II. Tout diviseur commun à a et ^ divise aussi o

S se nommera le p. g. c. d. (plus grand commun diviseur) de a et ^.

[cd] sera un domaine complet {vollstândig) si deux iermes quelconques du domaine ont toujours un p. g. c. d.

Si [(D] est complet, tout facteur irréductible est aussi un facteur premier.

8*^ Sont complets, par exemple, le domaine des nombres entiers naturels, le domaine des polynômes à un nombre quelconque de variables indépendantes y

Sont au contraire incomplets, par exemple :

Le domaine des nombres a -hy ft, où a et ^ sont des entiers ordinaires, tandis quey- -h 5 = o; le domaine des polynômes à plusieurs variables, lorsque ces variables, au lieu d'être indépendantes, sont liées par des relations algébriques.

Pour toutes explications et démonstrations, nous renverrons au Livre de Kônig, notamment au Chapitre I.

cf Les théories et raisonnements habituels de rArithnmétique et de TAlgèbrc ne sont applicables qu'aux domaines complets. L'Algèbre des domaines incomplets, beaucoup plus compliquée, exige des notions nouvelles, quantités idéaleSy etc. (Konig, page 477).

Quand on a aflFaire à un certain domaine, la question capitale est de savoir si ce domaine est complet, et aussi de savoir si ce domaine est bien défini {yvohldefiniert)^ c'est-à-dire si la construction du p. g. c. d. peut se faire par un nombre fini d'opérations d'une nature déterminée.

Le problème principal du présent travail sera précisément de reconnaître si un certain domaine holoïde est complétât bien défini.

Introduisons maintenant le premier des domaines que nous aurons à étudier.

10^ Prenons deux systèmes de variables

soit

un polynôme homogène et de degré m par rapport aux Xj^ homogène et de degré m' par rapport aux W;. J'écrirai

et je dirai que F est une forme ayant pour ordre m et pour classe m' , m et m' seront aussi les deux dimensions de la forme. Quand aucune ambiguïté n'est à craindre, on peut écrire plus simplement

ou même

F(w, m'), m et //// seront des entiers non négatifs.

1 1*^ Nommons E(N, N') le domaine des formes F.

L'Addition (2") sera l'addition ordinaire, mais s'opérant exclusivement entre, formes de même ordre et de même classe, de façon que la somme soit encore une forme de l'ordre et de la classe donnés, suivant la formule

La Multiplication (3^) sera la multiplication ordinaire

Les formes d'ordre nul et de classe nulle sont des constantes C. Si C = o, on a le zéro, module de l'Addition (2**). Si C = . , on a l'unité absolue, module de la Multiplication (3«).

Les coefficients des formes F sont des nombres, complexes ou réels, ordinaires quelconques.

ï2** Le domaine E(N, N) est-il holoïde au sens du 4°? Oui, car l'équation à inconnue ^, par exemple,

n'est satisfaite par aucune forme d'ordre un et de classe zéro.

Le domaine est-il complet? On peut construire le p. g. c. d. D de deux formes F et G considérées comme polynômes aux N -f- N' variables indépendantes x et u. Seulement, il reste à prouver que D est lui-même une forme.

Quoique la propriété soit presque évidente, voici une démonstration.

i3'* Il suffira de montrer que le domaine E(N, N'), ou simplement E, est complet dès qu'est complet le domaine E, obtenu en se restreignant, dans E, aux formes où ne figure plus une des variables indépendantes, x^ par exemple. En effet, procédant ainsi de proche en proche, on arriverait aux domaines E(i,o) ou E(o, 1), c'est-à-dire aux formes x'I' ou u"'\ à une seule variable. Ces derniers domaines sont évidemment complets.

QO DKUXIKMK PARTIE. — CIIAPITUE I.

i/j** Soient donc deux formes de K(Njj, NJ^), ou E, à N variables x et \^ variables i/, savoir :

fC' ""') et gC" •'^■') \ x\ u J \x\ u J

que Ton écrira (Kônig, p. 7 1)

F=: AoJ7"»H-...+ A,a7"*-'-h. . .4- A,„, G = Bo.r« -h . . . -t- By J7« > -h ...-+- B„,

(o) \ où

\i et By sont des formes du domaine E, (i3°). Pour mettre en évidence l'ordre et la classe de A, et de By, on écrira

pour exprimer que A/ a M — /7i -h « pour ordre et M' pour classe, etc.

