CHAPITRE III

INVARIANTS ET RÉSIDUELLE D'UNE FORME MIXTE,

32" Soit la forme mixte générale (3o")

Exprimons que l'expression Fest^o(modw), c'est-à-dire divisible par (o.

Un premier procédé consiste (22°) à diviser le polynôme F en x^ par le binôme w en a;, . On a, comme au 22**,

les coefficients de Q et de R sont des fonctions linéaires et homogènes des a, à coefficients numériques et connus avec m et m'.

Pour exprimer la divisibilité de F par (o, il faut égaler à zéro les coefficients de tous les termes du reste R, et de ceux des termes de Q, où l'argument (3o®) n'est pas divisible par u"^\

Cela fournit entre les ç(/^) ?(^^') (30**) coefficients r système KU de relations linéaires, homogènes, à coef^ nts numériques et connus, pour m et m' donnés.

Soit a,, «2, . . ., aç(TO)9</»') un système de constantes tisfaisant au système "lU. Le quotient F:(o = Q yu'l' s'eî- . duira sans ambiguïté.

Nous allons maintenant résoudre le même problème par

une autre méthode. Le premier procédé a uniquement pour but de montrer que la division de F par w, si elle est possible, est une opération uni\roque.

33® La condition nécessaire et suffisante pour que o) divise F est celle-ci : on peut choisir les (p(m — i)(p(m' — i) coefficients b d'une forme Q(^; u\ b) d'ordre m — i et de classe m'— I de façon à avoir l'identité

(o) ¥("' '"' \=J' •'iQf'"-' '"'-' ,V \x\ u\ a) \x\ u)^\ X \ M ; b)

L'identification des deux membres de (o) donne les p(/?i)(p(m') relations

==^b^tx^ ]

A = 1, 2, ..., cp(/?i)9(/n') fx=i, 2, ..., cp(m — i)<p(m'-- i)

OÙ les l^^ sont des entiers nuls ou positifs, connus dès que m et m' sont donnes.

Considérons le tableau L, à (p(m)ç(m') lignes et à {p(m — i)ç(m'— i) colonnes, constitué par les entiers /j|i..

Nommons 4^ le rang du tableau L; ^ ne peut dépasser 9(m — i)9(m'— ï).

Je dis que j^atteint effectivement son maximum

cp(/n — 1) cp(m'--i).

En effet, supposons qu'il en soit autrement. Dans les relations (i) on pourra, sans annuler tous les b^ annuler tous les a. La forme Q ne s'évanouirait pas, tandis que le produit F=: (oQ s'évanouirait, ce qui est absurde. Ainsi :

^~cp(m— i)cp(m'— i).

INVARIANTS ET RÉSIDUELLE d'uNE FORME MIXTE. Io3

34*^ 4^ ayant la valeur ci-dessus indiquée, on peut numéroter les a^ de façon que dans le tableau L (33*^) le déterminant obtenu en prenant les (p(m — i)<p(m'— i) premières lignes soit ^ o. Alors, dans le système (i) du 33**, on tirera les Z^jA, en fonction des a^^ des <p(m — i)^(p(m'— i) premières équations. On portera ces valeurs dans les

01L(m, m') = <p(m)«p(m') — ^{m — i)cp(/?i'— ■ i)

équations restantes et Ton aura les d\L(^m^ m') équations entre les a^

|ji = i, 2, ..., ..., cp(/n — i)(p(m' — i) ( a=:i, 2, ..., ..., OÏL (m, m!)

Elles sont toutes distinctes, car le coefficient

ne figure que dans Aa(a) = o. Les d^^ sont des nombres rationnels parfaitement connus dès qu'on donne Tordre m et la classe m' de F.

Ainsi : les OXlÇm, m') équations Aa(a) = o sont les conditions nécessaires et suffisantes pour que F soit divisible par (O. Elles sont le résultat de rélimination, entre les (p(m)(p(/n') équations (i) du 33**, des ^{rn — i)ç>(/7z' — i) inconnues b^.

