R = (AR

R' est la partie de R qui suit l'élément initial f et se réduit à zéro, dans le cas où R n'a pas d'autre élément que f. Si nous prenons, par exemple, l'ensemble bien ordonné

P = («i>«i» -M «V, ..., fti,b„ ..., bpi, ..., ^ij^rO

l'élément a, détermine le segment

. («i.«t) et le reste

l'élément h^ détermine le segment

(flt,aj,...,a,...) et le reste

enfin l'élément c, détermine le segment

(«15 ..., a„ ..., av, ..., 6j, 6„ ..., 6fA, ..., Cj) et le reste

Si A et A' sont deux segments de F déterminés respectivement par les deux éléments /"et/', tels que

A' est un segment de A

Nous nommerons alors A' le plus petit et A le plus grand segment de F

Dans le même sens nous pouvons dire aussi de A qu'il est plus petit que F.

A. Si deux ensembles bien ordonnes semblables F et G, sont appliqués Vun sur Vautre, à chaque segment A de F correspond un segment semblable B de G, et à chaque seg • ment B de G un segment semblable A de F, et les éléments f et g, qui déterminent les segments k etB ainsi appliqués, se correspondent toujours Vun à Vautre dans Vapplication.

Démonstration. — Supposons que Ton ait appliqué Tun sur Tautre deux ensembles simplement ordonnés semblables M et N; soient m et n deux éléments correspondants, M' l'ensemble de tous les éléments de M qui sont -< m, N' l'ensemble de tous les éléments de N qui sont ^ n ; dans ces conditions, l'application fait correspondre M' et N'. Car, à chaque élément m' de M, qui est -< m, doit correspondre (§ 7) un élément n' de N qui est -^ n, et réciproquement.

Si l'on applique ce théorème général aux ensembles bien ordonnés F et G, on obtient la proposition à démontrer.

B. Un ensemble bien ordonné F n'est semblable à aucun de ses segments A.

Supposons que F (^^ A, et considérons une application de F sur A. D'après le théorème A, le segment A de F aura pour image un segment A' de A, tel que A' ^ A. On aurait donc ainsi A' C^ F et A' < A. Par le même procédé on déduirait de A' un segment plus petit A' C!^ F et A' < A' et ainsi de suite.

Nous obtiendrions ainsi une série nécessairement infinie

de segments de F devenant de plus en plus petits, mais toujours semblables à l'ensemble F.

En désignant par /", f , f , ..., /'^'^.., les éléments qui déterminent ces segments, nous aurions

et par suite la série infinie

formerait une partie de F où aucun élément n'aurait le rang le plus bas.

Mais, d'après le théorème A, § 12, de telles parties de F ne peuvent exister. L'hypothèse d'une application de F sur l'un de ses segments conduit donc à une contradiction, et par suite l'ensemble F n'est semblable à aucun de ses segments.

Mais si, d'après le théorème B, un ensemble bien ordonné n'est semblable à aucun de ses segments, il y a toujours, si F est infini, d'autres parties de F qui lui soot semblables. Par exemple, l'ensemble

(«!,«„..., av,...)

est semblable à l'un quelconque d^ ses restes.

Il est d'ailleurs remarquable que nous puissions adjoindre à la proposition B la suivante :

C. Un ensemble bien ordonné F n'est semblable à aucune partie de Vun quelconque de ses segments A.

Démonstration. — Supposons que F' soit une partie d'un segment A de F, et que F' C^ F. Considérons une application de F sur F'; d'après le théorème A, le segment A de F aura pour image un segment F' de l'ensemble bien ordonné F '; ce segment serait déterminé par l'élément f de F'. Mais f est aussi élément de A et détermine un segment A' de A, dont F' est une partie.

L'hypothèse de l'existence d'une partie F'' d'un segment A de F, telle que F'C^ F, nous permet donc de construire une partie F' d'un segment A' de A, telle que F'î^ A.

