IV. Propriétés générales

55. Nous avons, dans ce qui précède, caractérisé une catégorie parfaitement déterminée de fonctions discontinues, qui, entre autres propriétés, possèdent la suivante: Une quelconque de ces fonctions est représentable par une série qui a pour termes des fonctions continues, et qui est convergente pour chaque valeur de x. Nous avons déjà fait observer que cet énoncé revenait au suivant: la fonction est limite d'une suite de fonctions continues.

Servons-nous maintenant du théorème de Weierstrass (*) : si une fonction est continue, et si on se donne un nombre e, aussi petit qu'on veut, il est possible de trouver un polynôme qui diffère de la fonction en chaque point de moins de e.

Soit f{T) une fonction discontinue limite d'une suite de fonctions continues f (x), ft(x)y... fn{x\... Prenons une suite de quantités tendants vers 0: £., £2,... €nj." Nous pouvons, d'une manière générale, faire correspondre à la fonction fi{x) un polynôme ^{{x) qui en diffère de moins de e,-. Dans ces conditions, la suite de polynômes : .. , -

a pour limite f{x\ comme la suite des fonctions fiix). Ainsi, une fonction qui est limite d'une suite de fonctions continues peut aussi être considérée comme limite d'une suite de polynômes, et par suite peut être développée en série de polynômes. Nous pouvons donc énoncer ce théorème:

(*) Une démonstration très simple du théorème de Weierstrass a été donnée par M. Lebesgue dans une Note : Sur rapprouimalion des fonctions. (Bulletin des sciences matliématiques, novembre 1898.)

64 Baire: Sur les fonctions

La condition nécessaire et suffisante pour qu^une fonction soit représentahle par une série convergente de polynômes est qu^elle soit ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait.

56. Indiquons quelques exemples de fonctions représentahles ; je dis que toute fonction semi-continue est représentable; nous avons vu au § 12 qu'une fonction qui possède en tout point la semi-continuité supérieure, par exemple, est ponctuellement discontinue ; on démontrera par la même, méthode cet énoncé plus général: une fonction semi-continue par rapport à un ensemble parfait, est ponctuellement discontinue sur cet ensemble. Il résulte de là que toute fonction semi-continue satisfait à la condition d'être ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait, et par suite peut être considérée comme limite d'une suite de fonctions continues, ou de polynômes,

57. Donnons une autre application dans un ordre d'idées différent. Supposons qu'une fonction continue f{x) ait en tout point une dérivée déterminée /" (x). Cela veut dire que la quantité :

lorsque y tend vers 0, tend vers une limite déterminée, qui est f {x). Considérons alors la fonction ^ (a:, y) définie de la manière suivante :

•pour y ^ on a : -, (rc, y) = ^-^i — '.jl^ ,

pour y = on a : <p (x, 0) = /' (x).

Cette fonction des deux variables réelles x et y est une fonction continue de l'ensemble (ar, y) en tous les points du plan qui n'appartiennent pas à Ox; de plus, en chaque point de x, elle est continue par rapport à y. Donc la fonction dérivée f [x) est une fonction représentable par une série de fonctions continues.

On peut même remarquer que si l'on suppose seulement pour la fonction f{x) l'existence en chaque point d'une dérivée à droite déterminée, fd {x\ le raisonnement qui précède s'applique à cette fonction fd{x\ qui est, par suite, une fonction représentable.

58. Je -me propose maintenant d'approfondir la nature des fonctions représentables, en tirant des conséquences de la condition fondamentale qui les caractérise.

Considérons d'abord une fonction f{x) que nous supposons ponctuellement discontinue. La propriété caractéristique est que, dans tout intervalle,

il existe au moins un point où la fonction est continue; nous en avons déduit que l'ensemble des points où roscillation est ^7, est un ensemble non dense. Prenons maintenant une suite décroissante de nombres positifs tendant vers 0, par exemple:

J'appelle d'une manière générale Pn l'ensemble des points où l'oscillation w

est ^ 57, • Si A est un point de discontinuité pour fix)j il existe un entier p

tel que A fait partie de l'ensemble Pn^ dès que n est égal ou supérieur à p. En appelant P l'ensemble de tous les points de discontinuité, noup sommes conduits à dire que P est limite de V ensemble Pn? quand n crott indéfiniment. L'ensemble Ppeut évidemment être d'une nature tout à fait différente de celle des ensembles Pn\ en particulier, il peut èire dense dans tout un intervalle; de plus, il n'est pas nécessairement fermée car ses points limites peuvent être des points de continuité pour la fonction.

59. Mais on voit que ces remarques conduisent tout naturellement à étudier les propriétés d'un ensemble linéaire P satisfaisant à la condition suivante: Il existe une infinité dénombrable d'ensembles P,, Pt,... Pnr-' ^^^^ chacun est non dense, et tels que tout point de P fait 'partie de l'un au moins des ensembles P|, Pf,... Pnj'-- Je dirai qu'un ensemble de cette nature est de première catégorie. Tout ensemble qui ne possède pas cette propriété sera dit de deuxième catégorie.

Je commence par démontrer la proposition suivante : Si P est un ensemble de première catégorie, il existe, dans toute portion a/3 du segment sur lequel il est défini, au moins un point (et par suite une infinité) n'appartenant pas à P. En effet, d'après les hypothèses, on peut déterminer dans a/3 un intervalle fini ai jSi ne contenant aucun point de Pi; dans ai/3,, un intervalle a, /Si ne contenant aucun point de Pg, etc....; dans a»-, /3n-i, un intervalle anjSn ne contenant aucun point des n premiers ensembles P|, Ps,... Pn] il oxiste au moins un point M compris à l'intérieur de tous les segments «n/3n; ce point M ne fait partie d'aucun ensemble P» et par suite ne fait pas partie de P.

