CHAPITRE III

Fonctions discontinues développables en séries multiples

de fonctions continues.

L Définition de eus fonctions.

62. Je me propose de définir et d'étudier dans ce chapitre, certaines catégories de fonctions discontinues, dont on peut dire qu'elles se rattachent, en un certain sens, aux fonctions continues. Je prendrai pour point de départ la notion de fonction limite d'une suite de fonctions. Nous venons de voir, dans le chapitre précédent, qu'il y a des fonctions discontinues d'une variable réelle qu'on peut obtenir comme limites de fonctions continues, et nous avons déterminé la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction possède cette propriété.

Je conviendrai de dire que les fonctions continues forment la classe 0, et que les fonctions discontinues limites de fonctions continues forment la classe 1. D'après cela, les fonctions de la première classe sont les fonctions discontinues qui sont représentables par des séries convergentes de fonctions continues, et par suite, comme nous l'avons montré, par des séries convergentes de polynômes.

63. Supposons maintenant qu'on ait une suite de fonctions appartenant aux classes ou 1, et possédant une' fonction limite n'appartenant à aucune de ces deux classes. Je dirai que cette fonction limite est une fonction de la seconde classe, et l'ensemble de toutes les fonctions qu'on peut obtenir de cette manière formera la classe 2. On voit d'après cela qu'une fonction de la classe 2 est développable en une série, convergente pour chaque valeur de op, et dont tous les termes sont des fonctions de classe 1; en remplaçant

de variables réelles. 69

chacun de ces termes par la série de polynômes qui le représente, on reconnaît qu'une fonction de classe 2 peut être représentée par une série double dont les termes sont des polynômes.

J'indique tout de suite un exemple simple de fonction de classe 2. Il suffit de considérer la fonction (f{x) qui, dans un certain intervalle, 0:^07:^ 1 par exemple, prend la valeur quand x est rationnel et la valeur 1 quand x est irrationnel. En effet, considérons la fonction fn(^) définie de la manière

suivante: pour a; = - » si q^n et si - est irréductible, on a y^(x) = 0', pour

toutes les autres valeurs de a?, on a 9n(^) = l« On voit que <f{x) est la limite de fn(^) quand n croît indéfiniment; d'autre part, (fn{x\ n'ayant qu'un nombre fini de discontinuités, est de la première classe; il en résulte que <f{x) est de classe 2. Cela nous montre qu'il existe une série double:

les P«^^ étant tous des polynômes, qui est convergente pour chaque valeur de x comprise entre et 1, à condition que la sommation soit effectuée d'abord par rapport à jS, puis par rapport à «, et dont la somme est quand x est rationnel, 1 quand x est irrationnel

64. De même que nous avons défini les fonctions des classes 1 et 2, nous pourrons définir les fonctions de classe 3, 4,... n,...

Une fonction sera dite de classe n, si elle est la limite d'une suite de fonctions appartenant aux classes 0, 1, 2,..., n — 1, et si elle n'appartient pas elle-même à l'une de ces classes. Une telle fonction, s'il en existe, pourra se représenter par une série d'ordre n, dont les termes seront des polynômes:

On peut aller plus loin, en suivant une marche analogue à celle par laquelle M. Cantor arrive à définir les ensembles dérivés d'ordre a d'un ensemble donné, a étant un nombre transfini. Supposons qu'on ait une suite de fonctions dont chacune appartienne à l'une des classes 0, I, 2,... n,..., et qu'il existe une fonction limite ne faisant partie d'aucune de ces classes; nous conviendrons de dire que cette fonction limite appartient à la classe &). Nous concevons de même l'existence possible de fonctions qu'on sera conduit à considérer comme faisant partie dés classes (^-{-1^ &)4-2,..., 2(a,...

70 Bairê: Sur les fonctions

Pour donner une définition générale, supposons qu'on ait défini les classes de fonctions marquées par tous les nombres a inférieurs à un nombre a. Si une suite de fonctions dont chacune appartient à une classe marquée par un nombre a a une limite, et si cette fonction limite n'appartient à aucune de ces classes, nous dirons qu'elle appartient à la classe a.

65. Il est naturel de chercher à voir jusqu'où peut s'étendre cette formation, ou tout au moins oette conception logique de fonctions discontinues de plus en plus compliquées, mais pourtant se rattachant toujours d'une manière très précise aux fonctions continues. Nous allons tout de suite montrer que le procédé précédent s'applique seulement pour les nombres transfinis de ia première et de la deuxième classe; cela résultera du théorème suivant:

Considérons Vensemble E des fonctions appartenant aux classes marquées par un nombre de la première ou de la deuxième classe de nombres. Si une suite de fonctions appartenant à Vensemble E a une limite, cette fonction U-mite appartient aussi h Vensemble E.

La démonstration de ce théorème résulte très simplement du théorème de M. Cantor dont j'ai déjà eu l'occasion de me servir : Une suite dénombrable de nombres de la première ou de la deuxième classe a une limite supérieure, qui est un nombre appartenant à l'une de ces mêmes classes.

