CHAPITRE I
1° Rappelons d'abord les principes fondamentaux de rArithmétique et de l'Algèbre.
On suivra le mode d'exposition et la terminologie de M.Kônig(IV).
Soit (© un système comprenant des grandeurs ou termes
en nombre fini ou infini. (D sera un domaine (Bereich).
2° Soient a, et cn.^ deux termes pris à volonté dans le domaine.
Yi* Addition est une opération univoque qui fait correspondre à a, et a^ un troisième terme ag, ag = a, -f- aa.
Comme nature intime, l'Addition pourra ne ressembler guère à l'addition ordinaire; mais elle suivra les mêmes lois, c'est-à-dire elle sera :
comrautalive : Xj -|- ajt=: ag-t- «j ;
associative : (a, + aj) H- a3r= a, -f- (aj-f- ag);
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elle admettra une opération inverse, la Soustraction univoque et toujours possible. Enfin TAddition admettra un module (o, ou zéro) tel que a, -+- o = a,.
3® De même la Multiplication sera une opération univoque qui fait correspondre à a, et a^ un troisième terme a,,
OCj = 0C| 0C2*
Comme nature intime, la Multiplication pourra ne pas beaucoup ressembler à la multiplication ordinaire; mais elle suivra les mêmes lois, c'est-à-dire elle sera
commutalive : i^%^'=.aL^aL^\
associative: (a,a,)a,=iz aj(a,a3);
distributive : («j-h a,)a3= ajaj-h «jas.
La Multiplication admettra un module (i, ou unité absolue), tel que la, = a^.
4° Par hypothèse, le domaine cô admettra une Addition et une Multiplication. De plus, la suite
ne contient pas le zéro. Enfin l'équation a$ = p pourra, pour un choix approprié de termes a et p dans (£), ne pas admettre une solution ^ dans le domaine.
(D sera alors un domaine holoïdc. Kônig emploie pour le désigner des crochets [(D].
5** Associons deux à deux les termes de [(î>], de façon à construire le symbole fraction
La Multiplication et TAddition des fractions se définissent par les formules
p p' PP' P p' ap'-hPa'
a a aa' a a' ai
Les fractions - sont les termes d'un domaine orlhoïde (co ),
que Kônig désigne par les parenthèses et qui comprend le domaine holoïde [(DJ.
6** Dans [co], le terme a divise le terme y? s'il existe un terme p tel que y = a^. Tout diviseur de l'unité absolue (3**) sera une unité. Sera irr^éductible toute quantité divisible seulement par elle-même ou par les unités.
Un terme de [ûo] est premier* si, divisant un produit a^, il divise forcément un au moins des facteurs a et ^.
Tout facteur premier est irréductil)lc, mais la réciproque n^ est vraie qu^ exceptionnellement ^ c'est-à-dire pour les seuls domaines complets^ dont il va être question.
7*^ Soient a et ^ deux termes quelconques de [{©] et S un troisième terme qui, s^il existe^ possède les propriétés suivantes :
