H II M
lorsqu'à chaque nombre fini v, on peut faire correspondre deux
nombres X,, Uj, tels que
(10) ax>« si X>Xo,
(U) «1* > av si jx ^ [i.^.
D. Les nombres lim. a, et lim. ai, correspondant à deux séries fondamentales [a^] et |a!|, sont alors et seulement alors égaux, lorsque \a,\ \] \(i\\.
Démonstration, — Posons pour abréger lim. a, = p, lim.
Supposons d'abord [a,] || \ai\ ; nous affirmons que p = y. Si en effet p n'était pas égal à y, on aurait par exemple p < y. A
partir d*un certain nombre v, d serait donc plus grand que p (§ M) et par suite, à partir d'un certain nombre }jl, «j* serait plus grand que ^ (H). Mais ceci est impossible, puisque g = lim. av et que Ton a, pour toutes les valeurs de a, a^< p. Réciproquement, si Ton suppose que p = y, «v est constamment plus petit que y et, par suite, à partir d'un certain nombre X, «x > Ov; de même, puisque o^ < p, à partir d'un certain nombre \Ly a^». sera plus grand que al; donc \a,\ || |av(.
E. Si a est un nombre quelconque de la deuxième cla&se numérique, v, un nombre ordinal fini qi^lconque, on a : v^ + a = a cf par 8uite a — v^ = a.
Démonstration. — Examinons d'abord le cas où a = lo.' Soit .
Mais si a > G), nous avons
a = Cl) + (a — (I)) v^^ -f- a = Vo 4- 0) -h (a — w) = w + (a — co) = a.
F. Si v, est un nombre ordinal fini quelconque, v^. <«> = <«>. Démonstration. — Pour obtenir un ensemble de type v, w,
il faut remplacer les éléments f,àe l'ensemble (/i, A, ..., /v, ...) par des ensembles (gf,i, g^, ..., gf^,) de type v». On obtient ainsi l'ensemble
qui est évidemment semblable à l'ensemble \f,\, donc
On peut aussi le démontrer brièvement comme il suit : on a iù = lim. V et par suite, d'après (24), § 44, .
v^ci) = lim.VpV.
D'ailleurs
lim. Vq V i= lim. V = (i>.
Donc
v^« = il)*
(j.Si a est un nombre de la deuxième classe, Vp ui} nombre de la première y on a toujours
(a H- v,)ci) = ao). •
Démonstration. — Nous avons . / .
Mm. V :t=<d.
^Donc, d'après (ii), §i4, '
(ot •+• Vo)*») = lîm. (a-h %)y.
Mais on a »
(a 4- Vo) V = (a Hh vj + (a Hh Vo) +.,.+ (a + vj
= a -h (vp4- a) -h (vo-*- a) -h.-.-i- (Vo-H a) + v^ = a + a H- a -f- ...4- a -i- Vft = av -f- v^.
II est maintenant facile de voir que
|av + Vo|||javj et par suite que
(a 4- Vo)(i) = lim. (av 4- v^) = liin. av =^ ocu).
H. Si a esit un nombre quelconque de la deuxième classe, V ensemble \a!\ de tous les nombres a' des première et deuxième classes qui sont plus petits que a, rangés par ordre de grandeur croissante, est un ensemble bien ordonné de iypeoL.
Démonstration. -^ Soit F un ensemble bien ordônilé tel que F = «, et f^ l'élément initial de F. Si a est un nombre
ordinal plus petit que a, il y a (§ 14) un segment déterminé A' de F, tel que
et réciproquement chaque segment A' a comme type un nombre o^ < a de la première ou de la deuxième classe ; car puisque F = ^^, A' ne peut être qu'un nombre cardinal fini ou Kp.
Le segment A' est déterminé par un élément f >- /i de F et réciproquement chaque élément /' y f^ de F détermine un segment A' de F. Si les deux éléments f et f y f^ déterminent dans F tes segments A' et A' dont les types ordinaux sont a' et <x, la condition f -< f entraîne (§ 13) A' < A' et par suite a' < a'.