Soit: fi{x)^ /^(a:),... fn{x)j... la suite de fonctions; soient:

les nombres qui marquent les classes auxquelles elles appartiennent; d'après le théorème de M. Cantor, il existe un nombre jS, de la première ou de la deuxième classe, tel qu'on a, pour toute valeur de n :

Donc, d'après la définition des fonctions de classe /3, la fonction fix\ limite de fn{^)y appartient certainement, soit à la classe /3, soit à une classe inférieure; c'est donc une fonction faisant partie de l'ensemble E.

Nous sommes ainsi parvenus à la définition logique d'un ensemble E de fonctions qui contient toutes ses fonctions limites^ propriété que l'ensemble des fonctions continues, par exemple, ne possède pas. Ajoutons que chacune des fonctions qui font partie de l'ensemble E peut être définie par une infinité dénombrable de conditions (*); en effet, une fonction de première classe, par

(*) Voir à CG sujet: Borel: Leçons sur la tJiéone des fonctions, Notes I et III.

exemple, est défioie si on connaît la suite dénombrable de fonctions continues qui l'admet pour limite, et chacune de ces fonctions continues est définie au moyen d'une infinité dénombrable de conditions. Le théorème s'étend facilement, par voie de récurrence, à toutes les fonctions de E. Il résulte également de là que l'ensemble -^ a la puissance du continu; on sait d'autre part que l'ensemble de toutes les fonctions discontinues a une puissance supérieure; on voit donc que l'ensemble de fonctions J5J, tout en étant beaucoup plus étendu que l'ensemble des fonctions continues, ne forme qu'une catégorie très particulière par rapport à l'ensemble de toutes les fonctions qu'on peut concevoir. Il serait intéressant d'arriver à démontrer l'existence effective de fonctions appartenant aux différentes classes que nous avons définies logiquement, et de caractériser chacune de ces classes, comme nous sommes parvenus, dans le chapitre précédent, à caractériser les fonctions de classe 1. Les difficultés deviennent très grandes dès qu'on aborde l'étude des fonctions de classe. 2; je vais exposer les résultats obtenus en ce qui concerne les fonctions de cette classe.

IL Fonctions de la deuxième classe.

66. Il me sera utile, pour étudier les fonctions de deuxième classe, d'énoncer quelques remarques au sujet des fonctions de première classe; ces remarques résultent immédiatement des théorèmes généraux qui nous ont permis, dans le chapitre précédent, de caractériser complètement ces fonctions.

Supposons que le segment A B puisse être divisé en un nombre fini de segments sur chacun desquels la fonction soit de première classe; elle est alors de première classe sur A B.

Si l'on sait que, sur tout segment A' B' intérieur à -4 B, si voisins que soient A' et B' de A et 5, la fonction est de première classe, elle l'est eniîore sur ^ B.

Il est bien évident que ces énoncés subsistent, si l'on y remplace l'expression: fonction de première classe, par celle-ci: fonction de deuxième classe.

Si une fonction est de première classe, on peut changer ses valeurs en un nombre fini de points d'une manière arbitraire, sans qu'elle cesse d'être de première classe; on peut de même modifier d'une manière absolument quelconque les valeurs de la fonction aux points d'un ensemble réductible.

67. Indiquons maintenant un moyen d'obtenir une catégorie étendue de fonctions de deuxième classe.

72 Baire: Sur lés fonctions

Partons d'une fonction de première classe, et remplaçons par des valeurs arbitraires les valeurs de cette fonction aux points d'un certain ensemble E dénombrable : je dis que la fonction ainsi obtenue est de deuxième classe au plus.

Soit en effet f{x) la fonction primitive, y (a?) la fonction modifiée; nous supposons que <f{x) ne diffère de f{œ) qu'aux points A^j i4j,.,. Any» Dé^ finissons une suite de fonctions de la manière suivante:

f (ir) = f{x) sauf en ^, où /*, {x) = y {x)

/i (x) = f{x) sauf en Al, A t où /« {x) = y (x)

fn{x) = f{x) sauf en A,^ A^^...^ An où fn(x) = (f[x).

Chaque fonction fn (x) ne différant de f{x) qu'en un nombre fini de point>^, est de première classe, comme f{x). D'ailleurs il est évident que fn {x) a pour limite ç(x); donc y (a?) est de la deuxième classe.

Je vais m'occuper en premier lieu de cette catégorie particulière de fonctions, et je vais poser de nouvelles définitions qui me permettront de donner une condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction ne diffère d'une fonction de première classe qu'en un ensemble dénombrable de points.

68. Considérons une fonction quelconque; soit « /3 une portion de l'intervalle dans lequel cette fonction est définie; je désignerai par M^{olQ) et Wo(a/3) les limites supérieure et inférieure de la fonction dans aj3.

