CHAPITRE II
DOMAIÎVK IIOLOIDE Û DES FORMES MfXTES.
19^ Dans un espace à iN — i dimensions, prenons les N variables :
J7|, .rj,
coordonnées homogènes d'un point Xj
coordonnées homogènes d'un plan u.
Le point x et le plan u seront supposés en situation réunie (plan passant par le point) et
1=: N ux =z o ;
xetu définiront un élément (x, u) de l'espace.
20** On nommerR forme mixte une forme bi-N-aire (bibinaire, pour N = 2; biternaire, pour N = 3; biquaternaire, pour N = 4; • • •)» homogène et de degré m par rapport aux X, homogène et de degré m' par rapport aux «, où les x et les u sont les coordonnées d'un élément, c'est-à-dire sont liées par là relation w = o. On désignera une forme mixte par
où m est V ordre et m' la classe. Seulement les formes mixtes auront une différence importante d'avec les formes F d'un do-
■-- — — faw
DOMAINE IIOLOÏDE Çl DES FORMES MIXTES. 95
maine E(N, N) considéré au Chapitre précédent. Les 2N variables ne sont plus indépendantes, mais liées par la relation (0 = o.
Ainsi toute forme mixte (et aussi le quotient de deux formes mixtes) sera une fonction de Vêlement géométrique
(Xy u).
21** Donnons-nous arbitrairement :
Les N variables u ;
Les N — I variables x^j x^, . . .-^
L'élément (x, u) est défini sans ambiguïté, tandis que la variable Xt se déduit de co = o par la formule
Ainsi, en faisant parcourir à l^élérnent (,r, u) tout l'espace, on a le droit de considérer comme indépendantes les 2 N — i va-
Cette remarque si simple est très importante pour la suite.
Nommons F^'^ toute forme mixte où la variable x^ ne figure pas. En vertu de ce qui vient d'être dit, les F^*^ constituent un domaine complet E(N — i, N) considéré au Chap. L
De là une proposition évidente :
Lemme. — Toute forme F^'^, nulle pour un élément arbitraire de Vespacey est identiquement nulle, c'est-à-dire a tous ses coefficients nuls.
^ ni m
22** TiiÉonÈME. — Si une forme mixte V ( \ est nulle
pour un élément arbitraire de Vespace, F est divisible par (O.
Considérons F comme un polynôme en x^ et co =1 u^x^ — X,, ^ = — (wj^t^a-i- . . .), comme un binôme en x^. Divisons F par 0) et soit R^*^le reste de la division, où x^ ne figure plus. R^*^ est
d'ailleurs homogène en W|, w^, . . . et en x^? «^37 • • • c^^ vertu du théorème du i&^.
9^ DEIXIÈMK PAIITIE. — r.llAPlTRK II.
On a donc ridenlilc
Mais, par hypothèse et pour un élément arbitraire de l'espace, F = oeta) = o. Alors 11^'^:= o. Par suite (lemme du 21°) 11^*^ est identiquement nul et il reste l'identité
1/',", ne divisant pas (o, divise Q -— w^P et il reste
Il va sans dire que, dans le présent théorème, l.i divisibilité du polynôme F par le polynôme (o est entendue aa sens ordinaire du mot.
23^ Pour exprimer que la forme mixte F est divisible par co, on dira que F est congrue à zéro, suivant le module co. On écrira F ^ o ( mod to).
Si deux formes mixtes A et B de même ordre et de même classe sont égales pour tout élément arbitraire de l'espace, je dirai qu'elles sonl équii^alenfesy ou bien indistinctes à Véquivalence près.
La condition nécessaire et suffisante d'équivalence est évidemment
B — A ^H o (mod eu), ou B := A (inod w),
ou
B — A H- to P,
P étant encore une forme mixte.
'2\^ Un connexe sera le lieu géométrique des éléments, dont les coordonnées annulent une forme mixte.
Par conséquent, V algèbre des connexes (ou des formes mixtes) est l'algèbre des congruences suivant le module (o.
DOMAINE IIOLOÏDE il DES FORMES MIXTES. i)'J
Dans Talgèbre des connexes, toutes les formules et toutes les propriétés doivent être perrnammtes^ c'est-à-dire subsister quand on remplace toute forme mixte par Tune quelconque de ses équivalentes (28°).
Sont bien entendu applicables aux congruences suivant le module co les théories générales données par M. Kônig sur les congruences (Chap. I, § 10; Chap. VII, VIII et IX).
Comme le module des congruences sera toujours co, j'écrirai souvent : B ^ A, au lieu de : B ^ A (mod (o).
iS^ Je nommerai H le domaine des formes mixtes. L'Addition (2**) et la Multiplication (3^) seront à V équivalence près (2,3^) l'addition et la multiplication ordinaires du 1 1**.
Le zéro, module de l'Addition, sera toute forme mixte multiple de (0 (22^). Cherchons quel est le module de la Multiplication. Soient K( ^ ) ce module et A ( * * ] une forme mixte quelconque. On doit avoir
a-hff = a, a'-h (j'zzz a', d'où ci^za'zzro.
K est une constante. Nous verrons un peu plus bas (26°) que K = I . Donc la suite i,i4-i,i-f-i-f-i,...ne contient pas le zéro. Ainsi le domaine ù est holoïde^ à condition que nous démontrions (4**) que l'équation
OÙ l'inconnue est la forme mixte X, n'est pas toujours résoluble, quelles que soient A et B.
On devra avoir évidemment ^ = ^ — a, ^' = P' — a'. Or il suffit de faire : a = i,a'=o, A = a;, ;P = 2, P'=o;^=i, ^'=0; l^ = xl pour voir que l'équation (o) devient impossible.
26** Théorème. — Soient deux formes mixtes A et B, avec A p^ o. Si AB r£z o, B Ef^ o.
Ann, de Lyon — XIII.
gS DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.
Divisons A et B par le binôme a> en ar,. On aura (comme
au 22°)
où Jîl^*^ et U^'^ sont des termes d'un domaine E(N — i, N)
Ensuite
Pour les formes mixtes sans a?,, la congruence (modcj) et l'égalité ne diffèrent pas, puisque les variables autres que x^ peuvent être envisagées comme indépendantes (21*^). Donc J3t^*)|5(*)== o. Or j3l^*^:^o, sans quoi (o diviserait A et l'on aurait A^^o, ce qui est contre l'hypothèse. Donc |5^*^=: o, (O divise B et BE^o(mod(o) c. q. f. d.
Soit K une constante telle que KA^A, où d'ailleurs A ^ o. On aura (K — i)Ae^eo et K = i . Gela démontre (23°) que dans l'algèbre des connexes le module de la multiplication est l'unité ordinaire.
2"^° La forme mixte C( \^ J est divisible (modco) par la forme mixte A( ^ )> s'il existe dans le domaine d
une forme mixte B ( '^ , ) telle que
c ^ AB (modto).
Une forme mixte est irréductible (modco) si elle n'est divisible (modco) que par elle-même ou par une constante.
Un facteur, forme mixte, est premier (modw) si, divisant (modw) un produit de deux facteurs, il divise (modco) un des facteurs au moins.
