CHAPITRE III
RELATIONS, POUR u CONSTANT, ENTRE LES ^i(x] u).
28^ Reprenons les expressions Ç/(^; u). Considérons-y les Xi et les Ui comme des variables liées uniquement par la relation 03 = 0. Donnons aux Ui des valeurs fixes quelconques et faisons varier les Xi d'une façon quelconque.
Le tableau caractéristique (27^) | cp j aura le rang r^.
Posons
Zi=.^CijXj, 0=.^UjXj I /=I, 2, ..., N j,
où les Cij sont des constantes quelconques, telles cependant que le déterminant N-aire
De (1) on tirera
Ux U9 ... u
^^/c^jkil)
avec
Xj
(^jk
dzk
l56 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE 111.
Les relations (i) donnent :
I** Un système de z,^ pour un choix quelconque des a;,, liées par la condition (0 = 0;
2** Un système de a?,, liées par (o ^ o, pour un choix quelconque des Zf^.
En résumé, les Zf^ peuvent être considérées comme des variables indépendantes.
En particulier, on peut faire, dans les formules (i),
d'où
Cela revient à faire, dans les formules (2),
/rx l «/*=o pour l^k\ auk=^ = u^
29** Si Ton remplace, dans 9,(0?; u)j a?, par son expression en Zfçj on aura l'identité
OÙ F,- désigne un polynôme homogène en ^^, avec des coefficients rationnels en w,.
Considérons le tableau
F-rF-^l F,.-^, p'==i.2, ...\N I
t-it,,i, ^ik-^^^^ j ;t^,,2, ...,N-i î'
à N lignes et N — i colonnes. Je me propose de calculer le rang R de F, connaissant le rang r^ du tableau j ç {. Formons, à cet effet, le système des N équations
aux N — I inconnues tj,. Le degré d'indétermination (18^)
RELATIONS, POUR U CONSTANT, ENTRE LES ip,(x; u).
de T sera
D'autre part (28"),
et T s'écrit avec Enfin
en vertu des relations (3) du 28".
Les N quantités t^ sont liées par les N h- t relations
dont les coefficients sont précisément les éléments tableau \'^\. Le degré d'indétermination pour le syslèm est
et l'on a
Co^^paramèlre arbitraire.
Le tableau [Py„] à N lignes et N — r, colonnes est corrt sans quoi les paramètres c, ne seraient point distincts. Je dis que le tableau [P^o]
j/t==i,a, ...,N-i I à N — 1 lignes et N — i\ colonnes est correct aussi. En efl
l58 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.
si le rang du tableau [P^J était
N — r^— h^ A>o, on pourrait écrire
'Zk — ^CçV kfj-, ! <J'= /iH- I, /i -f- 2, . . ., N — Tç j,
ce qui revient à faire
(6). Pka—o (/r = i, 2, ..., N — i; <j</it.
La relation
y -+-2 Py<T' ^'yCa' i y = 1 , 2, . . . , N I
doit être satisfaite pour tout choix des paramètres c^. Gela exige notamment
c'est-à-dire [eu égard à (6)]
Py<T=o, jy = I, 2, ..., N; <i<A!.
Le degré d'indétermination, pour le système t^, serait moindre que N — r^, ce qui est absurde.
Nous retiendrons que les N — i quantités ij^ dépendent linéairement de ^ — r^ paramètres arbitraires^ homogènes, distincts.
3o^ Sans rien changer à la discussion précédente, plaçons-nous, ce qui est évidemment licite, dans le cas particulier des formules (4) du 28**. On a
a/;t=o, l^ k^ j /, A"=i I, 2, . . ., N — I j et