Soit 1 un nombre quelconque inférieur à 3/©; il existe dans a/3 un ensemble bien déterminé de points où l'on a: f{x)^l^ cet ensemble contenant au moins un point; il peut se présenter deux cas: ou bien cet ensemble est dénombrable (ou fini), et alors la même chose a lieu pour tous les nombres compris entre X et Mo] ou bien au contraire cet ensemble est non dénombrable, et la chose est vraie pour tous les nombres inférieurs à X.

Cela suffit pour qu'on soit assuré de l'existence d'un nombre que je désignerai par JJf, (a iS), qui sépare les nombres en deux catégories de telle manière que:

si X> M,, l'ensemble des points où l'on a f{x)^'k (ou /^(aî)>X) cet dénombrable ;

si X<M,, l'ensemble des points où f{x)^\ (ou/'(ir)>X) n'est pas dénombrable.

Il y a d'ailleurs doute pour 1^= Mi. On peut dire que Jtf , (« /3) est la limite supérieure des nombres X tels que les points où f{x) ^ X forment un

de variables réelles. 73

ensemble non dénombrable, et la limite inférieure des nombres X tels que ces points forment un ensemble dénombrable.

De la même manière^ nous appellerons m,(a/3) la limite inférieure des nombres X tels que les points oU f(x)^l forment un ensemble non dénombrable.

Il résulte de ces définitions qu'on a certainement :

3fo (« /3) ^ 3f I (a /3) ^ m, (a ^) ^ fWo (a /3).

Pour montrer qu'on a: M, (a/3)^m, (ai3), il suffit de faire voir que tout nombre qui est supérieur à M^ est aussi supérieur à w, ; soit donc X > 3/» ; l'ensemble des points où /*(ic)>X est dénombrable, d'après la définition de»Jlf,; par suite, l'ensemble des points où f{x) ^ X, qui est le complémentaire du précédent, est non dénombrable; donc, d'après la définition de m,, on a wî, -^ X.

Faisons une remarque importante. Si E est un ensemble dénombrable quelconque, mais déterminé, on peut, pour définir Jlf, (a/3) et m, (a/3), faire complètement abstraction des valeurs de la fonction aux points de E\ cela résulte de la propriété fondamentale qui caractérise ces nombres.

Je poserai :

et je dirai que Jlf , (a /3), m^ (a /3), w, (a /3), sont respectivement le maximum, le minimum, l'oscillation de f{x) dans l'intervalle a/3, quand on néglige les ensembles dénombrables.

Si maintenant, au lieu de considérer un intervalle fini^ nous considérons un point x^y nous commencerons par prendre un intervalle autour de ce point, soit (xo — ^, Xo + ^) ; prenons, dans cet intervalle, les trois nomJ)res que je viens de définir, et désignons-les par M^{<i)y m,((î), w, ((î); lorsque d tend vers 0, ces nombres tendent vers des limites déterminées^ que j'appelle:

Mt(Xo)j mi{Xo)j (ûi(Xo).

Ces nombres seront dits le maximum^ le minimum^ l'oscillation au point Xo , en négligeant les ensembles dénombrables. On a : w, (a?o) --= Mi (Xo) — w, (Xq). J'énonce les propriétés fondamentales du nombre M^ (Xo) :

1.^ Si petit que soit t supposé positif, on peut déterminer un intervalle {Xo — âj x« + â) dans lequel les points où f(x) > Mt (Xo) -f- s forment un ensemble dénombrable.

74 Baire: Sur les fonctions

2.^ Si petits que soient e et ^, dans Tintervalle {Xo — ij «o + tJ), les points où /"(x) > 3f I (oJo) — e forment un ensemble non dénombrable.

On aurait des propositions analogues pour m,(Xo) et w, (Xo); Tanalogie des nouveaux nombres avec les quantités iifo, w©, «o, est évidente; citons encore une propriété qui nous sera utile.

La fonction M^ (x) est semi-continue supérieurement. Pour démontrer cette proposition, remarquons d'abord que si un point x se trouve à l'intérieur d'un intervalle a jS, on a certainement :

3f,((r)^Jlf,(«/3).

Cela posé, si ou considère un point iCoj et si on se donne un nombre £, on peut trouver autour de x^ un intervalle a /3 dans lequel on aura :

M,{pL^)<M,{x,) + e.

si a:: est un point quelconque de cet intervalle, on aura :

M, {x) < Mi (Xo) + sj

ce qui exprime la proposition.

On voit de même que m, (a:) est semi-continue inférieurement, w, (a:) semicontinue supérieurement. •

Enfin, des notions en tout point analogues à celle que nous venons d'établir peuvent être définies, si on part d'un ensemble parfait quelconque 6?; dans un intervalle aj3 contenant des points de cet ensemble, on définira les quantités :

M,[f(x\ G, «/3], m, [f{x\ G, aQ], a,, [f{x), (?, «ô],

pui&, en .chaque point Xo de <r, les quantités :

^i [fi^)j ^1 ^o], w, [f{x\ Gj a?o], wi [f{x)j (?, Xo].

