DOMAINE HOLOÏDE ET COMPLET Q DES FORMES MIXTES. 1 I

Je me propose d'étudier la divisibilité (modco) de F par m, , lequel est un facteur irréductible (modw).

Mettons, dans F, m, en facteur dans les ternies où il figure. Il viendra

F, ne contenant plus m, est un polynôme en x^ à coefficients du type F^**^ Chacun de ces coefficients peut être ordonné suivant les puissances de î^. Enfin on écrira

où les A sont des résiduelles du type F^* *L

La formation F' est permanente (24**), car elle ne se modifie pas quand on ajoute à F l'expression

OÙ P est quelconque.

47® Pour que u^ divise (modco) la forme mixte F, il faut et il suffit, par définition, que

F =1 tti(. ..) -h (0 (...) = ;/j (...)-+- Ç(. . .).

Si F' = 0, F est divisible (modco) par u^. Je dis que la condition suffisante est aussi nécessaire.

Si, en effet, w, divise (modco) F, alors F = o dès que u^ = ïi = o, et cela quel que soit x^. Donc, pour J^ = o, on

Mais les A étant des résiduelles du type F^**\ ne peuvent être ^o (modQ qu'étant identiquement nulles.

Ainsi : F' = o est la condition nécessaire et suffisante pour la divisibilité (mod co) de F par u^ .

Ann. de Lyon, — XTIJ. 8

Il4 DEUXIÈME PABTTE. — CHAPITRE IV.

/jS*" Prenons, comme au /\6^j

A =«,(. ..) -f-ï(...) + ^'y B :=z//,(...)-hC(...)-^B';

'» ^^^^ «X'*! /\p H— i37^ Ap i -+- ... «

B' = xîBy»^-h^î *By V-f-...,

deux formes mixtes dont aucune n'admet (modco) le diviseur Ui : alors

On aura

AB = «,(..,) -h C(...) -h A'B^ A'B'=:a:P-^^A[,»*'By*)-f-^P-^^- ^...)-^....

Si Ton veut rendre AB divisible (mod w) par m, , il faut (47^) écrire que AB = o = A'B' pour w, = ^ = o. A'B' ne contient pas u^. Donc sont ^o (mod^) tous les coefficients des puissances de x^ dans A'B'; notamment Ap**^BJy**^^o (mod^).

Orcelaexige(26«),ouA|,*'^ = o(mod!:)ouB;,**^=o(modO, c'est-à-dire Ap**^ = oou BJy**^ = o, ce qui n'est pas. Alors le

facteur irréductible m^ ne peut diviser (mod eu) le produit AB,

sans diviser (mod w) soit A, soit B.

Nous pouvons ainsi formuler une importante proposition.

Théorème. — Le fadeur u^ , qui est irréductible (modco), est aussi premier (^moàiii) (6**).

49° Soit ay ^ ) une forme mixte du type F^*^ (c'està-dire sans x^ ) non divisible par u^ .

Supposons que a soit divisible (modco) par u^ sans Têtre par u^^\ On dira que p est la catégorie de a.

La catégorie est évidemment une propriété permanente. La recherche de la catégorie se fait sans difficulté ni ambiguïté par la théorie qui vient d'être expliquée (46*^5 47^? 48°). Si a est divisible par m, (modco), on écrira

DOMAINE nOLOÏDE ET COMPLET il DES EOItMES MI\TE;

si H, divise (modw) encore a,, on aura

ai = «,a, et a~u\a^.

et ainsi de suite.

Le quotient (modo)) de a par «f sera une forme ir telle que

d'oi'i

A n'admet plus u, pour diviseur (modto), sinon la a serait supérieure à p.

Se" Lii division (modw) de a par «f est une o|^ univoque (à l'équivalence près), car, si l'on avait à la

il viendrait

et comme u,^o,A'=^A (mod (»)(26'').

Prenons maintenant une forme mixte quelconque

non divisible (mod w) par u, .

Supposons que A, ordonnée par rapport aux pui décroissantes de x,, débute par la puissance x''^, p%n

A— ^PK-+-,<-'L + ....