Ce procédé de déduction nous donne ensuite une partie F" d'un segment A' de A', telle que F'CS^ A'. Nous obtenons ainsi, en poursuivant, comme dans la démonstration du théorème B, une série nécessairement infinie de segments de F devenant de pljis en plus petits

Dans la suite infinie des éléments qui déterminent ces segments

aucun élément n'aurait le rang le plus bas, ce qui est impossible d'après le théorème A, § 12. Il n'y a donc aucune partie F' d'un segment A de F, telle que F'C^^ F.

D. Deux segments différents A et A' d'un ensemble bien ordonné F ne sont jamais semblables.

Démonstration. — Si A' < A, A' est un segment de l'ensemble l)ien ordonné A, et par suite ne peut lui être semblable (théorème B).

E. Deux ensembles bien ordonnés semblables ¥ et G ne sont applicables Vun sur Vautre que d'une seule manière.

Démonstration. — Supposons qu'il y ait deux applications différentes de F sur G, et soit f un élément de F, à qui correspondraient, parles deux applications, des images g et g' différentes dans G. Soient A le segment de F déterminé par f, B et B' les segments de G déterminés par g et g\ Le théorème A

prouve que

A~B et A~B';

donc on auriait aussi BCîb^B', ce qui est contraire au théorème D. ,

F. Si ¥ et G sont deux ensembles bien ordonnés, un segment- A. de F ne peut avoir plus d'un segment B à lui semblable dans G.

Démonstration. — S'il y avait dans G deux segments B et B' semblables au segment A de F, les segments B et B' seraient aussi semblables, ce qui est contraire au théorème D.

G. Si XetB sont deux segments semblables de deux ensembles bien ordonnés F et G, tout segment A' de F plus petit que A (A' < A) est semblable à un segment B' de G plus petit que B (B' < B), et inversement.

La démonstration résulte du, théorème A appliqué aux deux ensembles semblables A et 6.

H. Si A et A' sont deux segments d'un ensemble bien ordonné F, et B et B' les segments à eux semblables d^un ensemble bien ordonné G, la condition A' < A entraîne B'<B.

La démonstration résulte des théorèmes F et G.

L Si un segment B d'un ensemble bien ordonné G n'est semblable à aucun segment d'un ensemble bien ordonné F, il en est de même pour tout segment B' > B de G et pour G lui-même.

La démonstration résulte du théorème G.

K. Si chaque segment A d'un ensemble bien ordonné F est semblable à un segment déterminé B de Vensemble bien ordonné G, et si chaque segment B de G est semblable à un segment A de F, les deux ensembles F et G sont semblables (F~ G).

Démonstration. — Nous pouvons appliquer F et G l'un sur l'autre d'après la loi suivante :

L'élément initial /, de F correspondra à l'élément initial gfj de G. Un autre élément fyfi détermine un segment A de F, auquel correspond par hypothèse un segment semblable unique B de G; l'élément gf de G qui détermine le segment B sera l'image de f. De même un élément ^>-gfj détermine dans G un segment B, auquel correspond par hypothèse un segment semblable unique A de F; l'élément /de F, qui détermine le segment A sera l'image de g.

Il est facile de voir que la correspondance biuniforme de F et G, définie de cette manière, est une application au sens du §7.

Si f et f sont deux éléments arbitraires de F, g et g' les éléments qui leur correspondent dans G, A, A', B et B' les segments déterminés respectivement par f, f, g, g', la condition

f^f ou A'<A

entraîne^ d'après le théorème H,

B'<B et par suite

L. Si chaque segment A d'un ensemble bien ordonné F est semblable à un segment déterminé B d'un ensemble bien ordonné G, et si, au contraire, il y a au moins un segment de G qui ne boit semblable à aucun segment de F, il existe un segment déterminé B^ de G, tel que B4 ÎZ^ F.