Il résulte immédiatement de là que le continu constitue un ensemble de deuxième catégorie; nous venons en effet de démontrer qu'on ne peut pas obtenir tous les points, d'un intervalle continu au moyen d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses.

66 Baire: Sur les fonctions

L'ensemble formé par la réunion d'un nombre fini ou d'une infinité dénombrable d'ensembles de première catégorie est encore un ensemble de pre* mière catégorie; cela résulte de la définition même.

Le continu, dont on a retranché un ensemble de première catégorie, autrement dit, l'ensemble complémentaire d'un ensemble de première catégorie, est de seconde catégorie.

Si on a, d'une part, un ensemble E, — P, complémentaire par rapport au continu E d'un ensemble de première catégorie, et d'autre part un ensemble Q qu'on sait être de deuxième catégorie, on peut affirmer que E — P et Q ont des points communs. Si en effet cela n'était pas, c'est que tous les points dei Ç appartiendraient à P, et Ç serait alors de première catégorie.

On voit la différence profonde qui existe entre les ensembles des d'eux catégories; cette différence ne réside, ni dans la dénombrabilité, ni dans la condensation dans un intervalle continu, puisqu'un ensemble de première catégorie peut avoir la puissance du continu, et peut aussi être dense dans toute l'étendue du segment qu'on considère; mais elle est en quelque sorte une combinaison des deux notions précédentes.

60. Revenons aux fonctions ponctuellement discontinues; on voit que, pour une telle fonction, l'ensemble des points de discontinuité est de première catégorie, tandis que l^nsemble des points de continuité est au contraire de deuxième catégorie.

Je déduis maintenant de l'étude précédente un théorème donné par M. VoLTERRA en 1881 (*). Considérons un nombre fini, ou même une infinité dénombrable de fonctions ponctuellement discontinues, définies dans un même intervalle de variation de x. L'ensemble P des points où l'une au moins des fonctions est discontinue, est formé par la réunion des ensembles P, , P?,... Pfty'i Pfi étant l'ensemble des points de discontinuité de /*n(a;). Donc, d'après ce que nous avons vu, P est un ensemble de première catégorie. On en déduit que, dans tout intervalle^ il y a des points oU toutes les fonctions considérées sont continues.

Tirons une conséquence de la proposition qui précède. Supposons qu^ine suite de fonctions ponctuellement discontinues ^(a?), /i(aj),... /n (a?) , . . . , tende uniformément vers une limite f{x\ c'est-à-dire que \fix) — fn{^)\ devienne inférieur à e, si petit que soit s, indépendamment de or, quand n est suffi-

(*) VoLTERRA, Alcune osservazioni suUe funzioni i^unleggiale diisconlintœ. (Giomale di Battaglini, 1881.)

de variables réelles. 67

satnment grand. Dans ces conditions, je dis que f{x) est ponctuellement discontinue; il suffit de montrer que si A [xo] est un point de continuité commun à tous les fn {x)j c'est encore un point de continuité pour f(x). En effet, e étant donné, prenons d'abord n assez grand pour qu'on ait en tout point:

On aura en particulier :

\f(x)-fnix)\<^

\fi^o)-fn(:X,)\<^

Puie, prenons autour de A un intervalle assez petit pour qu'on ait dans cet intervalle :

\fnix)-fn(Xo)\<^'

On déduit de ces Inégalités:

ce qui montre que f{x) est continue au point A.

61. Je fais remarquer maintenant qu'on peut généraliser les notions indiquées au § 59, en prenant pour base un ensemble parfait, au lieu du continu.

Soit G un ensemble parfait quelconque ; je ne considère dans ce qui suit que des ensembles qui ne contiennent que des points de G. Si P est formé par la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles P,, P?,.-. Pn,-M ^^^* chacun est non dense par rapport à Gr, je dirai que P est de première catégorie par rapport à G. On peut tirer de cette définition des conséquences en tout point analogues à celles que nous avons indiquées au § 59.

On reconnaît de même que si l'on a une infinité dénombrable de fonctions définies sur un ensemble parfait G, et si chacune d'elles est ponctuel* lement discontinue sur cet ensemble, il existe, au voisinage de tout point de (t, des points de G où toutes les fonctions sont continues. Si elles tendent uniformément vers une fonction limite f{x)j un point de continuité commun à toutes ces fonctions sera aussi point de continuité pour f{x).

Supposons à présent qu'on ait une suite de fonctions représentables: fi{x\ fi{x)j... /n(a?),..., tendant uniformément vers une fonction limite f{x). Si on considère un ensemble parfait quelconque, d'après ce que nous venons de voir, la fonction f{x) sera, comme chacune des fonctions fn{x)j ponctuelle-

68 Baire: Sur les fonctions

ment diacontinue sur cet ensemble parfait; il en résulte que f{x) est représeniablé.

Nous obtenons donc ainsi un résultat qui est à rapprocher du théorème connu : Une série uniformément convergente de fonctions continues représente une fonction continue^ et qu'on peut énoncer sous la forme suivante :

Une série uniformément convergente, dont les termes sont des fonctions représentables, est une fonction représentée.