K, L, . , . T= formes du ijpe F">,

Si R est divisible par «,, K = u,M, on aura

A ^ A. — lax';-' A = A — x^-' &{ii^^,— Z) = x^-' (. . .) -

et ainsi de suite. Bref, eu égard à l'équivalence, on admettre que K n'est pas divisible par «,. Alors

n';A — Kiu^.-v,)i-+Lii,(ii,j;,)P-'+....

IlG nErXIKME l»AnTIK. — <:IIAPITRE IV.

Mais('|>)

a étant une forme du type F '^ D'ailleurs a n'est pas divisible par W|, puisque K ne l'est pas.

Supposons que, par un procédé quelconque, on ait obtenu un entier y, non négatif, et une forme b^ du type P*\ non divisible (mod eu) par ^/,, tels qu'on ait

Il viendrait alors

Si q^ py «< diviserait (modco) soit a, soit b. Donc p = q et a^b. Comme a elb sont du type F^*^, il vient a = b.

En résumé, pour A donnée à l'équivalence près, l'entier p et l'expression a sont connus sans ambiguïté.

a a évidemment m pour ordre, m'-\-p pour classe. jNommons/?' la catégorie de a. Il viendra à la fois [A étant le (juotient (modco) de a par w'J J

ji'l A = <7 et uP^'J{ = a (49° ),

c'est-à-dire

Si p' ^ p^ il faudrait qu'une des deuxformesmixtes A et5L fut divisible (modco) par «,, ce qui est contre l'hypothèse.

Ainsi, /?' = /? et A E^ Jjt.

Pourra donnée, l'entier p et la forme A sont donc connus à l'équivalence près, p sera la catégorie indifTéremment soit de a, soit de A.

5i** Nous pouvons donc énoncer la proposition que voici :

Théorème. — A toute forme mixte A, ayant m pour ordre et m' pour classe, correspondent sans ambiguïté un entier non négatif a (la catégorie) et une forme a, du

DOMAINE IIOLOÏnF. ET COMPLET iî l>KS KORMKS S

typ»^ 1'"'", t<ill<' que u'A^^a (modw). a est d'or classe m' -h a..

Ucciproquement : Si l'on se donne a, ta ca.

la forme A s'obtiennent sans ambiguïté^ à /'■ près.

Il doit être spécifié : i" que A n'est pas divisi paru^ (^et alors a n'est pas divisible par tt,); -2' pas divisible par u, [et alors A n'est pas divisi par «,].

On désignera dans la suite : une forme mixti sihle ( mod 11)) par «,, parla majuscule latine A, f la catégorie, parla minuscule grecque a; la fc pondante du type F'", par la minuscule latine a.

Sa" Théorème. — Pour que A divise (modw) 1 il faut et il suffit que a divise c.

I, La condition est nécessaire. ~- Kn effet, s' - forme li telle que C^ AB(moda)), 011 aura

et

«î^fc = ««+f>+ïC = «î-P-ïAB = u\ab.

Comme a, b, c sont du type K'", il vient

«, ne divise ni a, ni A, ni c. Donc y = « -H f( et e

Il ne peut d'ailleurs arriver que B, quotient (; par A, soit divisible (modw) par u,, car alors aussi (modo») la forme C, ce qui est contre l'hyp

II. La condition est suffsante. — Nommoi tient Ca. La forme mixte correspondante B n'( siljle (mod (o) par u, (Ôi"). On a encore

rt = ««A, 6 = hPb, c:^ab = u\i:

ab= H*^ 3 AU = «"[€.

Il8 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

Si a-i-|S>Y, 1/, divise (modw) la forme C, ce qui est contre l'hypothèse.

Si Y>a-hP, M, doit être un diviseur (niod(o)du produit AB. Or u^ ne divise (modo)) ni A, ni B ; i/, est un facleur premier (modoi) (48'*, in/inr). AB ne peut admettre w, pour diviseur (moda>).

Bref Y = a-+- p et Ci£^ AB. c. q. f. d.

La présente démonstration a un corollaire évident : la catégorie d^un produit est la somme des catégories des facteurs.