Démonstration. — Considérons l'ensemble de tous les segments de G qui ne sont semblables à aucun segment de F ; parmi eux il doit y en avoir un plus petit que tous les autres que nous nommons B,. Ceci résulte de ce que, d'après le théorème A, § 12, Tensemble des éléments qui déterminent tous ces segments, possède un élément de rang le plus bas; le segment B^ de G qu'il détermine, est plus petit que tous les autres. D'après le théorème I, chaque segment de G qui est > B4, n'admet dans F aucun segment semblable; par suite, tous les segments B de G, qui ont dans F des segments semblables, sont tous plus petits que B| et même à tout segment B < Bi correspond un segment semblable A de F, puisque Bi est le plus petit segment de G qui n'est semblable à aucun segment de F.

Ainsi tout segment A de F est semblable à un segment B de Bp et tout segment B de B» à un segment A de F ; d'après le théorème K, on a donc

FC^B,.

M. Si Vun au moins des segments de V ensemble bien ordonné G, n'est semblable à aucun segment de Vensemble bien ordonné F, tout segment X de¥ est semblable à un segment B de G.

Démonstration, — Soit B^ la plus petit segment de G auquel ne correspond aucun segment semblable dans F. (Voir la

démonstration de L.) S'il y avait dans F des segments n'admettant dans G aucun segment semblable, Tun d'eux serait plus petit que tous les autres^ nous le nommons A|. A chaire segment de Al correspondrait alors un segment semblable de B^ et à chaque segment de fij un segment semblable de A^. Donc, d'après le théorème K,

Bi~A,.

Mais ceci est contraire à l'hypothèse qu'aucun segment de F n'est semblable à Bi. Il ne peut donc y avoir dans F aucun segment qui ne corresponde à un segment semblable de 6.

N. Si ¥ et G sont deux ensembles bien ordonnés, il peut se présenter trois cas : i^¥ et G sont semblables; 2^ un seg-, ment déterminé B^ de G est semblable à F; 3^ un segment, déterminé A^ de F est semblable à G. Chacun de ces cas exclut les deux autres.

Démonstration. — F peut se comporter de trois façona difTérentes relativement à G:

4° Tout segment A de F est semblable à un segment B de G et inversement ;

2® Tout segment A de F est semblable à un segment B de G; par contre, un segment- de G au moins, n'est semblable à aucun* segment de F ;

3° Tout segment B de G est semblable à un segment A de F; par contre, un segment de F au moins, n'est semblable à aucun segment de G.

Le cas où un segment de F n'est semblable à aucun segment de G, et aussi un segment de G n'est semblable à aucun segment de F, est exclu par le théorème M.

Dans le premier cas, le théorème K montre que

FCVG.

Dans le deuxième cas, le théorème L affirme qu'il y a un. segment B^ de G tel que

et dans le troisième cas, qu'il y a un segment A^ de F tel que

Mais on ne peut avoir en même temps FCÎbr' 6 et FC5^ B^, car il en résulterait G^ B,, ce qui est contraire au théorème B; de même, on ne peut avoir à la fois FC^' G et GCbi A^.

De môme aussi, l'existence simultanée de F C^ B^ et GC^ A^ est impossible; car, d'après le théorème A, la condition FCSr B^ entraîne l'existence d'un segment B, de B^ tel que A^ ^ B\. Nous aurions donc aussi GC^' B'^, ce qui est contraire au théorème B.

0. Si une partie F' dhm ensemble bien ordonné F n'est semblable à aucun segment de F, elle est semblable à F lui-même.

Démonstration. — D'après le théorème G, § 12, F' est un ensemble bien ordonné. Si F' n'était semblable ni à F, ni à une partie de F, il y aurait, d'après le théorème N, un segment Fj de F* qui serait semblable à F. Mais Fi est une partie de ce segment A de F qui est déterminé par l'élément qui détermine le segment F^ de F. Par suite, l'ensemble F devrait être semblable à une partie d'un de ses segments, ce qui est contraire au théorème G.

§ 14. — Les nombres ordinaux des ensembles bien ordonnés.