69. Considérons maintenant une fonction f{x) obtenue en jnodifiant d'une manière arbitraire les valeurs d'une fonction de première classe 9 (ar) aux points d'un ensemble dénombrable. Diaprés les remarques que nous avons faites, la fonction &)| relative à f{x) sera en tout point identique à la fonction w, relative à y (a;), car on peut, dans la définition de w, , faire abstraction des points oh les deux fonctions ne sont pas égales, puisque ces points forment un ensemble dénombrable.

de variables réelles. 75

On a donc:

D^ailleurs on Rj pont (f{x):

Comme, par hypothèse, y (x) est de première classe, c'est-à-dire développable en série de fonctions continues, elle est ponctuellement discontinue, ce qu'on peut exprimer en disant que la fonction wo [? (x)] a son minimum nul en tout point; la fonction wi[?(a:)], égale ou inférieure à la précédente, possède a fortiori la même propriété ; on peut donc dire que f{x) est une fonction telle que wi [f{x)] a son minimum nul en tout point.

Le raisonnement est valable, soit quand ûji est relatif au continu, soit' (]uand (ùi est relatif à un ensemble parfait quelconque. Ainsi on peut dire que^ (7 étant un ensemble parfait, la quantité &)i [f{x)j G] a son minimum nul en tout point de G.

70. Je me propose de démontrer la réciproque de ce théorème, c'està-dire que si &>, [f{x)j G] a son minimum nul en tout point de (?, quel que soit l'ensemble parfait (r, la fonction f{x) peut être obtenue en modifiant les valeurs d'une fonction de première classe aux points d'un ensemble dénombrable. .

Je commencerai par démontrer le théorème suivant: Si, en tout point d'un intervalle continu, on a:

wi {x) = 0,

la fonction f{x) peut s'obtenir en partant d'une certaine fonction continue, et en changeant les valeurs de cette fonction aux points d'un ensemble dénombrable.

En ^flfet, on a, d'après l'hypothèse:

w, (x) = Mi (x) — mi (x) = 0.

Nous pouvons donc poser:

Mi (x) = m, (x) = g (x).

La fonction g{x)j étant identique à Mt (x) et à wji(a;), se trouve être à la fois semi-continue supérieurement et inférieurement ; c'est donc une fonction continue.

Soit 9 un nombre positif; je dis que l'ensemble des points où l'on a;

76 Baire: Sur les fonctions

est dénombrable. Si en effet cet ensemble n'était pas dénombrable, il y aurait au moins un point Xo tel que, dans tout intervalle entourant ce point, l'ensemble ne serait pas dénombrable. On peut choisir l'intervalle (Xo — ij x^ — d) assez petit, pour qu'on ait à son intérieur:

et on aura, dans cet intervalle, et dans tout intervalle plus petit entourant Xo, un ensemble non dénombrable de points pour lesquels:

f{x)>g{x) + <j>^g{Xo) — ^ + a, c'est-à-dire:

Aa')>fl'(«.)+|-

Par suite, la quantité Mi{x^ serait au moins égale à g{Xii) +0» ^^ ^^^ ^^

impossible, puisqu'elle est identique à ^(^0). Ainsi l'ensemble des points où l'on a:

f{x)>g{x) + fj, ^

est dénombrable, quel que soit le nombre positif a. Il en résulte que l'ensemble des points où l'on a:

qui est limite du précédent, lorsqu^on donne à cr une suite de valeurs tendant vers 0, est aussi dénombrable. Il en est évidemment de même pour l'ensemble des points où f{x)<Cg{x).

En résumé, les points où l'on a:

forment un ensemble dénombrable, ce qui démontre le théorème.

71. Démontrons maintenant un autre théorème auxiliaire, qui sera analogue, à ceux que nous avons établis aux § 49, 50 et 51.

Etant donnée une fonction f(x)y appelons X le maximum de &)i [f{x)] dans l'intervalle que l'on considère. D'après cela, on a, en chaque point :

I Ml (x) — w, (x) I :^ X.

D'ailleurs on sait que Jlfi est semi-continue supérieurement, Wi semi-continue inférieurement ; si donc nous imaginons la fonction multiforme définie par la

de variables réelles. 77

condition d^avoir en chaque point deux valeurs, celle de Mi et celle de mi, l'oscillation de cette fonction en chaque point (au sens du § 14) sera précisément égale à 0),,

On en déduit, d'après l'extension faite du théorème du § 51 aux fonctions multiformes (§ 52), qu'il est possible de déterminer une fonction continue g{x) telle que, en chaque point, les deux nombres 3f| et mi soient compris entre g (x) et g {x) + X.

D'autre part, en faisant un raisonnement analogue à celui que nous venons de faire dans le § précédent, on voit que l'ensemble des points où l'on a :

est dénombrable, ainsi que celui dés points où :

On en conclut que les points où la condition :

g{x):^f{x):^g{x) + ly

n'est pas remplie, forment un ensemble dénombrable. Ainsi, à part un certain ensemble dénombrable E de points, la fonction f{x) reste comprise entre g {x) et g (x) + X.