35** Les D\L(m, m') expressions A» sont les invariants de F. On verra plus bas (4o°) la raison de cette dénomination.

On peut dire : pour qu'une forme Ff ) soit divi-

sible par (O, il faut et il suffit que F ait tous ses invariants nuls.

Des équations (2) du 34*^ on tire

^9(/n-i)?(w'-i)+a = ^a(^) ~^^ ^ajx^(X)

Io4 DEUXIÈME PAUTIE. — CIIAPITHE III.

et, portant dans F ces expressions des coefficients a, on a finalement

lA=ii, 2, ..., ç(/n — i)(p(/n'— i),

OÙ les $« et Q^ sont des formes à coefficients numériques et rationnels ; $« et Q'^ doivent être considérées comme connues dès que m et m' sont donnés.

F est divisible par w dès que tous les invariants A» sont nuls, et cela quels que soient les a,A, notamment quand tous les aji sont nuls, sauf un. Donc Q|^ est divisible par (o, et il vient

36° Simplifions les notations en écrivant simplement Ua pour désigner l'invariant Aa(rt).

Toute forme F peut s'écrire

OÙ les «a sont les invariants, $« des formes données avec m et m' donnés, et P une forme quelconque.

L'expression

sera la résiduelle de F; les $« sont les résiduelles élémentaires pour l"* ordre m et la classe m'.

On voit que

F = F(niocrco).

Dafs le domaine il (Chapitre II), une forme mixte F n'intervient (|ue par sa rc'siducllc, c'est-à-dire par ses invariants,

INVARIANTS ET RÉSIDUELLE d'uNE FORME MIXTE. I o5

car les résiduelles élémentaires $« sont, pour m et m! donnés, les mêmes pour toutes les formes mixtes.

37® Soit une forme mixte

OÙ ^, e', ..., sont des constantes, et /, f\ ..., sont des formes de mêmes ordre et classe que F; alors l'invariant d'indice a pour F est évidemment

«a? «a? • • • étant les invariants pour /, j^,

Théorème. — Les 01l/(m, m') résiduelles élémentaires $« sont linéairement indépendantes.

Supposons, en effet, que l'on ait

une au moins des constantes K^ étant :^ o. La forme

a les Ka pour invariants; F serait identiquement nulle, c'està-dire divisible par co, sans avoir tous ses invariants nuls. Cela est absurde (35^).

38® Théorème. — Pour que deux formes mixtes, d'ordre m et de classe m', ¥ et G soient équivalentes, il faut et il suffit que les invariants soient égaux, ou que les résiduelles soient identiques.

Soient, en effet.

les deux résiduelles, où a^ et a» désignent les invariants.

loG DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

On a

F = F, G = G (modo»)

et

G-F = G-Fz=2(aa-«a)*«=(G-F).

Pour que G— F soit ^o (modo)), il faut et il suffît qu'elle ait tous ses invariants a»— ««(37'*) nuls, alors

aa=aji et G = F.

39® Reprenons (34**) les 0lL(m, m') équations

qui expriment que F est divisible par co. Il est indifférent d'écrire aussi

a' a'z=:i, 2, . . ., on. (m, wi'),

pourvu que la matrice [OFL(m, m')]-aire

R=[/w] ait son déterminant

et définisse, par suite, une collinéation.

11 en résulte que les invariants et les résiduelles élémentaires nesonl définis qu!à une collinéation [01l/(m, m'^-aire près. Mais une fois celte collinéation choisie, les résiduelles élémentaires sont connues sans ambiguïté, et les invariants d'une forme mixte donnée deviennent calculables sans ambiguïté.

40° Dans l'espace, lieu de l'élément {x^ u) (19*^), effectuons sur les X une collinéation au changement de coordonnées

;' Uyj'=iy 2, ..., N),