D'après le § 7, chaque ensemble simplement ordonné M a un type ordinal déterminé M; c'est le concept général qui résulte de M lorsque, en tenant compte de l'ordre de succession des éléments, on fait abstraction de leur nature, de sorte qu'ils deviennent de simples unités ayant des positions relatives déterminées. Tous les ensembles semblables entre eux, et seulement ceux-ci, possèdent le même type ordinal.

Le type ordinal d'un ensemble bien ordonné F sera nommé un nombre ordinal (Ordnungszahl).

Si a et ^ sont deux nombres ordinaux arbitraires^ ils peuvent se comporter, l'un par rapport à l'autre, de trois façons difTérentes. Soient, en effet, deux ensembles bien ordonnés F et G, tels que

d'après le théorème N, § 13, trois cas, s'excluant l'un Tautre, peuvent se présenter :

10 FfVJG.

2<* Il y a un segment déterminé B^ de G, tel que 3^ Il y a un segment déterminé A| de F, tel que

Comme on le voit facilement, ces relations sont encore conservées lorsque F et G sont remplacés par des ensembles respectivement semblables F' et G'; il en résulte que les types a et p ont, l'un relativement à l'autre, trois positions qui s'excluent mutuellement.

Dans le premier cas, a = ^ ; dans le deuxième, nous dirons que ixest <^; dans le troisième que (xest > ^.

Nous obtenons ainsi le théorème :

A. Si OL et ^ sont deux nombres ordinaux quelconques, Von a: ouoL^=i^yOU OL < ^, ou a,> p.

De la définition de ces relations de grandeur, il résulte facilement :

B. Si Von a trois nombres ordinaux, a, p, ^, tels que a < P, P < Y, on a aussi a < y.

Les nombres ordinaux forment ainsi, rangés par ordre de grandeur, un ensemble simplement ordonné; nous montrerons plus tard que c'est un ensemble bien ordonné.

Les opérations de l'addition et de la multiplication des types ordinaux des ensembles simplement ordonnési que nous avons

définis au § 8, sont évidemment applicables aux nombres ordinaux.

Si a = F et ^ = G^ où F et 6 sont deux ensembles bien ordonnés^ on a :

L'ensemble-somme (F^ 6) est évidemment un ensemble bien ordonné ; nous avons ainsi le théorème :

G. La somme de deux nombres ordinaux est toujours un nombre ordinal.

Dans la somme a -H- p, a s'appelle Vaugendus et p Vaddendus.

Puisque F est un segment de (F, 6), on a toujours :

Par contre, G n'est pas un segment, mais un reste de (F, G); il peut donc, comme nous l'avons vu au § 13, êlce semblable à l'ensemble (F, G); si cela n'est pas, G est semblable à un, segment de (F, G), d'après le théorème 0, § 13. Donc

Nous avons ainsi :

D. La somme de deux nombres ordinaux est toujours supérieure à Vaugendus et supérieure ou égale à Vaddendus. L'égalité a + ^ = a + y entraîne toujours P = y-

En général, a + P et p + a ne sont pas égaux. Au contraire, si Y est un troisième nombre ordinal, on a :

c'est-à-dire :

E. La loi associative gouverne V addition des nombres ordinaux.

Si dans l'ensemble G de type p, on remplace chaque élément g par un ensemble F^ de type a, on obtient un ensemble

— 59 ~ bien ordonné H (th. E, § 12) dont le type est complètement déterminé par les types a et ^ et est appelé le produit a. p.

F. Le produit de deux nombres ordinaux est toujours un nombre ordinal.

Dans le produit a.^, a s'appelle le multiplicande, ^ le multiplicateur.

En général, a.^ et ^,ane sont pas égaux. Mais on a (§ 8) :

c'est-à-dire :

G. La loi associative gouverne la multiplication des nombres ordinaux.

La loi distributive n'est applicable, en général, que sous la forme suivante :

(8) a.(p + Y) = a^ H- av.