Je décomposerai f{x) de la manière suivante : Aux points qui ne font pas partie de Ej je poserai :

? (x) «= jf (x)

Aux points de E je prendrai :

En tout point, on aura:

f{x)-^(f{x) + ^{x), avec ;

O^^ix):^!.

^{x) ne diffère d'une fonction continue qu'aux points d'un ensemble dénombrable; ce sera donc une fonction pour laquelle wj [r{x)] a son minimum nul en tout point.

78 Baire: Sur les fonctions

J'ai supposé, dans ce qui précède, que l'on considérait une fonction définie sur un segment, en y comprenant les extrêmes. L'extension se fera, comme au § 50, si l'on considère seulement les points intérieurs au segment.

Enfin, une autre extension, analogue à celle du § 52, peut se faire, si on remplace le continu par un ensemble parfait quelconque. On peut ainsi résumer tous les résultats que nous venons d'obtenir dans l'énoncé suivant :

Si G est un ensemble 'parfait sur lequel la, fonction f{x) est définie^ les points extrêmes pouvant être exceptés, et si le maximum de w, [f{x)j (?, x] est X, on peut poser:

^ (x) étant compris entre et X, et f {x) ne différant d'une fonction continue sur G qu'aux points d'un ensemble dénombrable.

72. Supposons maintenant qu'une fonction f{x) remplisse la condition suivante: Dans tout ensemble parfait G, la fonction «i[/'(x), G] a son minimum nul en tout point. , Prenons un nombre positif a, et considérons l'ensemble des points où wj [/'(a:)]^<j; il s'agit, bien entendu, de la fonction w, relative au continu. Soit P cet ensemble; P est fermé, et d'après l'hypothèse, est non dense. Soit a /3 un intervalle contigu à P; en chaque point intérieur à cet intervalle, on a:

(ùiixX<j.

On peut donc, dans cet intervalle, poser :

f{x)^<f{xj + ^{:x),

(f{x) ne différant d'une certaine fonction continue g{x) qu'aux points d'un ensemble dénombrable, et ip(x) étant compris entre et a.

Il reste à définir y, ^//, jf, aux points de P. Considérons P--; dans un intervalle contigu à P*^*, P forme un ensemble réductible; aux points de P qui sont intérieurs à cet intervalle, nous posons:

(//(ir)=«0.

Dans cet intervalle, la fonction g est de première classe, puisque ses points de discontinuité forment un ensemble réductible; y ne diffère toujours de g qu'aux points d'un ensemble dénombrable.

; Soit maintenant P, l'ensemble des points de P- où l'on a :

de variables réelles. 19

Diaprés l'hypothèse faite sur f{x)^ P, est non dense par rapport à P^^ et dans tout intervalle contigu à P,, on a:

Nous opérons la décomposition de /" en y + ^p aux points de P^ qui se trouvent dans un tel intervalle; v sera identique à une fonction continue sur cette portion de P^-, que je désignerai par g^ sauf un ensemble dénombrable; de sorte que si nous considérons ^^ et g dans tout l'intervalle continu contigu à Pj (sauf les extrêmes), g est de première classe, et 9 n'en diffère qu'aux points d'un ensemble dénombrable.

On voit en résumé qia'en suivant une marche tout à fait analogue à celle que nous avons suivie au § 53, on arrive à mettre f{x) sous la forme sui» vante :

f{x) = (fo{x) + ^{x),

(fo{x) ne différant d'une fonction de première classe go{^) qu'en un ensemble dénombrable de points, et ^ {x) satisfaisant en tout point à la condition :

Nous appliquerons ensuite la même méthode à ^(a?), en remplaçant a

par *- ' Il faut montrer d'abord que \p {x) satisfait à la condition que nous

avons supposée être remplie par f{x)y c'est-à-dire que w,[t|/(ir). G] a son minimum nul en tout point de G] cela résulte de ce queM|/(a:) est la différence de deux fonctions f{x) et (fo{^) pour chacune desquelles la condition est remplie.

On peut donc poser:

«p («) = ?, (rc) + <p, (»),

avec les conditions suivantes :

De plus, y, ne diffère d'une certaine fonction de première classe gr, qu'aux points d'un ensemble dénombrable. On a également pour ^, :

Q:^gi{x)^(j.

80 Baire: Sur Us fonctions

On répétera la même opération pour ^^ en remplaçant ^ par j > et ainsi de Buite indéfiniment. On arrive ainsi à la formule suivante:

f{x) == yo {x) + ?t (a;) + ît (a?) H V<tn^P^)^

cette série étant uniformément convergente, et chaque fonction ^n{x) ne différant qu'en un ensemble dénombrable En d'une fonction de première classe

gnix).