Dans cet énoncé il est indifférent d'entendre, soit la multiplication ordinaire pour les formes du type F^*^, soit la multiplication (modot)) pour les formes mixtes.

53° Soient A et B deux formes quelconques non divisibles (mod (o) par m, (5i", in fine). Nommons rf, de catégorie 8, le p. g. c. d. de a et de b. d existera toujours, puisque le domaine constitué par les formes du type F^*^ est complet (45^). Je dis que la forme mixte D, telle que

d^ u\ï) (modw),

est le p. g. c. d. (modco) de A et de B.

D'abord D, en vertu du théorème du 52*^, est un diviseur (modco) commun à A et à B, puisque d divise a et b.

En second lieu, soit D', de catégorie o', un diviseur (modco) commun à A et B. Le facteur d\ tel que d'^u'^D'^ divise (théorème du 52°) a et 6, et aussi leur p. g. c. d. qui est d. Puisque d' divise rf, à son tour (théorème du 52°) D' divise (modco) la forme D.

Ainsi D est le p. g. c. d. ( modco) des deux formes A et B.

On écrira (i) A=DP, B = DQ.

Multiplions maintenant A et B par u\ et w';^, X ^ [x, de façon à introduire les deux formes mixtes quelcon(jues

L~ii\K el xMEzz/zJfB.

DOMAINE HOLOÏDE ET C.OMI'LET il DES FORMER MIXTES.

Je dis que L et M admettent A^u^D pour leur p. g. (modu).

En effet, d'abord [formule (i)],

L^u\Dl> et M^wf-^'uiDQ,

et A divise (modœ) tant L que M.

Soit, d'autre part, H^«JR un diviseur (modw) coni à L et à M; cela est tout à fait général, en prenant, éven lement, p = o. Soient

«7S=L:H et H;ï = M:n.

On aura

L ^ u\ A = «'^"RS, M = wf B = «Î^-^KT.

Alors

P — ^ — = — ;j. — t, pV-; A = RS, H = KT.

R, divisant (mod to) A et lî, divise (inodM) leur p, g. D et H divise A. On a

a:H = m,-pG, G = D:R.

54" On est maintenant à même d'énoncer la propos capitale de la présente théorie.

Théorème. — Le domaine holoïde il des /ormes m est un domaine complet.

Dans ii :

Tout facteur irréductible est aussi un facteur premier

Toute forme mixte est décomposable en un produi facteurs premiers, et cela d'une façon unique à l'équîval près; il y a des formes mixtes premières entre elles, i à-dire dont le p. g. c. d. est d'ordre et de classe nuls, oi constante;

Une fraction (29°) est réductible à sa plus simple ex] sion ;

Etc., etc.

L'algèbre des /ormes mixtes suit les règles de t alg et de l'arilhmclique ordinaires.

Pour la démonstration de toutes ces propriétés, nous ren- »rrons au Livre de M. Kônig.

55° On a dit (19") que, dans une forme mixte

s Uj et j,-,- étaient les coordonnées d'un élément. On a lonjement tenu compte de la relation oj = o, mais on n'a pas irlé des relations

ni fixent, pour le point x et le plan «, la valeur absolue des )ordonnées homogènes x, et «,-.

Cette omission aflecte-t-elle le théorème capital du 5^"?

Il est aisé de voir que non.

En effet, toutes les notions sur lesquelles s'appuie le théo- •me [équivalence, multiplication, division (modco), ...] se ■solvent, en dernier ressort, en identilés ordinaires, où les sux membres sont des formes (non plus mixtes, mais à 2N irlables indépendantes x^- et «,) de même ordre et de même asse. Ces identités ne sont pas troublées quand on remlace x'i et «, respectivement par x\^^ ^x^ et u~ lu,, où p . Œ sont des quantités quelconques, ni nulles ni infinies.

Il suffit de faire

>ur satisfaire aux conditions

ins changer l'élément (.f, u) ni porter atteinte au théorème j 54".

Nous ne ferons donc plus mention des sujétions

CHAPlTRIi V.