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TABLEAUX CARACTÉRISTIQIJKS d'iNE CRÉMOMENNE, l!\'J

20^ Théorème. — Le tahleauV est correct et possède son rang maximum 2N.

En effet, si le rang de V est inférieur à 2]\, on peut construire au moins un système de 2i\ nombres Uy et ^j (dont au moins un différent de zéro), tels que les écjuations Z du 19^ soient satisfaites.

Imprimons à l'élément (a;, u) un déplacement infinitésimal qui l'amène en

dz étant un infiniment petit quelconque.

Il viendra alors

o = d^iT=y^^ijdxj'^'^Yfjduj=zd'A ^^ij'Jj-^..,. ,

en vertu des relations Z du ig"". Enfin

avi^z — rf— ==0.

On pourrait donc bouger l'élément (a;, u) sans que l'élément image (^y^ p) bouge. Alors, en coordonnées non homogènes (10°) (Xp et Xg, on aurait pour un choix convenable des différentielles dk^

Cela est absurde (10^), car le jacobien

(/ ( ^lî A2, • • • )

serait zéro, ce qui n'est pas.

Le théorème est ainsi démontré.

i8 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE II.

21" Au tableau V ajoutons une première colonne, formée e 2N -t- I constantes arbitraires a,, b,, K.

En vertu du théorème précédent, le déterminant iN + i)-aire

I K Uj Xj t difTérent de zéro.

22° Théorème. — Le rang du tableau

t permanent et égala N et le tableau est correct. Écrivons le système des 2N H- i équations

yf'ih-

-'^^'ih — '^'hh-

IX N inconnues tj. La permanence du rang se démontrera mme au 19".

Cela étant, supposons le rang du tableau t inférieur à N. >us les déterminants N-aires de t sont nuls. Le détcrmint CD du 21" aurait une bande inactive (66°, Deuxième irtie) de N colonnes et serait nul, ce qui est absurde (21"). \ donc le rang N. c. Q. F. D.

On verra de même que le rang est N pour les tableaux

!?:( iM i*:j {i[ '{li \:s

23° Théorème. — Le. rang du tableau

^-1„ xi t permanent et égal à N + 1 ; le tableau est correct.

TABLEAUX CARACTÉRISTIQUES d'uNE CRÉMONIENNE. i49

Pour établir la permanence du rang, il suffira de considérer le système de N 4- i équations aux 2N inconnues Uy et^y

et de raisonner comme au 19^.

Si le rang de G est inférieur à N -h i on peut, au moins d'une façon, trouver N H- i quantités a^ et a, telles que

ces quantités n'étant pas toutes nulles. Amenons l'élément (a?, u) en (a? -h dxy u -f- du) et formons les expressions

olq diji •=! olA^,^ du -\-^^u dx I ,

^ctd^ —^ciid<fi—^cLi ^^,j dxj-^^^)j duj \ I t \ J J 1

=^dxj^ Cl, <?,7 -h ^ duj 2 a, (p;.^ .

En vertu de (i) il vient

(2) ^a<:/o — ato^w-o,

c'est-à-dire V a rfç = o, puisque do) = o.

Mais, en vertu du théorème d'Euler, (i) donne de même

(3) 2 ^y^ a,cp,y ziz m 2 acp zz: Xo ^XU =: ao w = o.

Alors, en vertu de (2) et (3),

THOISIKME PARTIE.

Ainsi Tcxprcssion ^ a </y est nulle, quel que soit le déplamcnt inOnitésimal imprimé à réiément {x, u).

Revenons aux coordonnées non homogènes fXp et Xa du lo". Les N — I quantités (a, , [Aj, ..., it-^-x sont les quotients

La relation infmitésimale

^A.rfH.^

est satisfaite pour tout déplacement infinitésimal dé (x, u), ;st-à-dire pour tout système de diiïérentielles (A^. On a ainsi, avec les notations du 10°,

i dka sont quelconques cl

Comme les A, 11e sont pas tous nuls, le tableau

[(„], ou L,

\ — I lignes et 2N — 3 colonnes a un rano; inférieur à — I. Notamment les déterminants (N — i)-aires de L sont is nuls.