Posonâ :

9 ix) = g^ (x) + gi {x) + 5r, (a;) H Vgn{x)'\

Nous avons là une série uniformément convergente dont les termes sont tous des fonctions de première classe; donc g{x) est aussi une fonction de première classe. D'autre part, l'ensemble E formé par la réunion de tous les ensembles dénombrables En est encore dénombrable. En tout point qui n'appartient pas à Ey f(x) est identique à g (x). Nous avons donc démontré le résultat annoncé au § 70: la fonction f{x) ne diffère d'une certaine fonction de première classe qu'aux points d'un ensemble dénombrable.

73. Dans l'étude que nous venons de faire, nous avons trouvé une condition suffisante pour qu'une fonction soit de deuxième classe: c'est que (Ui [f(x)j G] ait son minimum nul en tout point de G^ quel que soit G supposé parfait. Il est bien facile de montrer que cette condition n'est pas nécessaire. Je prendrai l'exemple suivant :

Dans l'intervalle (0, 1), prenons un ensemble parfait non dense -B, ; pour fixer les idées, ce sera l'ensemble type du § 37, défini par la formule :

le nombre des fractions étant fini ou infini, et chaque nombre c pouvant prendre la valeur ou la valeur 2.

Je formerai ensuite un ensemble Et de la manière suivante: dans chaque intervalle contigu à jE7i, je formerai l'ensemble qui, par rapport à cet intervalle, a la même situation que Et par rapport à l'intervalle (0, 1); l'opération étant supposée effectuée dans tous les intervalles contigus à -B,, je désigne l'ensemble total par Ef.

Je déduirai Es de Et par le même procédé, c'est-à-dire que dans tout intervalle contigu à -E,, j'introduis un ensemble jouant le même rôle par rapport à cet intervalle que Et par rapport à (0, 1).

de variables réelles. 81

Je définis ainsi T?,, jE«,,.. En,.*. Chacun de ces ensembles contient les précédents, et est non dense par rapport au continu; mais si nous désignons par E l'ensemble limite de En^ il est facile de voir que E est dense dans toute portion du continu; il suffit de s'assurer, par exemple, qu'en désignant par an le maximum de la longueur des segments contigus k E^ «n tend vers quand n croît indéfiniment. L'ensemble E est ce que j'ai appelé au § 59 un ensemble de première catégorie.

Considérons alors la fonction f{x) qui a la valeur 1 pour les points de E^ la valeur aux autres points; je dis que f(x) est de deuxième classe. Pour cela, je prends f» (x), définie par la condition d'être égale à 1 aux points de ^„, à aux autres points. Il est bien évident que fn{x) a pour limite f(x)) d'ailleurs fn{^) est une fonction de première classe, car elle n'a de discontinuités que sur l'ensemble parfait Enj et elle est continue sur cet ensemble; donc f{x) est de la deuxième classe.

D'autre part, si nous appliquons à cet exemple les définitions que nous avons données des nombres M,, m,, w, (relatifs au continu), nous reconnaissons qu'on a, en tout point :

Jlf , = 1 , m, =0, Wj = l,

ce qui montre que la condition du numéro précédent n'est pas remplie par cette fonction.

74. Je vais maintenant indiquer des conditions nécessaires auxquelles satisfont les fonctions de deuxième classe; il me faudra pour cela poser de nouvelles définitions.

Je rappelle qu'au § 59 j'ai appelé ensemble de première catégorie tout ensemble formé par la réunion d'une infinité dénombrable d'ensembles non denses. Considérons maintenant une fonction f{T) définie dans l'intervalle a j8. Il existe un nombre 3f, (a /3) qui est la limite inférieure des nombres 1 tels que les points où f{x)^X forment un ensemble de première catégorie, et ce nombre est en même temps la limite supérieure des nombres X tels que les points oii f{x) > X forment un ensernble de deuxième catégorie.

De même, il existe un nombre m, (a/3) tel que, suivant qu'on a X>m, ou X<;w,, les points où f{x)<il forment un ensemble de deuxième ou de première catégorie.

Comme pour la définition de M^ (a S) et de w, (a jS), il est indifférent de mettre f{x)^X ou f{x)<i'k.

82 Baire: Sur les fondions

On a d'ailleurs :

Mo (a jS) ^ M, (a /3) ^ M, (a /3) ^ m^ (a /3) ^ m, (a i3) ^ mo {<x /3).

Je me contente de démontrer l'inégalité :

Mt (a 3) ^ m, (a S).

Elle résulte de ce que, si on a: l'^Mjy l'ensemble des points où f{x)^l étant de première catégorie, l'ensemble complémentaire, en chaque point duquel on a : f{x) <C X, se trouve être de deuxième catégorie ; on a donc aussi X ^ m, .

Si on considère un point cco, nous appellerons Mt{x^ et mi(x^ les limites vers lesquelles tendent respectivement Mt (a /3) et Wj (a jS) si on prend pour a /3 l'intervalle (r^ — (î, x^-^- '^) et si Ton fait tendre '^ vers 0.

Posons enfin :

• ' 0), (a /3) = 3f, (a /3) ~ m^ (a jS)

w, [Xo) == AT, (a:o) — w, (To).

