CHAPITRE VI

ÉLÉMENTS FONDAMENTAUX

ci-dessus, $,(jk; u) = e. Plus généralement, on nommerdi primordiale toute équation obtenue en égalant à zéro un polynôme homogène à deux séries de variables, une des séries étant en Xi ou «/, Tautre eny,- ou P/. Il y aura évidemment quatre sortes d'équations primordiales. On construit les variétés et les équations primordiales, et l'on établit le théorème que voici :

Les huit entiers caractéristiques sont

égaux deux à deux

r^ — rr^ ; /-q z= /•^..

Dans la discussion générale qui précède, on a supposé chaque entier caractéristique au moins égal à 3. Il est absurde d'égaler un d'eux à zéro ou 2. Si un des entiers caractéristiques au moins est égal à l'unité, la crémonienne s devient crémonique. Les crémoniques reviennent au fond à des substitutions ponctuelles, prolongées (aji sens de Lie).

Un élément (x, w)est, par définition, fondamental

pour la crémonienne Sj si l'on a

Cp/ = o,

th. —

ou 7/ ^=- o, ou

?/=io;

pour la crémonienne 5 ', si Ton a

0/ = o, ou T^^ 1= o, ou 6/ -= r^^ =: O.

Soient un point x (un plan u) quelconque, U un plan passant par x (X, un point situé sur u)j tel que l'élément (x, U) [ou l'élément (X, u)] soit fondamental. Il n'existe pas plus de : i^ 00*^"^ éléments fondamentaux dans l'espace; 2*" oo'^"'* points X ou plans U.

3oit une variété Z, lieu d'éléments (x^ m); la variété Z', lieu des éléments s[{x^ w)], sera, par définition, la variété-image. On écrira Z' = s[Z]. On construit Z' pour Z donnée quelconque.

L'image, par ^, d'un élément fondamental #de Sy n'est pas un élément (y, p) unique; (y? ^) est indéterminé sur une certaine variété fondamentale "Ç. Tout élément de t:> a # pour image par;?"*.

Si la variété Z contient un élément #, alors il se sépare de Z' la variété %?, qui correspond à #, comptée une ou plusieurs fois.

Cela permet de préciser la notion de variété primordiale, $„par exemple. Ç„ est bien le lieu des éléments s[(x^ w)] à u fixe, mais lorsque a; parcourt w, sans venir en un point X.

Toute cette théorie est la généralisation des propriétés qui, dans les substitutions planes Cremona, appartiennent aux points fotidamentaux et aux courbes fondamentales.

On parvient à un théorème que voici :

Si une variété intégrale W donnée est primordiale pour une crémonienne s au moinSy cette crémonienne est unique et bien déterminée.

On se trouve alors en présence d'un problème double :

i** A quelles conditions J nécessaires et suffisantes doit satisfaire W pour que »ç existe.

2^ Les conditions J étant remplies par hypothèse, construire s.

Ce problème fera Tobjct d'un travail ultériour.

i** Nommons forme à plusieurs séries de variables

•^11 '^%i • • • î y \i • ■ • j ^'ii • • • » • • '1

un polynôme, homogène, séparément par rapport aux diverses séries de variables. Les diverses séries ne contiendront pas forcément le mênjte nombre des variables. La notation

met en évidence, dans la forme y, les degrés d'homogénéité m, /^, m', . . . pour les diverses séries de variables. La notation

OU le soulignement, indiquera que, dans une des séries, w, par exemple, les variables sont momentanément envisagées comme des paramètres constants.

Je m^occuperai surtout des formes bi-N-aires, c'est-à-dire à deux séries de N variables. On aura des formes

Bibinaires N = 2

Bilernaires =3

Biqualernaires ::=: 4

a.i <;£m::ralitf.s.

■2." Prenons la forme bi-ÎS'-aire

/(.r; n)=/{jc, j-,; m, «>).

On assimilera les x;- (ou les Uj). avec *= i, a, ■■ ., N aux N coordonnées homogènes d'un point x (ou d'un plan «) dans un espace C à N — i dimensions.

La valeur absolue des coordonnées homogènes sera donnée par les égalités

, = ^, = -^e,a:=J^ej:,

où les ei et ^'^ sont des constantes numériques arbitrairement choisies, une fois pour toutes. Un point situé sur le plan, dont l'équation est ^ex = o, aura ses coordonnées infinies. Le plan dont les coordonnées sont proportionnelles aux e,sera nommé, pour ce motif, plan de l'infini.

Pareillement, le point dont les coordonnées sont proporlionnelles aux gi sera le point de l'infini.

3" iJélémenl {x, u) sera la figure constituée par le point x et le plan u, en situation telle que

autrement dit : i" le pointcst sur le plani 2" le plan passe par le point.

Il y a dans Tespacc (£

éléments, car il y a 2N variables a:, et m,-, liées par les trois relations

/i" On peut attribuer à un élément (x, u) des paramètres ou coordonnées, au nombre de 2N — !î.