On peut admettre que chacune des formes F et G, polynômes en x^ est primitive, c'est-à-dire que le p. g. c. d. des coefficients A ou B, termes du domaine E,, est une simple constante (forme d'ordre et de classe zéro), Y.n effet, si l'on

avait

F = aF, G = i5G',

où F' et G' seraient des polynômes primitifs en x (tandis que 51 et lu seraient des termes du domaine E,), alors, pour avoir le p. g. c. d. de F et G, il suffirait (Kônig, p. 90) de multiplier le p. g. c. d. de F' et G' par le p. g. c. d. de % et |J. Or le domaine E, est complet par hypothèse et ce dernier p. g. c. d. existe toujours.

On ne restreindra donc pas la généralité en faisant F et G primitives.

i5*^ Conservons toutes les notations du i4". Essayons de

GÉNÉn ALITÉS. 91

diviser F par G en les considérant toutes deux comme polynômes en X. On aura (Kônîg, p. 71) l'identité

(i) B;'*-»+'F — GQ + R,

où Q est un polynôme en x de degré m — /i, tandis que R est un polynôme en x de degré /i — i au plus. On écrira donc

>fn—n—r >•

avec (Kônig, loc. cil.) et

(3) Br-»+'A,= 2Q''B'-' = B'Q« + ï^'-Q' + --+ï*»Q'-

Lemme. — 5/, pour r' <^ r, on a les conditions suivantes : 1** Q/ est un terme rfe E^ ; 1^ on a

j (m — /i) (N — /i) -h M — wj-f- r'

(4) Qr — j (^^^)j^,^j^|,

a/or5 ce^ conditions seront satisfaites aussi pour Q^.. En effet, comme (i4**)

il vient

__ I N — /t -h /' — /-'-H (m — n) (N — /t) -h M — m -h /•' V'" '•-'•'=1 N/^(^,j)l^/^IVl/

( ( m — /i -h i) ( N — w ) -f- M — /?i H- r (m — /iH- i)N'h- M'

Mais on a (i4'')

C)2 DEIXIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.

Par conséquent les formes BJ[' '"^*A^ et Q/B^/ ont même ordre et même classe. Cet ordre et cette classe sont indépendants de f . Donc, en vertu de réjjalité(3), Q^est un terme de E,. De l'égalité (3) on déduit immédiatement Tordre et la classe de Q^ qui satisfont à la relation (4).

Los conditions du lemme sont satisfaites pour Q^, car Ton a, d'aprés(3), Qp= A„B;;'-"et

( ( //i — /* ) ( IN — /i ) -h M — m

(^est précisément la formule (^i), où Ton a fait r = o. Bref, pour toute valeur de /', J r = o, i , . . ., m — n\ :

i" Q^ ^st un terme de E, ; 2" il vient

Alors

L'expression Q = V Q^x'""" '^ est un terme de E et il vient

/• successivement

puis, comme i-r = ! ,,, >

Oj

( (m— 7i)(N — /i) + M - «H-N ___\ (m — n -Hi)(N — /i)-+-M

GÉNÉRALITÉS. qS

Les deux expressions GQ et B^'~"^* F sont deux termes de E, avec même ordre et même classe. Il en est, en vertu de (i), de même pour R.

i6^ La présente analyse se résume en Ténoncé suivant :

Théorème. — Soient ¥ et G deux formes qui sont des termes du domaine E. Considérons ¥ et G comme des polynômes en X et supposons le degré m deV en x supérieur ou égal au degré n de G en x Divisons F par G; le reste de la dii^ision est encorde un terme de E.

1 7** F et G envisagés comme polynômes à N -h N' variables indépendantes :z? et «^ admettent (12°) un p. g. c. d. D. levais montrer que D est aussi un terme du domaine E.

Pour chercher D, on opère par l'algorithme d'Euclide (Kônig, p. 89). On divise F par G et Ton a un reste R, terme de E. On divise ensuite G par R et l'on a un reste R, et ainsi de suite, toujours traitant F, G, R, R,, R^, ... comme des polynômes en x. Les restes successifs sont des termes de E- Le p. g. c. d. D cherché est un de ces restes et D est un terme de E.

En résumé, le domaine Edu 11^ est un domain complet.

Pour être tout à fait exact, je dois ajouter que D est un des restes successifs, après que ce reste a été rendu primitif par le départ d'un facteur, terme du domaine E, (Kônig, p. 90); mais cette observation ne change rien au résultat.

18° La discussion qui précède donne la façon de calculer le p. g. c. d. D de deux formes F et G, termes du domaine E. Ce dernier domaine est donc bien défini au sens du 9^.