Quant à la-grandeur du produit, on voit facilement que : H, Si le multiplicateur est plus grand que i, le produit de deux nombres ordinaux est toujours supérieur au multiplicande et supérieur ou égal au multiplicateur. L'égalité a^ = ay entraine toujours P = y- D'ailleurs, on a évidemment :

Parlons maintenant de l'opération de la soustraction. Si a et P sont deux nombres ordinaux tels que a < p, il existe toujours un nombre ordinal déterminé, que nous nommons p — a et qui vérifie l'équation

(iO) a-f.(P-a) = p.

■ Car si G = p, il y a dans G un segment B tel que B = a; en nommant S le reste correspondant^ nous avons :

P = a + S, et ainsi

La détermination de ^ — a résulte de ce que le segment B de G, et par suite le reste S, sont parfaitement déterminés (th.D,§13).

Nous déduisons encore des formules (4), (8), (10) les suivantes :

(13) ^(p-a)=YP-ïa.

II est à remarquer que Ton peut toujours faire la somme d'un nombre infini de nombres ordinaux; cette somme est un nombre ordinal déterminé, dépendant de Tordre de succession des ensembles sommés.

Soit par exemple

Pli H»J •••» H^ï •••

une suite simplement infinie quelconque de nombres ordinaux :

(14) ^ = Gv

l'ensemble

est un ensemble bien ordonné (th. E, §12) dont le nombre ordinal ^ représente la somme des 3v. Nous avons ainsi :

(16) p,+ p, + .,. + Pv+... = G = 1Î,

et Ton a toujours, comme il résulte facilement de la définition du produit :

En posant

(18) av=P,+ &, + ...+ 3v,

il vient

(19) a. = (G.,G„...,Gv).

De plus

(20) Ov + 1 > Ov

et les nombres ^ s'expriment d'après (10), à l'aide des nombres a comme il suit :

(21) p^=a4 pv+i = av + i — OTv.

La série

est une série infinie quelconque de nombres ordinaux qui remplissent la condition (20); nous l'appellerons une série fondamentale de nombres ordinaux; la relation qui l'unit à ^ peut s'exprimer de la manière suivante :

l^P est > 0., pour toutes valeurs de v, car l'ensemble (G^, G„ ..., Gv), dont le nombre ordinal est «v, est un segment de l'ensemble G qui a le nombre ordinal p.

2® Si P' est un nombre ordinal quelconque < g, on a toujours, à partir d'une certaine valeur de v,

Ov > P'

car si P' est < p, il y a dans l'ensemble G un segment B' de type P'. L'élément qui détermine ce segment doit appartenir à l'une des parties Gv, soit Gv^. Mais alors B' est aussi segment de (Gi, G„ ..., G,o) et par suite

Donc Ov > P' pour v ^ Vj.

Ainsi p est le nombre immédiatement supérieur à tous lésa,; nous le nommerons la limite de ocv pour v croissant indéfiniment et le désignerons par lim. Ov, de sorte que, d'après (16) et (21):

(22) ïim. «v = «4 -♦- (a, — ai) + (a, — a,) + ... 4- (ov + 1 — av)4^ ...

Nous pouvons rassembler tout ce qui précède dans renoncé suivant :

I. A chaque série fondamentale \x,\ de nombres ordinaux correspond un nombre ordinal lim, a^, qui est immédiatement supérieur à tous les a,; il est représenté par la' formule (22).

Si Y désigne un nombre ordinal fixe, on démontre facilement, avec l'aide des formules (12), (13) et (17), les théorèmes contenus dans les formules suivantes :

(23) lim. (y + ov) = Y -h lima^;

(21) lim.Yai = Y-Un^-*^-

Nous avons déjà mentionné au § 7 que tous les ensembles simplement ordonnés de nombre cardinal fini v ont le même type d'ordre v. La démonstration est la suivante. Tout ensemble simplement ordonné de nombre cardinal fini est un ensemble bien ordonné; car il doit, ainsi que toutes ses parties, avoir un élément initial, ce qui (th. B, § 12) caractérise un ensemble bien ordonné.