Mais, dans le déterminant (2N~3)-aire H de la ma- "c [/pa]i 1g tableau L est la zone constituée par les N — i îinières lignes. La zone serait inactive (66", Deuxième rtie) et le déterminant H s'évanouirait. Celte conséquence impossible (10") et le théorème est démontré. La même démonstration vaut pour les trois tableaux (16") doi'urs à r.

TABLEAUX CARACTÉRISTIQUES l> UNE CRÉMONIE.NNE.

2 4^ Je passe maintenant au tableau

à N -h I lignes et N colonnes.

Le rang de \i^\ est permanent. Considérons, en effet, le système des N -+- 1 équations

^'^ijh=^ ujtj = o, [i, y z= I, 2, . . . , N ],

aux N inconnues t. Si l'on change (12®) Ç/y en 9,7+ a,ay, le système T devient

et ne change pas. Le raisonnement s'achève comme au ivf. Soit rie rang de }ç{.

Il est facile de calculer l'ordre et la classe des déterminants /-aires fournis par le tableau jçj. Les éléments des N premières lignes sont

X ; Il )'

ceux de la dernière sont les Wy, formes ayant zéro pour ordre et I pour classe.

Soit h un déterminant r-aire de j 9 {. On aura

'/•(m — i) rm'

rm \

si les éléments de la dernière ligne ne figurent pas dans h. Dans le cas contraire, on a

Le rang r de j 9 î ne peut dépasser N, cas où le tableau est correct. On ne peut avoir r — o. Les cas r = i ou 2 seront

l52 TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE II.

discutés au Chapitre V. Je supposerai provisoirement que r>3.

25** Je désignerai par r^ le rang de [<pj. De même, les tableaux

\?'U Kt, !ft, \^U \^'U hl> IVt

auront les rangs respectivement

tous compris entre 3 inclus et N inclus, et tous permanents.

La valeur de ces huit rangs est un très important caractère pour la classification des crémonienncs. Ces huit rangs ne peuvent être à la fois choisis arbitrairement. Nous verrons plus loin (44**) des égalités entre les huit rangs. Voici des inégalités immédiates.

Prenons le tableau (22^) correct

et, dans t, un déterminant N-aire

Toute ligne de t appartient soit à j ç {, soit à \'\f\. Supposons que H emprunte p lignes à { ç | et N — p lignes à j 4* j- On aura évidemment, puisque H ^ o,

et, par addition,

De même

r<p'-|-/*^'>N;- ro-hr^^N; ro'-h/y^N.

Prenons maintenant le tableau (23®) correct

TABLEAUX CARACTÊRISTIQl'ES d'uNE CRÈMONIENNE. i53

et, dans ce tableau, un déterminant (N H- i)-aire

Toute colonne de C est une colonne soit de } ç !, soit de j ç' j. Supposons que g emprunte a colonnes à } 9 { et N -h i — a à î 9'}. Puisque

on a

dlr^, N-hi — <»-/y, d'où

(2) rç-+-/y^N-+-i.

Pareillement

26® Nommons, pour abréger le langage, conditions de contact celles qui expriment que l'expression

y^ u dx

est un invariant (4®) vis-à-vis de la crémonienne s. L'expression ^l^*^? ^^ devra, sous le bénéfice de co = rfco = o, dif-

rer de Vwrfj? que par une forme mixte multiplicateur. On doit donc avoir

^^ d^ ^z \^u dx + kJ^^xdu^ A'— ky6o.

\ ^vfd^=.^^udx-^^'^xdu, B'— B^o.

Mais

D'où

(2) P = A-hB=i:A'-hB'.

l54 TROISIÈME PARTIE. CHAPITRE II.

De (i) on tire

D'où Ton voit notamment que A, A', B, B' ont, comme P,

pour ordre, et

pour classe.

La permanence des formules (3) est évidente. En effet, changer

respectivement (12®) en

c'est changer respectivement, dans les formules (3),

A, V, B et B' en

A-2«*> A' -2"^' B-2P^' B'-2P^ et P en

27^ Les tableaux

l?li •••. hM>

dont le rang n'est pas fixé, et dont le rang, par suite, sert à la classification des crémoniennes, se nommeront tableaux caractéiisliqucs. Les huit entiers

seront les entiers caractéristiques.