Si donc nous posons F = (/i, F') et si nous faisons correspondre à l'élément f de F' l'élément a' de |a'{, nous obtenons une application de ces deux ensembles. Donc
Mais maintenant F'= a — 1, et d'après le théorème E, a — 1 = a. Donc
Comme a = k., il en résulte |a' f = k^, ce qui s'énonce ;
1. L'ensemble [a'j de tous les nombres a' de la première et de la detixième classe qui sont plus petits qu'un nombre a de la deuxième classe a le nombre cardinal Kp.
K. Tout nombre a de la deuxième classe numérique peut s'obtenir ou en ajoutant i à un nombre immédiatement inférieur ai
OU en cherchant la limite d'une série fondamentale \a^\ de nombres de la première ou de la deuxième classe.
a = liinav.
Démonstration. — Soit a = F. Si F a un élément g de rang plus élevé que tous les autres, on a F= (A, g) où A est le segment déterminé par g dans F. C'est alors le premier cas, on a
Il existe alors un nombre immédiatement inférieur à a qui est nommé a^
Si F ne possède aucun élément supérieur, considérons l'ensemble ja'l de tous les nombres de la première et de la deuxième classe qui sont plus petits que a. Cet ensemble où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante est semblable à Tensemble F (th. H); parmi les nombres a\ aucun donc n'est supérieur à tous les autres. D'après le théorème I, l'ensemble {a'j peut se mettre sous la forme d'une série simplement infinie {oij. Dans cette suite, après le terme a\ peuvent se présenter d'abord des termes plus petits a'„ a],, ..., mais il y aura certainement des termes plus grands ; car a^ ne peut être plus grand que tous les autres termes puisqu'un tel terme n'existe pas parmi les nombres [d]. Soit ap, le terme déplus petit indice supérieur à al. Soit de même a!,, le terme de plus petit indice supérieur à aj,,. En poursuivant ainsi, nous obtenons une série infinie de nombres croissants, c'est-à-dire une série fondamentale
Nous avons
1 < P, < P, < ...< pv < pv + 1,...
ûtj << Oo, <C «p, < ••• <C «p,^ < clq^ ^ i»-. aji < o^^ lorsque jx < py
et comme évidemment v ^ pv> nous avons
ai < ttp^.
Il en résulte que tout nombre a^ et par suite tout nombre
a' < a est surpassé par les nombres Op^ pour des valeurs suflBsamment grandes de v.
Mais a est le nombre immédiatement supérieur à tous les a'; par suite il est aussi le nombre immédiatement supérieur à tous les d^. Donc, si nous posons ai = «i ct^^^ = o-^ + j, il vient
a = lim. Ov.
Il résulte des théorèmes B, C, ..., Kj que les nombres de la deuxième classe s'engendrent de deux manières à partir des nombres plus petits. Les uns que nous nommerons nombres de première espèce, sont obtenus en ajoutant i à un nombre immédiatement inférieur
les autres que nous nommerons nombres de deuxième espèce, sont tels quHl n'y a pas pour eux de nombre immédiatement inférieur ai; ils sont définis comme limites de séries fondamentales par la formule
a = lim . Ov
a est ici le nombre immédiatement supérieur à tous les nombres av.
Ces deux façons d'engendrer de grands nombres à partir de plus petits, seront nommés le premier et le deuxième principe de formation des nombres de la deuxième classe.
§ 16. — La puissance de la deuxième classé numérique est égale au deuxième nombre cardinal trànsfini alef-un.
Avant de commencer, aux paragraphes suivants, l'étude détaillée des nombres de la deuxième classe et des principes qui les dominent, nous voulons rechercher quel nombre cardinal correspond à la classe Z (n<,) = |aj de tous ces nombres.
: ' k/ Dmsemble |a] de tous les nombres de la deuxième classe^ rangés par ordre de grandeur croissante , est un ensemble bien ordonné.