Nous pourrons dire que les nombres ilfe, m,, wj, considérés, soit dans un intervalle a 5, soit en un point Xo, représentent le maximum, le minimum, l'oscillation de f{x) quand on néglige les ensembles de 'première catégorie; il est évident que si E est un ensemble de première catégorie, on peut, pour définir ces nombres, faire complètement abstraction des valeurs de la fonction aux points de jF.

Enfin on prouvera aisément, comme au § 68, que Mi{x) et (ùi{x) sont semi-continues supérieurement, m^ {x) semi-continue inférieurement.

75. Supposons à présent qu'on ait une suite de fonctions de première classe :

ayant une fonction limite y {x\ Je vais définir une fonction f{x^ y) de la manière suivante : je prends d'abord une suite décroissante de quantités positives et tendant vers 0: yi, î/«,.-- î/nj--- et je pose:

Sur chaque parallèle k y^ x = Xoj la fonction se trouve définie en des points qui ont pour limite le point y = 0; pour la définir aux autres points, entre (^0) yn) «t {Xqj t^n+i) par exemple, je conviens de raccorder linéairement les

de variables réelles. 83

valeurs en ces deux points, c'est-à-dire que je pose :

yn — yn+i yn — yn+i

C'est le procédé que j'ai déjà employé au § 20; on reconnaît que la fonction ainsi définie est, en tout point de x = Xoj continue par rapport à y.

Si maintenant on considère une droite parallèle à a;, et d'ordonnée positive, la fonction, considérée sur cette droite comme fonction de Xy est de première classe; cela a lieu, d'après les hypothèses, sur les droites y = ynt et aussi sur les autres droites parallèles k Ox (sauf y = 0), où f{x^ y) est, d'après la formule (1), une combinaison linéaire de fonctions de première classe.

Rappelons un résultat obtenu au chapitre II : si on considère la suite de fonctions :

l'ensemble P des points en chacun desquels une au moins des fonctions est discontinue, est un ensemble de première catégorie; en chaque point de l'ensemble complémentaire E — P {E représentant le continu), toutes les fonctions sont continues par rapport à x. Soit A (Xq) un point quelconque de cet ensemble E — P; je dis que, quel que soit y, pourvu qu'il soit positif, /"(a^o, y) est continue au point (a;©, y) par rapport à x. Cela a lieu, d'après l'hypothèse, quand y fait partie de la suite: y^, y^,... ynr"i P^^ suite, cela a lieu aux autres points de la droite x=^Xoj en vertu de la formule (1).

Mon but est donc d'étudier la fonction: y {x) = f{Xj 0), sachant que /"(rr, y) est en tout point continue par rapport à y, que, pour yo>0, f{Xj y^ est de première classe par rapport à Xy et que, pour toute valeur x^ qui n'appartient pas à un certain ensemble de première catégorie P, /"(a:, y) est continue par rapport à a; au point (a:^, y) si y est positif.

76. Prenons sur Oa; un point quelconque ^o(^o), et considérons la droite a; = a:o. La fonction est continue sur cette droite; si donc on se donne un nombre positif cj, il existe un segment A^B^ (fig. 13) de longueur «^ qui possède la double propriété ' suivante : dans ^oBo, l'oscillation de la fonction est a; dans un segment ^^ B, de longueur supérieure à a^, l'oscillation est supérieure à (7. La quantité «<, est ainsi une fonction parfaitement déterminée de a:, qui a en chaque point une valeur 'positive.

Je vais démontrer que si Ao{Xo) est un point de E — Pj ac{x) est, en ce point, semi-cmitinue supérieurement par rapport à a;; la démonstration est tout à fait analogue à celle du § 23.

Baire: Sur les fonctions

Je prends:

AoBi = a9{Xo) + e.

Dans le segment AoBi^ roscillation est un nombre supérieur à a; soit a + ^- Si je prends ki < k^ je peux trouver, entre A et Bi^ deux points P et Q tels que :

Comme, en chacun des deux points P et Ç, il y a continuité par rapport à Xj on peut déterminer deux segments P' P" et Q' Q'y parallèles à.Ox,

B' Bi

A Ao Fig. 13.

ayant pour milieux P et Ç, de même longueur 2 cJ, tels que, si Pi et Ç, sont deux points quelconques pris respectivement sur ces segments, on a :

\nQ>)-nQ)\<

kl

ki

Des trois inégalités écrites on déduit :

IAP.)-A<?.)I>^,

P, et Qi étant deux points quelconques pris, le premier sur P' P'\ le second sur Q' Q".

Si alors on prend un point A (x) d'abscisse comprise entre Xo — i et Xo 4- ây et si on considère le segment A B' correspondant à i4 et de longueur «ff(^o) + Ê, on voit que dans ce segment Toscillation est >(?, puisqu'il ren-

de variables réelles. 85

ferme un couple de points P» et Ç, . Donc, toutes les fois que : on a :

ce qui exprime la propriété que je voulais établir.

