CHAPITRE I
J'admettrai que Q possède une et une seule solution propre. Elle sera forcément rationnelle et coïncidera avec la solution (o). La ratîonnalité sera une conséquence de Tunicité de la solution propre ( * ).
Si la solution propre et unique est supposée exister toujours, les solutions impropres n'auront qu'une existence éventuelle.
Remonter des formes ç,- et vp, (ou 0/ et y],) aux formes 0, et T]/ (ou Ç/ et'^/), ce^i faire l'inversion de la substitution s (ou s~^). D'après ce qui précède, l'inversion sera une opération univoque.
Il est donc indiflPérent de construire soit *, soit 5~* , puisque; chacune d'elles fournit l'autre sans ambiguïté.
9" On ne considérera pas comme distinctes les crémo-
niennes
s et a6'b,
où a et b sont ou des coUinéations (crémoniennes du type du 6°) ou des substitutions d'échange (6*^). Cela revient, en effet, à introduire dans l'espace des changements de coordonnées ou la dualité.
Soit (Belge, i3«)
sz
-i-fp p' p p'
car
{st)-^=ts-K
(*) Il est à peine besoin de rappeler qu'un système d'équations algébriques peut posséder une solution rationnelle, sans que cette solution soit unique. Par exemple, dans le cas le plus simple, prenons les deux équations A = B = o
S'il y a une racine commune, elle est rationnelle. Mais, si le p. g. c. d. des deux polynômes A et B est {x — c)Y, la solution deviendra y-uple, sans cesser d'être rationnelle.
DÉFINITION DES CRÉMOiMENNES. l4l
Construire *"' et 5£, au lieu de 5, c'est donc effectuer, sur les huit entiers
les permutations ou substitutions suivantes :
a = {mp) {ni'p') (ng) (n'q*), a' = i, ? = (mm'){nn')ipq){p'q'), ?«=!.
Nommons F le groupe entre huit lettres dérivé de a et ^. On a
Y = «P = (w^/i'/?') {pni'q'n), Y^= i ;
r contient le sous-groupe Fq constitué parles puissances de y et permutable à toutes les substitutions de F. Ainsi F contient les huit substitutions
Y =1 ( m^ ...)..., y' =: (//i/i' ) . . . , y' = ("^P' •••)•••> " = {f^^P) • • • » «Y = (m//i')..., 0L-(*=i{mq')...y aY'= (/w«)... .
Donc, 5t /^o/^ a à faire une hypothèse sur un des huit entiers m, ..., y', il est indifférent de la faire sur n^ importe lequel des huit entiers.
C'est une facilité dont j'userai constamment dans la suite.
lo*^ On pent définir les éléments (x, u) et { y^ r) par leurs coordonnées non homogènes (Généralités, i^) X^ et uip respectivement }a, ^ = i, 2, . . ., 2N — 3j. Unecrémonienne^ se traduit par les relations
où ^et d\L sont des fonctions rationnelles.
l42 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE I.
Les matrices (2N — 3) — aires
ont leurs déterminants :^ o.
En effet, le déterminant de [/pa] est le jacobien
Si J est zéro, -les [x sont liées par une relation au moins. Alors, quand l'élément (a;, u) parcourt tout l'espace, l'élément (^, v) ne parcourt pas tout l'espace, ce qui est absurde.
De même pour le déterminant de la matrice [/Wap].
11^ On supposera, bien entendu, toujours les N formes mixtes
?i, 'tô ^i ou 7),-,
premières entre elles (modco). Sinon, on supprimerait le facteur commun, qui disparaît dans les quotients
?i:?o, 'l'/I'l'oi ô/:0o, rii'.r,^,
ce qui réduirait les entiers m, ...,?'• 12** Il est indifférent d'écrire :
f m — I ni' — i\
y-/ 5 ?n To ^i = forme mixte quelconque.
DÉFINITION DKS CRÉMONIENNES. l43
Alors les dérivées partielles s'accroissent :
Toutes les propriétés où interviendront les dérivées partielles devront donc être permanentes, c'est-à-dire indépendantes du choix des a,, p,, y/, S,.
i3® Pour abréger Técrilure, j'écrirai j t,y = i, 2, ..., N } ;
J, #/ ai' — ^'