Démonstration. — Désignons par kg, la réunion de tous les nombres de la deuxième classe, qui sont plus petits qu'un nombre donné a, ces nombres étant rangés par ordre de grandeur croissante; Aa est un ensemble bien ordonné de type 7. — (0. Ceci résulte du théorème H, § 14. L'ensemble désigné là par |a'j, de tous les nombres a' de la première et de la deuxième classe est composé de |vj et de A^, de sorte que
)«'J = Hh-A.' et comme
|a'| = a jv| = G), on a
Aa = a — co.
Soit J une partie quelconque de |aj, telles qu'il y ait dans |aj des nombres plus grands que tous les nombres de J. Soit par exemple a, un de ces nombres. J est aussi une partie de kg^^^i telle qu'au moins le nonibre a» de A^, + , est plus grand que tous les nombres de J. Comme A^. + i est un ensemble bien ordonné, il doit exister (§42) un nombre a' de Aa,4.„ appartenant donc aussi à [a|, qui va immédiatement après tous les nombres de J. La condition II, § 12, est donc remplie pour [aj, et la condition I aussi, puisque |a| a le nombre initial w. —
5i l'on applique à l'ensemble bien ordonné |aj les théorèmes A et C, § 12, on obtient les théorèmes suivants :
:B. Tout ensemble de nombres différents des première et deuxième classes a un nombre plus petit, un minimum.
C. Tout ensemble de nombres différents des première et deuxième classes, rangés par ordre de grandeur, forme un ensemble bien ordonné.
Nous allons maintenant montrer que la puissance de la deuxième classe est différente de celle de la première^ qui est m«.
D. La puissance de Vensemble jaj de tous les nombres % de la deuxième classe n*est 2^s égale à «o-
Démonstration. — Si [ôf était égal à k,, on pourrait mettre Tensemble jaj sous la forme d'une série simplement infmie.
ïl 5 ïf 5 • • • 5 Y^ ? • • •
de sorte que |yv| représenterait la réunion de tous les nombres de la deuxième classe rangés dans un ordre différent de Tordre de grandeur croissante; de plus, |yvJ comme {a| ne contient pas de nombre supérieur à tous les autres.
Partons de y^ et soit yp, le terme de plus petit indice de la série qui soit plus grand que y^, yp, le terme de plus petit indice plus grand que yp,, et ainsi de suite. Nous obtenons une suite infinie de nombres croissants
Ti)Yp«9 "'9 Tpv> ••• telle que
* <Pf< P8--Pv< Pv + l...
ïl <ïp, < Ye.- Ypv < Yov + 1--
/ Yv ^ Ypv
i I s' / D'après le théorème C, §^Ï4^ il y aurait un nombre déter-
/ miné S de la deuxième classe, savoir
S = lim.
Ypv
qui serait plus grand que tous les y^/, par suite S serait plus grand que yv pour toute valeur de v.
Mais puisque \y,\ contient tous les nombres de la deuxième classe, il contient aussi d et Ton aurait
équation qui esjtjncompatible avec S > yv,.
L'hypothèse jo] = n, conduit ainsi à une contradiction.
E. Un ensemble arbitraire }p| de nombres différents de la deuxième classe a, s'il est infini, ou le nombre cardinal n\, ou le nombre cardinal ]a[ de la deuxième classe.
Démonstration. — L'ensemble [p|, où les éléments sont rangés par ordre de grandeur croissante, est une partie de l'ensemble bien ordonné |a| et comme tel (th. 0, § 13), il est ou semblable à un segment A», de ce dernier (c'est-à-dire à l'ensemble de tous les nombres de la deuxième classe < a„ rangés par ordre de grandeur croissante) ou semblable à l'ensemble [a\ lui-même.
Nous avons montré dans la démonstration du théorème A que Aa, = a, — o). Nous avons donc ou ]^\ = a, — w ou )p( == )aj et, par suite, ou ]^ = a, — w ou yp( = ]â(. Mais a, — (ù est égal à un nombre cardinal fini ou à k, (th. I, § 15); le premier cas est exclu ici pujsque |PJ est un ensemble infini. Par suite, le nombre cardinal ]pj est égal à k, ou à ja}.