Considérons maintenant la fonction nit relative à a^, c'est-à-dire le minimum de «ff lorsqti^on néglige les ensembles de première catégorie. Je dis que mî(aa) ne peut pas être nul pour tous les points d'un intervalle continu A B. Supposons pour un instant que cela ait lieu, c'est-à-dire que, dans toute portion de l'intervalle, et si petit que soit e, les points où ol^<C^ forment un ensemble de deuxième catégorie ; cet ensemble . a certainement des points communs avec E — P (§ 59); donc, dans toute portion de E — P^ et si petit que soit e, ou peut trouver un point de E — P où l'on a: a<y<e; et comme, en tout point de E — P, «a est semi-continue supérieurement, il y a, autour de ce point, un intervalle où l'on a partout :

«ff < 2 e.

Ainsi, dans toute portion de A B, et si petit que soit €, il y a un intervalle en tout point duquel on a:

atf <! 2 e.

On en déduit Texistence d'un point où a^ = 0, ce qui montre que l'hypothèse est inadmissible.

En résumé, ;«« («<,) ne pouvant être nul pour tous les points d'un intervalle continu, les points où m^ (a,) est nul forment un ensemble non dense. Autrement dit, dans tout intervalle il existe un autre intervalle (il B) tel que

l'on a:

ma [«ç, -4 fi] >0.

On peut aussi conclure de là qu'il existe dans tout intervalle un point x où nit [«<,, x] est positif, quel que soit a.

Soit ^ P un intervalle tel que m^ [a<,, A P] soit positif; prenons un nombre positif y inférieur à ce nombre. Les points de ^4 P où l'on a :

forment un ensemble de première catégorie Q. Traçons (fig. 14) le rectangle A B A' B qui a pour base A B et dont la hauteur est y. Si M est un point

Baire: Sur les fonctions

de A B n'appartenant pas à Q^ on a en ce point:

Par suite, dans le segment M M' parallèle à ^ et qui joint les deux bases du rectangle .4 B B' A\ Toscillation est ^ a.

Soit R 1-ensemble formé par la réunion de P et de Ç, P désignant toujours, comme plus haut, l'ensemble des points Xo tels que, sur les points de x==Xqj il y a continuité par rapport à x. L'ensemble E — B possède à la fois les propriétés de E — P et de E — Q] c'est-à-dire que si M appartient à E — By l'oscillation sur MM' est r^a, et en tout point de MM' distinct de M, il y a continuité par rapport à x.

M^ MMa B

Fig. 14.

Je dis que, si M (Xt,) est un point de A B appartenant à JE? — B, l'oscillation de la fonction en ce point par rapport aux points de E — R est :^ 2 a. En effet, donnons-nous un nombre positif g; prenons sur MM' un point quelconque P{Xoj î/o); "ous pouvons déterminer un nombre /3 assez petit pour que, sur le segment P' P" {Xo — (3 ^x^Xo-\- (i^ y=^y^^ l'oscillation soit < e. Si Mi et M^ sont deux points de A B appartenant k E — JB et pris dans l'intervalle x^ — ^i^x^x + ^^ et si P, et P« sont les projections de ces points sur P' P", on a:

\fiM,)-f{P,)\^a,

\fiP,)-f{P^)\<e, d'où Ton déduit:

ce qui démontre qu'au point Af, quand on ne considère que les points de E — Bj l'oscillation est :^ 2 (7.

D'ailleurs B est un ensemble de première catégorie ; si donc on considère tous les points du continu E^ et si en chaque point on définit w, [y(^)], cette quantité sera t^ 2 a.

4e variables réelles. 87

Ainsi, dans toute portion de l'intervalle considéré, et si petit que soit (y, il y a un intervalle en chaque point duquel on a : «2^2 <7. Il en résulte que, dans toute portion de l'intervalle, il existe des points où Ton a: w, = 0. Autrement dit, si une fonction y (x) est de deuxième classe, la fonction «* [y (x)] a son minimum nul en tout point.

77. On peut refaire une théorie analogue à celle que je viens d'exposer en partant d'un ensemble parfait quelconque (r, qui jouera le rôle du continu dans les considérations qui précèdent. Nous définirons, dans tout intervalle a /S contenant des points de (7, et en chaque point de G, les nombres:

Mt[(f(x)^ (?, ajS], Mt[(f{x)^ (?, xo]^ etc.... .

Par exemple, M^ [y (x), Gy a 0] sera la limite supérieure des nombres X tels que les points de G situés dans l'intervalle a/3 où l'on a: /'(a;)>X, forment un ensemble de deuxième catégorie par rapport à G.

Les raisonnements du numéro précédent s'appliquent quand on remplace le continu par un ensemble parfait G] on en déduit l'énoncé suivant:

Si une fonction est de deuxième classe, et si on considère un ensemble parfait quelconque (î, la fonction oc, [<f (a;), G] a son minimum nul en tout point de G.

Nous avons ainsi obtenu des conditions nécessaires; mais il semble difficile d'obtenir des conditions suffisantes. Je bornerai donc ici l'étude des fonctions de deuxième classe.