DIVISEURS DUNE FORME MIXTE DONNÉE

SG" Voici le problème qui va nous occuper : troi les diviseurs (modoi) d'une forme mixte donné faisant intervenir que les propriétés des invarian résiduelles élémentaires, expliquées au Chapitre on gardera les notations et la terminologie.

Il suffira évidemment de résoudre ce problème poser (modw) la forme mixte C( produit de deux formes mixtes

."C: "u) " «(". «> d'ordres et de classes donnés.

5-" Soient «, p, ^ des indices prenant les valeurs jusqu'à respectivement

3IL(m, m') pour a, 3^(n, «') pour p,

3n.(»n-«, m'+«') pour y-

On désignera respectivement par ^d, les résiduelles élémentaires d'ordre m et de cla^si

o. Le. iniaiiaiilsdeA;

De sorte que

A étant la résiduelle de A, etc.

On a

A = Â, B=eB, donc

Les deux formes C et A B étant, par hypothèse, équivalentes ont même résiduelle et

C=^c^ey = y^aa,b^'i^ (38o).

L^expression (numériquement parfaitement connue avec les quatre entiers m, n, m\ n') Oa^p ^st une résiduelle Hw4-«,m'4-rt') d'ordre m -f- /i et de classe m' -\- n\ Donc

OÙ les /'a^Y ^^^^ ^^^ nombres rationnels, parfaitement connus, dès qu'on possède m, n^ m' et n' .

On doit donc avoir

Y ap

et comme les 0^ sont linéairement indépendants (^7**)

(o) Cynz^fla^prapy.

ap

Telles sont les relations qui lient les invariants d'un produit aux invariants des facteurs.

DIVISEURS U USE KOUME MIXTE UOKSÉE.

58" Introduisons des variables x^, jp, :^ et considéro système

Envisageons enfin :

Le tableau a: = || Xj,y || aux 3K.{/n + n, m'-i-n') colon désignées par le second indice y, et aux 3R.(m, n;') lignes signées parle premier indice a;

Le tableau -7= |[ Yp^ |! aux3TL(m + n,m'-\-n') colo et aux lignes, au nombre de 3n.(«, «'), désignées par le mier indice p.

Soient ifiefî! respectivement le nombre des combinai de 3IL(m -+- n, m' -h n') objets pris 3tL(m, m') à 3tu(/n, i ou pris 3IL(«, n') à 0R,(«, n'),

-X fournira Jtt déterminants S(j)'), formes bomogcni de dimension 3iL(wi, m') enyp. g' fournira de même ÎJ d< minants, formes homogènes de degré S\i(n,n') en x^, Ton nommera H(,c).

5(1° Lemhe. — Z^« expressions ^(y) n'ont aucun , commun, sauf, hicn entendu, y^ = o.

Soit, en cn"et,y = /', c'esl-à-direyp= b^ un zéro comn Le système

ide au moins une solution x^^ a^ où les «a ne sont tous nuls. Nommons A et B les formes mixtes qui admet les (la et les ip pour invariants. La forme mixte AB(mo aurait ses invariants donnés par la formule (5j°, in fuie)

12^1 DRIXIÈME PAUTIE. — CHAPITRE V.

On aurait donc deux formes mixtes A et H dont aucune ne serait : — o(niodw), tandis que l'on aurait AB^o, ce qui est absurde (2()°).

De même, les H expressions H(x) n'ont aucun zéro commun, sauf, bien entendu, Xa^= <>•

Il résulte de là que le système

peut être impossible, mais ne sera jamais indéterminé pour aucun choix des données c^ el a^^.

C'était à prévoir, car si C est divisible (modto) par A, le quotient B est unique et bien déterminé.

(io** L'élimination des j^p entre les équations fournit un système Z de r relations du type

(Z) Zp(j;.r)=iy^5yPpy— o lp = i, 2. ...,/•;,

OÙ les P sont des expressions H(x).

On remarquera que tous les zéros communs aux r expressions Zp(c;x) sont mobiles, pour c donné, avec c. Autrement, pour un pareil zéro commun, x = a, on aurait Zp(z; a) = <> pour ;: quelconque. Les H (a) seraient tous nuls, ce qui est absurde (Sq^).

Gi*^ On est maintenant à même de chercher si une forme mixte donnée C, ayant m -^ n pour ordre et m-hn' pour classe, admet pour diviseur (modco) une forme mixte A d'ordre m et de classe m' donnés.

Nommons c^ les invariants de G et Xa les invariants inconnus du facteur inconnu A.

DIVISF.URS D VSV. PORMI!

On posera i m média le ment (60"

Z peut n'avoir aucune solution, diviseur (modo)) ayant m pour Z peut posséder un nombre fini de ; distinctes ou confondues. Chacui un diviseur (modw) de C. En effel

cessera d'être impossible, sans jaii terminé.

62" Je dis que le système Z ne p( une inlinité de solutions. Si, en el tisferait au système Z en posant x ramèties / restant arbitraires; a^ fonction algébrique des /.

Nommons A, la forme, d'ordre pour invariants les expressions a, les /. On a

C=«ÎP

et, pour un certain clioiv dos /,

les formes P et Q( n'admettant plus p et q, étant des formes du type F posei-a (îJo/r Cbapilre précédent),

où CI est la catégorie commune à 1 commune à Q, et g,.

Par bypottiése A, est diviseur (r

I2() I)Ki:xu:me kvutik. — ciiaimtue v.

divise P et ( ihéorème du .12'*) q^ divise/?. Cela subsiste quand les t varient dans de certains intervalles. Or p, polynôme aux 2N — 1 variables indépendantes j?2, x^^ ..., w,, «2, .. ., à coefficients donnés, n'admet pas de diviseur mobile avec les /. Donc q^^=q ne dépend pas des /. Alors (théorème du ji^) y^, Qf, ^^ sont connus sans ambiguïté et ne dépendent pas des /, ce qui est contre riiypothèse.

La proposition est démontrée.

G'i" En résumé, LoiUe forme mixte admet un nombre fini ^ qui peut être zérOy de dii^iseurs (modo)), qui aient une classe donnée et un ordre donné,

La méthode qui vient d'être exposée permet effectivemenl, et après un nombre fini et limité d'opérations algébriques, de trouver tous les diviseurs (modco) d'une forme mixte F, de trouver les diviseurs de ces diviseurs et ainsi de suite. On dressera la liste de tous les diviseurs ou facteui's irréductibles (modco) de F. On sait, d'ailleurs (le domaine ù des F étant complet), que tout facteur irréductible est aussi premier (modo)). Le même raisonnement qu'en arithmétique élémentaire permettra d'écrire, sans ambiguïté,

"-ni^'Cr;;')!'' <■"»""'•

\ /W/a^^^ ordie de F, ^//ijŒ/^= classe de F,

OÙ les A/ sont les différents facteurs premiers (non équivalents) qui divisent (modo)) la forme F, chacun de ces facteurs n'étant défini qu'à l'équivalence près. Il sera loisible de remplacer chaque A, par sa résiduelle, laquelle est bien déterminée.

Le plus grand commun diviseur (modco) de diverses formes, leur plus petit commun multiple (modco) s'obtiendront par des procédés calqués sur ceux de l'arithmétique élémentaire.