F. La puissance de la deuxième classe numérique [a| est le deuxième nombre cardinal Iransfini alef-un.
Démonstration. — Il n'y a aucun nombre cardinal a qui soit > K, et <Jaî, car il devrait y avoir une partie infinie \^] de |aj telle que |p] = a.
Mais par suite du théorème précédemment démontré E, la partie p a le nombre cardinal k, ou le nombre cardinal {a(. Ce dernier nombre est donc nécessairement le nombre cardinal immédiatement supérieur à k^; nous le nommerons k^.
Nous avons donc, dans la deuxième classe numérique, le représentant naturel du deuxième nombre cardinal transfini alef'Un.
§ 17. — Les nombhs de la forme cd\ + (ù^''h^ + ... + V|x.
Il est utile de se familiariser avec les nombres de Z(k,), qui sont des fonctions algébriques de degré fini de o). Tout nombre
— . 74 .^ de cette espèce peut se ramener à la forme suivante, et .cela d'une seule manière
où (A, v, sont finis et différents de zéro, vi, v„ ..., V|a pouvant être nuls.
Ceci repose sur ce fait que
(2) a)I*'v'-+-a)i*v = <oî*v,
si
liL'< [JL, V > et v' >0;
car, d'après (8), § 44,
<«>l*'v' 4- o)H-v = (oH-' (v' + t^-V-'^)
et: :
Donc, dans un agrégat de la forme
...4- a)H-'v'+ wl*v H-...
on peut négliger tous les termes qui sont suivis, en allant ver^ la droite, de termes de degrés supérieurs en w. Ce procédé peut être suivi jusqu'à ce qu'on arrive à la forme donnée en (4). Remarquons encore que ....
(3) (oH-v 4- (o^^v' = «H-(v -4- V).
Comparons maintenant le nombre © avec un nombre 4 de la même espèce
Si u et X sont différents et par exemple \l < X, nous avons, d'après (2), ^ : - ' ,
© -h t^ = t^ et par suite
Si u. et X sont égaux, Vo et p, différents et, par exemple, v*^ p„ nous avons, d'après (2),
donc aussi Si enfin
et, par contre, v^ et p^ différents, et par exemple v^ < p^, on a, d'après (2),
9 4- [ci*^^''(po — Vo) 4- 0)^- '-»pe, + , + ... + px] = 4»;
donc de nouveau
9<tV.
Nous voyons ainsi que les nombres représentés par 9 et (p ne peuvent être égaux que dans le cas deFidenlité complète des expressions ç et 4.
Vàddition de ç et ^ conduit aux résultats suivants :
4^ Si ]L < X, on a vu plus haut que
2° Si |x = X, on a :
? + * = w^Vo + Po) 4- U)^- *P4 4- ... 4- px-
3^ Si fi > X, on a :
ç4-'J; = cd5*Vo4<d'*-N^4-...4-Ci)^-*-*Vjx-x-i4-w'Vv|x->4-Pp) 4-w^-^P4 4-:...4-px
Pour effectue? le produit de 9 et de 4, nous remarquons que si p est un nombre fini différent de 0, on a la formule : .
(5) ç.p = o)i*VoP.4: (1)5*7^4 4-... 4- V|*,
qui s'obtient facilement en effectuant la somme des p termes
Par application répétée du théorème G, § 15, on obtient de' plus, en tenant compte de F, § 45 :
(6) ÇU)=4dI*-»-'
et par suite (7) 90)^=0)1"+^.
La loi distributive [(8), § 14] nous donne :
çt}» = çw^po + (p(i)^""*pi+ ... + ÇWPX-.14- çpx
et les formules (4-), (5) et (7) nous conduisent aux résultats suivants :
4^ Si px =: 0, on a :
(pt|/==G){**-^PoH-a)l* + ^-*P4+...+ 0)î* + *Px-i=co«*t|/.
