çl

Seront alors définies sans ambiguïté une substitution bira tionnelle s

0,(5; if)

4/(«; il')

et son inverse

0,(5; iV)

II'

0(c;iv) Ti(5; «')

On aura identiquement

^T'^^Fo), 2^^"Q^»

autrement dit V expression co sera un invariant vis-à-vis de s et 5"'.

Pour mettre en évidence les ordres /w, /i, p, y et les classes m\ n\ p'^ q\ on écrira aussi

DEt'IMTION DES CnEHOMENNES

^i%iy; i-)=fii(y; r); «,^,(r;") '- Cliaciine des égalités

sera unn conséquence de l'autre, et l'on pe menfs (x, u) et (y, c). On écrira

(X,i') = sU:r,u)l (:r,«)=-.5-'[

et l'on dira que l'élément

(j, <■) est Yimage par i de l'élémen

4° Admettons enfin que. vis-à-vis de I DU S"', l'expression

soit un invariant. Nous étudierons plus ioii tions algébriques de cette propriété. Alors s la situation réunie des éléments infinimer sont des substitutions biralionnelles de c dront, par déRnîlion, !e nom de xubst niennes {') (Beige, 5").

5" Soient deux crémoniennes

Le produit s's sera, /jar déjinition, la sul

(') Ne pas conroadre avec la sobstitution Cremoaa nologje, est une snbstitution birationnelle ponctuelle.

l38 TROISIÈME ÇARTIE. — CHAPITRE I.

S S est aussi une crémonienne et les crémonienncs forment un groupey le groupe crémonien (pour la démonstration : Belge, 6**).

6® Soit une matrice N-aire

^ = [«/>]^ |A| = i iiVy = i,2, ..., N|.

On vérifie immédiatement que la substitution

est une crémonienne

avec

l'[iv]

pour inverse (Belge, 7®). C'est le changement de coordonnées le plus général.

Pareillement, la substitution d'échange (Belge, 8**)

est une crémonienne

C'est la transformation par polaires réciproques^ la quadrique de base étant V ^^ = o.

7® Nous prendrons dorénavant pour coordonnées courantes, non plus z et w^ mais x et m, et nous écrirons, comme algorithme des crémonienncs.

UÉFIMTION DES CRKMOMCKNES.

8" Il importe de préciser maintenant la notion de b tionnalité ou l'inversion d'une crémonienne (Belge, 9") Considérons les équations Ù

au nombre de 2N + i, entre les 2N inconnues y, et p,, 1 ment {x, u) étant momentanément fixé.

Le système Q est compatible, puisqu^il existe déjî moins la solution

j yi=fi{^; «):¥«(^; «),

Le résultant du système Q, qui est une forme mixte e et «,, doit être divisible par to, et nul sous le bénéfic a> = n.

Un élément (y, v) dont les coordonnées satisfont au tème ii sera une solution propre si {y, v) dépend à la du point x et du plan u, et si (y, c) parcourt Tespace entier quand (x, u) parcourt cet espace.

Toute solution (y, c) qui ne répond pas aux condit précédentes est impropre. Il y a plusieurs façons d'être j une solution impropre.

{y, f) peut ne dépendre que de x et rester fixe quar plan u tourne autour de x.

{y, v) peut ne dépendre que de u et rester fixe quar parcourt le plan «.

Enfin (y, f) peut être absolument fixe et avoir pour c données des constantes.

irjo