Les types des ensembles simplement ordonnés finis ne sont donc pas autre chose que les nombres ordinaux finis. Un même nombre cardinal v ne peut correspondre à deux nombres ordinaux différents a et p. Si, en effet, a est < p et G = p, il existe, comme nous le savons, un segment B de G tel que B=^a.

L'ensemble^G et sa partie B auraient donc le même nombre cardinal, ce qui est impossible (th. C, § 6).

Les nombres ordinaux finis coïncident donc dans leurs propriétés avec les nombres cardinaux finis. II en est tout ^autrement pour les nombres ordinaux transfinis; à un même nombre cardinal a correspond un nombre infini de nombres ordinaux formant un système que nous nommons la classe numérique Z(a). C'est une partie de la classe de types [a] (§ 7). .La classe numérique Z {h^, que nous nommerons la

deuxième classe numénque^ sera Tobjet immédiat de notre étude.

La première classe numérique est formée par Tensemble {vj de tous les nombres ordinaux finis.

§ 15. — Les nombres de la deuxième classe numérique

Z(Ko).

La deuxième classe numérique Z(Kp) est V ensemble |a| de tous les . types ordinaux des ensembles bien ordonnés de nombre cardinal Ko-

A. £a deuooième classe numérique a un nombre plus petit que tous les autres cû = lim. v.

Démonstration, — cû est le type de l'ensemble bien ordonné

(1) Fo=(/„/;,...,/;,...)

où V parcourt tous les nombres ordinaux finis^ et (2) A-<Ah.i.

On a ainsi (§ 7)

et (§6)

(4) îï=Ko- '

iù est donc un nombre de la deuxième classe et c'est précisément le plus petit. Car si y est un nombre ordinal quelconque < cû, il doit être le type d'un segment de F, (§ 14). Mais les segments de F,

ont un nombre ordinal fini v. Donc y = v.

Il n'y a donc aucun nombre ordinal transfini qui soit plus petit que o; (o est ainsi le plus petit nombre ordinal transfini.

D'après les explications données au § ii, on a évidemment iù = lira. V.

B. Si a est un nombre de la deuxième classe, le nombre immédiatement supérieur de la même classe est a + i.

Démonstration. — Soit F un ensemble bien ordonné de type a et de nombre cardinal i<^.

(6) a = Ko.

• En désignant par g un nouvel élément, nous avons

(7) a4-l = (F,iy).

Comme F est un segment de (P,g), nous avons

De plus

a + 1 = a + 1 = Ko + 1 = Ko (§6).

Le nombre a + 4 appartient donc à la deuxième classé. Mais entre « et a + 1 il n'y a aucun nombre ordinal; car tout nombre y qui est < a + 1, est le type d'un segment de (F,^) qui ne peut être que F ou un segment de F; y est donc < a.

- C. Si ttj, a„ ..., av, ..., est une série fondamentale de nombres de la première ou de la deuxième classe, le nombre immédiatement supérieur lira, «v (§ 14) appartient à la deuooième classe.

Démonstration, — D'après le § 14, le nombre lim. a., se déduit de la série fondamentale {a^ de la façon suivante : on forme la série ^i, %, ..., Pv, ..., telle que

et l'on considère les ensembles bien ordonnés G^, G„ ..., G„ tels que ^

Gv = pv ■ •

et enfin l'ensemble

6 '-= (64,6,,..., Gv, ...)

qui est aussi bien ordonné. Alors

lim.av= G.

Il s'agit de démontrer que

G = Ko.

Mais comme les nombres p^, p., ..., pv, ..., appartiennent à la première ou à la deuxième classe, on a

donc

G<Ko.Ko = K,

et puisque G est toujours un ensemble transfini, le cas G < >«o 6st exclu.

Deux sortes fondamentales {ovj et {a'vj de nombre de la première et de la deuxième classe numérique sont dites liées c^^i\jxx,t

(§ 10) (zusammengehôrig) et nous écrivons