2^ Si px :5t 0, on a :
Nous arrivons de la manière suivante à une décomposition remarquable du nombre ç ; soit
(8) ç = G)f*Xo 4- (»)'*«>ti+ ... +(O^^Xt
où
et x„ Xi, ..., Xx des nombres finis différents de 0. Nous avons alors
= {(a^t%^ 4- u>t*«x, 4- ... + o)l*^XT)((»)f*-I*«Xo + 1)
et, par application répétée de cette formule, nous obtenons
ç = a)l*'f>^(a)l"^-i-ï*^XT-.i-f- l)(wt*^-«-^^->XT-,+ 1)... ...(a)l*-i*»Xo+ 1).
Mais on a :
dans le cas où x est un nombre fini différent de 0; 4onc
(9) « = (o^-XtK^-»-I*^-»4- l)xT-iK--*-f*^-i4- l)xt-.
Les facteurs cd^ + 1 intervenant ici sont tous indécomposables et le nombre © ne peut être représenté que d'une seule manière sous cette forme de produit. Si y.^ = 0, ç est de la première espèce, sinon il est de la deuxième espèce.
La différence apparente qu'il y a entre les formules de ce paragraphe et celles déjà données au volume XXI des Mathem. Annalen (Grundlagen, p. 44) tient à la manière différente d'écrire le produit de deux nombres ; nous plaçons maintenant le multiplicande à gauche et le multiplicateur à droite; nous faisions autrefois le contraire.
§ 18. — L'exponentielle y" dans le domaine de la deuxième classe numérique.
Soit S une variable dont le domaine de variation comprend tous les nombres de la première et de la deuxième classe, y compris ; soient y et § deux constantes appartenant au même domaine
Nous pouvons alors établir le théorème suivant : A. Il existe une seule fonction bien déterminée uniforme f{^) de la variable Ç, qui remplisse les conditions suivantes :
2^ $' et $' étant deux valeurs quelconques de $ telles que
3^ Pour toute valeur de Ç, on a :
4^ Si [Çvj est une série fondamentale quelconque, |/($v)j en est une autre, et la condition
. 5 = limjÇvj
— 78 ^ entraîne ^ i^^ /(Ç):=lim.r(Çv). ''y-r^
Démonstration. — D'après 4^ et 2^ nous avons
iet par suite, puisque S > 0, Y >^
/(1)< /(2)< A3);<:..< Av)<r<v4.i>...
Supposons le théorème établi pour toutes les valeurs de ^ qui sont < a, a étant un nombre quelconque de la deuxième classe. Je dis qu'il est' encore vrai pour Ç :^ a. Car si a est^e la première espèce, il résulte de 3**
,r(«)=r{îi)ï>%)
et les conditions 2^3^; et 4? sont vérifiéeis par $ :< a.
Mais si a est de là deuxième espèce et défini par la s^rie
fondamentale {<t\
ce = lim. Ov,
il résulte de 2** que |f(ay)| est une série fondamentale,^ et de 4** que' /(a) = lim. /"(av). Si l'on considère une autre série fondamentale m, telle que a = lim. ai, les deux séries fondamentales {fM\ et |/(ai)| sont liées, en vertu de 2<*, et par
suite ...
- AdO==lim./(oc;).
La valeur f(a) est donc unique.
Si a' est un nombre quelconque < a, on voit facilement que f{(x') < /(a). Les conditions 2«, 3^ et 4^ sont donc tiussi remplies pour $ < a. Le théorème «st donc établi pour toutes les valeurs de^.
Car s'il y avait des valeurs exceptionnelles de Ç pour lesquelles il n'aurait pas lieu, une de ces valeurs, que nous appelons a, devrait être la plu^ petite. Le théorème serait donc
valable pour $ < a et non pour $ <: a, ce qui est en contradiction avec ce qui vient d'être démontré.
Il y a donc, pour tout le domaine de ^, une et une seule fonction f (Ç) qui vérifie les conditions 4*>, 2°, 3* et 4^.
Si Ton donne à la constante d la valeur 1 et si Ton désigne la fonction /($) par
on peut énoncer le théorème suivant :
B. Sf Y est une constante arbitraire > 4, appartenant à la première ou à la deuxième classe, il y a une fonction bien déterminée y^ de $ telle que :
