C. f{^) étant la fonction caractérisée au théorème A, on a

Démonstration. — La formule (24), § 14, montre que la fonction Sy^ vérifie non seulement les conditions 1®, 2^ 3* du théorème A, mais aussi la condition 4^. Puisque la fonction /(Ç) est unique, elle doit être identique à Zy^.

D. Si a et ^ sont deux nombres arbitraires de la première et de la deuxième classe, y compris 0, on a:

y«-^p = y*yP-

Démonstration. — Considérons la fonction ç($) = y**^-^. , La formule (23), § 14, nous montre que

lim. (a -H Çv) = a -♦- lîm. Çv

et nous reconnaissons que 9($) vérifie les quatre conditions suivantes :

2oSi$'<Ç', ona9($0<9(O;

3^ Pour chaque valeur de Ç, ç($ + 1) = ?($)y;

4° Si |$v| est une série fondamentale telle que lira. $,= $,

on a:

ç(Ç) = lim.?(Ç.).

Le théorème C, où Ton fait $ = y*, nous donne alors :

et en posant $ = P

E. Si a et ^ sont deux nombres arbitraires de la première et delà deuxième classe, y compris 0, on a :

Démonstration. — Considérons la fonction ij;(ç) = -a5 et remarquons que, d'après (24), § 14, on a toujours lim. a$v = alim. $v; nous pouvons alors, en vertu du théorème D, affirmer ce qui suit :

4oj,(0) = 4;