la suite d'ensembles Pj P,, Pj,... Pnv P«>--- P»«;-- P(tv correspondant à cette valeur de a. Soit Pa l'ensemble des points qui appartiennent à tous les P».
Il faut et il suffit, pour que la fonction soit représentable , qu^on ait, quel
que soit a:
PiZ-0.
Si, pour une certaine valeur de a, on a Pii>0, la fonction est totalement discontinue sur cet ensemble parfait, et par suite, n^est pas représentable.
