DIVISEURS D UNE FORME MIXTE DO^NEF

6/\° En résumé, le domaine Cl tics formes mixtes e seulement complet, mais encore bien défini (9° et 1 8"

Dorénavant, j'appliquerai aux formes mixtes les ordinaires du calcul algébrique, J'indiqneraîles congn (modoj) par le symbole habituel = de l'égalité. Sai contraire,

A — B voudra dire A = B (mod.o).

CHAPITUE VI.

65° Soit

un tableau à m lignes et à /i colonnes, où les éléments a sont des formes mixtes. L'ordre (ou la classe) de a/y est la somme de deux entiers dont chacun ne dépend que d'un seul des deux indices i et y.

Considérons r indices /', rangés en ordre croissant

Les /• lignes correspondantes formeront une zone de largeur i\ De même r indicesy, rangés en ordre croissant

détermineront une bande de largeur r. Il y aura

©(m, /') = — r;^ -7 zones et o(n, /) bandes.

^^ ' ' r\{ni — r)\ .v » ^

On numérotera les zones par un indice a. variant de i à (p(/;i, r), et les bandes par un indice p, variant de i àç(/z, r). L'intersection de la zone a avec la bande ^ définit un déterminant r-aire, A^p, mineur du tableau a,. Les A^p sont les éléments d'un tableau à î>(//^, r) lignes et ^(/i, r) colonnes,

Aa^ a respectivement pour ordre et pour classe les exprès-

sions

Aa4-M^, A;4-M^,

Aa=: //,-+- X/,-f- . . . 4- X,,., iMp z= {Xy, 4- . • . -h fx,,.,

a;= x;,+ . . ., Mp= fx;,H- . . * -i- (i.;^.

Ainsi, tant pour a/y que pour A^p, Tordre (ou la classe) est la somme de deux entiers dont chacun ne dépend que d'un seul des deux indices i ou y, a ou p.

G6^ Admettons que le rang du tableau x soit r, autrement dit que les déterminants (r 4- i)-aires soient tous nuls, un au moins des déterminants /-aires étant 15?^ o. La zone (bande) d'indice a (ou p) sera actwc si elle contient au moins un déterminant r-aire, différent de zéro. La zone ou la bande sera inaclive dans le cas contraire.

D'après un théorème bien connu (Frobenius, J. f. r. u. a, M. y t. 82, p. 240) : Le rang du tableau J3i sera un. Autrement dit : dans une même zone (ou bande), le rapport de deux déterminants d'indice p et P' (ou a et a') est le même quelle que soit la zone (ou bande) considérée. Ce rapport ne dépend que de ^ et P' (ou a et a').

67*^ En vertu de ce qui vient d'être dit, on pourra écrire

successivement

Agp __ Ag^p Agp' Agp;,

et, par multiplication,

Agp __ Ag^pAgp;^ ^ Aa'P' Ag^p'Ag'p;,*

d'où

Ag'ft'

Fixons, une fois pour toutes, les indices a©, a', P', ^'^. On pourra écrire

et dire que Agp est le produit de deux facteurs dont chacun ne dépend que d'un seul des deux indices a et p.

Ann. de Lyon, — XIII. (j

l3o DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

PaCt Qp sont des quotients de forme mixtes. Je dis plus, et que P« et Qp sont des formes mixtes,

68** Réduisons, en effet, les Pg au même dénominateur, et mettons en évidence le p. g. c. d. des numérateurs. On écrira

■a — TT"'

OÙ les poi sont des formes mixtes premières entre elles, où p et p^ sont deux formes mixtes premières entre elles. De même

et enfîn, K^ et Lp désignant des constantes arbitraires

«3 Va / \ 3 /

=/'7(2Ky.)(2Ly)-

Les facteurs premiers de ^.^p ou V Ly changent tous avec

le choix des constantes K ou L. En effet, si le facteur pre* mier et divise

quels que soient les K, xs divise aussi & quand tous les K, sauf un, sont nuls, cor diviserait chacun des /?«, ce qui est absurde.

Pq divise le second membre de l'égalité (o), sans pouvoir avoir aucun facteur premier commun ni avec p^ ni avec

ni avec VLç'. Donc p^ divise q^q'= q'Po' De même p = p^q^

Aap— - — — —PPoL-qq^-

/'oyo

C'est ce qui était à démontrer, car on peut écrire

^\ — p'P:*.^ Qp = q'q^'

69" En résumé, dans un tableau X de rang r, les

déterminants r-aires A^p sont chacun le produit P^Qp deux /ormes mixtes dont chacune ne dépend que d 'un s< des deux indices a et p.

Cette proposition nous sera très souvent utile,

70" ConsidèroDs les m équations

aux n inconnues Çy. H n'est ni plus, ni moins général prendre les r équations distinctes que l'on obtient en coi dérant une zone active quelconque d'indice a, par exem[ Complétons une matrice «-aire en écrivant au-dessous la zone active de r lignes, n — r lignes composées de qu: lités quelconques

mais choisies, une fois pour toutes, de façon que le déteri nanl G de la matrice soit différent de zéro. Cela est tonjo possible puisque la zone est active.

Frobenîus (/. c, p. 237) démontre que les valeurs les f générales des ^j sont données par la formule

<■'' !'=2''-£> K,= co„„..rbi„.

Autrement dit, toute solution de (o) s'obtient en attribu aux constantes Kp des valeurs convenables.

P« et Qp ayant le» significations expliquées ci-dessus, évidemment

où les Gp(^) sont des polynômes homogènes en bpj, c\ à-dire les déterminants (n — /■)-aires du tableau ||6ayjj.

l32 DEUXIÈME PARTIE, — CHAPITRE VI.

On peut donc écrire la formule (i)' ainsi

(0 ( ^ dG i'^~'''^' '"' ^'

^1** Examinons pareillement le système de n équations, à m inconnues

On prendra encore, dans la table x = \\<^ij\\ une bande active de /• colonnes. On complétera une matrice m-aire en ajoutant m — r colonnes, dont les éléments C/^, ex = i , 2, . . ., m -— r auront été choisis de façon que le déterminant H de la matrice m-aire soit ^ o. Nommons ^ l'indice de la bande active. Il viendra

IIr=Qp2PaHa(c),

les Ha(c) sont les déterminants (m — /•)-aires du tableau

\\Ci<y\\\

ce sont des polynômes homogènes par rapport aux c/a avec le degré m — /'d'homogénéité.

L'expression la plus générale des ^^ sera encore

( y Vî p ^^«(^^ 1

L ^/-^i^ai « -^^ j L^- consl. arbitr., (0 <: ^ ôH (c\\ ^ = '^ 2, ...,m — /•,

~2^'*2''^ àCi^ \ '^~'' 2,^..., q)(w, /•),

72® On considérera aussi les équations

OÙ les tj sont des variables indépendantes. Il viendra, d'après

ce qui vient d'être expliqué,

— ^\ ^iW ■ a

dco

fVra

Les L<, sont des paramètres arbitraires. Des théories bien connues apprennent qu'il existe, entre les :;/, m — r relations distinctes, linéaires et homogènes. Donc ces m — /• relations sont