GÉNÉRjyLITÉS. 25

On fera d'abord ^^ = ^^ = • • • =^?î-i = ^i ^> = i , a;© = ^.n ; puis on fera g^ = ... = g^^ = g^ = o, g^.^ = - i et Ton définira Wy par la condition w = o.

On posera enfin les égalités suivantes qui introduisent les 2 N — 3 coordonnées non homogènes

de l'élément (x, u) :

(o) ( Jfy . fl^-i . «N

^N-l-f/ I ^ Vil >

^N - 1 — ^ ^y ^xN- n-y

Ces formules permettent de passer des X» aux Xi et W/, ou réciproquement.

Si l'on possède les Xi et «/, on écrira

Si l'on possède les >.«, on écrira

5^ Une variété ou multiplicité à 5 dimensions sera le lieu des éléments dont les coordonnées dépendent de ^ paramètres distincts ou sont liées par 2N — 3 — 5 équations distinctes. On supposera toujours ces équations algébriques et la variété sera elle-même algébrique.

6° On verra dans le corps du Mémoire (G'^, troisième Partie) que le changement le plus général des coordonnées homogènes, dans l'espace C à N — - 1 dimensions, remplace

VMfW'Ul (r, u) par Tchîmcnt (/, c) tel que

où A tm! tino iiialricc N-airc quelconque avec |A| :^ o. Les variuhh*H j\ ci u, Bout ce qu'on a appelé coniragrédientcs . DanN TeHpan* C, l'expression la plus générale de la dualité roMNiMte {\ p«*rmut(*r ./-^ et i/,. (]ela revient à transformer les él«»rn<MitH par K; procédé des polaires réciproques, la qua-

driffui* de. hani* étant V^' == o.

7*' Une forme l)i-.\-airey ( M, CC ordre m et de classe

tn\ Hera uiui/orrnc mixte ^ si les x, et a, sont les coordonnées d^in élément, c\!Ht-à-dire liées par les relations

(D r o, »ro=: //n^^: I.

Dans la deuxième Partie de ce Mémoire je donne les explications détaillées sur les règles du calcul, en ce qui concerne les formes mixtes.

8** Le lieu des éléments (x, u) tels que/ f j = o est

un connexe d^ordre m et de classe m\ IJ* intersection de No connexes j variété ù 2N ~ 3 - No dimensions j,

sera le lieu des

éléments communs aux N© connexes.

En coordonnées X», Téquation du connexe

sera, en vertu des relations (o) du 4^,

^J^y-l-hJ

9** Considérons deux éléments infiniment voisins (a;, u) et {x -h dx^ u -+- du)^ les diflerentielles étant, bien entendu, liées par les relations

du}z=i^^xdu -h ^ « da: ■=. o.

Les deux éléments sont en situation réunie, si l'on a

et, par conséquent, aussi ^^xda = o, ou réciproquement.

En coordonnées X» du 4°? l«i situation réunie est exprimée par la relation

io° Une variété est intégrale ^ si deux éléments infiniment voisins, pris à volonté sur la variété, sont toujours en situalion réunie.

Parmi les variétés intégrales méritent une attention spéciale celles qui sont formées par les oo^''^ éléments, constitués par un point x (plan u) et les ao^* plans passant par a;(QC^""^ points situés sur u).

En effet, si dUj = o ou dxi= o, on a bien la condition de situation réunie.

jjo Prenons une variété \^, à R dimensions, où les 7<ol soient exprimées à l'aide de R paramètres arbitraires distincts

On aura

dkçii^-=: ^^Ky^gdtf^ Xaj= -TT-^

zK «iOKRALlTKS.

Cl, BOUS le Jiétiélicf! <!<; la formule (o) du y",

Conimc les /, sont des variables indépendantes, il vient finalement Ivs conditions nécessaires et suffisantes pour que la varicté © soit intéj^rale

' ,1 = 1, a Et; J = i, a N -a)

12** Supposons maintcnanl vp donnée par

S^aN— 3 — H vnuations

Il devra exister S + i quantités T et/)o telles que

'«=Jp. iy = i,a N a;o<»;aN-3;,

s successivement

Identifions les coefficients des mêmes différentielles, il viendra

Éliminant t, on aura 2N — 4 équations entre les S inconnues p^

Les coefficients des/?<y forment un tableau à 2N — 4 lignes et à S colonnes. Gomme les inconnues p^j ne s'évanouissent pas toutes, le rang du tableau doit être inférieur à S et le tableau doit être incorrect. En effet

2N~4 — S=:2N-4 — (2N-3 — R)=iR — 1^0,

et Ton a plus d'équations que d'inconnues.

i3^ Soit P une variété lieu des éléments (x^ u).

Le pointa; décrira une Dariété ponctuelle X, le plan u parcourra une variété planaire U.

Il va sans dire que, pour P donné, il existera des relations étroites entre les variétés X et U.

On trouvera dans la troisième Partie, au Chapitre IV, un exemple de ces relations lorsque P est une certaine variété ^J? primordiale intégrale.

i4^ Par analogie avec l'espace ordinaire les variétés à une dimension, ponctuelle et planaire, s'appelleront respectivement courbe et déi'eloppable.