V. Vp 2lhl

73** Dans le tableau x du 65^, de rang r, prenons un déterminant r-aire S ^^^ o. On peut toujours faire

Mf ^ t m m (l

Ce /• I • • • Cl mf

Pour que X ait le rang r, il faut et il suffit. qu'on ait (Fno- BENits, J.f. /•. u. a. M. y t. 82, p. 239),

rt I I ... tï| y âf|V

Cl rx ... Cl Vf Cl

rr^ry

0^1 . . . Cl^i'Cl^^

pour toutes les combinaisons ___ . , d^indices ji et v, tels que

r<fji^m; /•<v^/i.

D'ailleurs si (jl ou v était ^r, le déterminant (r -4- i)-aire correspondant A s'évanouirait identiquement.

Bref on a

C^^ I . . . Clfi CL\j

ri • " • ^ l'f'^ l'j

Ct/i ... Clff ci ij

Développons A,y par rapport aux éléments de la (r 4- 1 )-ième

l34 DEUXIÈME PARTIE. — CHAPITRE VI.

et dernière colonne. Il viendra

Les 3-^ ne dépendent pas de Findicey et l'on a la formule

définitive

(o) Qa^j^'^EuDj

où Q, E„, Djg sont des formes mixtes.

74** Posons

( ii=i, 2, . . ., m; y =z I, 2, . . ., /i; 5zz: i, 2, ..., r )

Je dis que le tableau E à m lignes et r colonneSy ainsi que le tableau D à n lignes et r colonnes sont tous les deux corrects.

Soit, en effet, A un déterminant r-aire de Jl, obtenu (65®) en prenant les lignes «,,«2, ...,if^et les colonnes y,, yj) •••lyV- On verra sans peine que, en vertu de la formule (o) du 7*3*',

(i) dzQ'-ArzfCCK),

où C est le déterminant r-aire de E obtenu en prenant les lignes i,, . .., «V? et (B est le déterminant r-aire de D obtenu en prenant les lignesy\, . . .,yV.

Si tous les C étaient nuls, ou tous les (D étaient nuls, les A seraient également tous nuls; le rang de X serait inférieur à r. Gela établit la confection des tableaux E et D.

D'après le théorème du 69**, on doit avoir, dans la formule (i) ci-dessus,

C^ et (Do étant les mêmes pour tous les C ou pour tous les OD.

Les formules du présent Chapitre auront leur emploi dans la Troisième Partie.