RFXATIOSS, POUR U CONSTANT, ENTRE

.lors

Donc (39°, in fine), ty dépend linca aTamèlres distincts c„, et le degré d'indd l'stème T du 29" est N — r^. Nous savoi ; même degré est (29°) N — i — R. Alo

N — rç=N — I — R, R = ,

Il vient ainsi l'énoncé suivant :

Théorème. — Le rang du tableau (2t

îï inférieur d'une unité au rang r^ du

3i" Les Vi sont des polynômes hom Lix Zj, avec des coefficients rationnels c tant

Rl^Tç— 1,

1 peut (changeant au besoin le numi

es ç,- et des s*) toujours supposer

D'ailleurs R ne peut être que positil e r^ (25") est 3.

Alors (Konig, p. 258 et suivante ,, Fa, . . ., F,„ quand les z^ varient lib ?ndanies.

Or, on a vu (28") que c'est bien le cas

De plus, il existe

l6o TROISIÈME PARTIE. ~ CHAPITRE III.

polynômes irréductibles

*,(U„U„ ...,Ur;U,), 5=iR + I, R-+- 2, . . ., N,

à coefficients rationnels en w,-, tels que Von a identiquement

*,(Fn ...,Fr;F,)z=zo.

Enfin, si Von a une autre relation

v,(F„...,Fr;F,)=zo,

oùW,est un polynôme à coefficients rationnels en Ui^ alors le polynôme

aux indéterminées U, est divisible par le polynôme

*5(U„...,Ur;U,).

*Pour toutes démonstrations, je renverrai au Livre de M. Kônig.

32** Théorème. —- Chacun des N 4- i — r^ polynômes O, est homogène par rapport aux R -f- i = /'^ indéterminées U^, . .., Ur, U, quHl contient.

Supposons le contraire et écrivons

/? /n • • • étant homogènes avec les degrés A, A -h A , , ... respectivement.

On a l'identité

(0) *,(F)z:=/(F)+/,(F)+...=zO.

Multiplions les Xi (28*") par un facteur arbitraire /. F, est multipliée par Z'", car Zj, est multipliée par /. L'identité (o) devient

RELATIONS, POUR U CONSTANT, ENTRE LES Ç|(a:; u). l6l

et se décompose, puisque / est arbitraire, en

Comme il n'existe aucune relation entre les F, , . . . , F^ (3 1 ^), Fç doit figurer dans chacune des équations

Les polynômes (3i")/(U), /^(U), ... doivent être divisibles parle polynôme irréductible $,.(LI). ()r/(LI),/,(U), ... contiennent seulement une partie des termes de 4>,(U) et ne sauraient être divisibles (*) par $,.

Le même raisonnement démontre l'homogénéité des

ir,(U)(3.o). ■ .

Par rapport aux w,, les expressions $,(U; w), ^,([J; u) sont rationnelles. Je dis de plus ç\yi elles sont homogènes. Voici comment on l'établit.

Quand on multiplie m, par l'arbitraire /, Xi = av(w ; u) né change pas, F, est multipliée par /'"', car m' est la classe de

(*) Dans le polynôme à ^-+-i indélerminces

P(x, :r|, ...yXf,) = Ao^"'-i- Ai^F"*-' -f-. . . , Ao ^^^ o

(où :r ne figure plus dans les A), choisissons un groupe de termes

Q = Boa7'"-+- B|a"«-»-4-

Supposons que P divise Q. Alors Q = KP, où K ne dépend plus des x. L'énoncé est évident pour g= o. Je dis que si l'énoncé est vrai pour g, il est vrai aussi pour g -\- i.

En effet, si P divise Q, Aq divise Mq. Or Aq et Bq sont à ^indéterminées et le lemme s'applique. Bq = KAq, où K ne dépend plus des x. Alors

puisque l'expression

Q KP = (Bi- KA,)^'«-î-f-. . .

doit être divisible par P, c'est-à-dire identiquement nulle.

Ainsi, Q contient non pas une partie, mais la totalité des termes de P, dont Q ne diffère que par un facteur K indépendant dos indéterminées x. Ann. de Lyon. — -XIII. 1 1

aiii^U

ir>2 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE III.

(fi(x'^ II), Le raisonnement ci-dessus peut être répété sur les expressions $,(U; u) et ^,(11; u) en M/.

D'autre part, il est évidemment licite de chasser les dénominateurs en i/|, ^2)

Bref, les expressions ^,( U ; w), V,(U ; u) sont, par rapport aux Xi, des polynômes homogènes .

33° Les quantités F,(^) sont proportionnelles aux 9/(07; u). En vertu de l'homogénéité des polynômes $,(U) et "5'*,(U) (32°), il est possible d'énoncer l'importante proposition que voici :

Théorème. — Si l'on se donne le plan u quelconque, les N quantités 9/(.x'; u) se comportent ainsi :

L Entre 9,, cp,, . . ., 9^, R ^ /^ — i, n'existe aucune relation

OÙ ù est un polynôme homogène en 9,, ..., 9^, à coefficients polynômes homogènes en W/.

IL // existe N -f- r — r<p relations

ou ^s ^^^ un polynôme homogène en (f^^ . . ., 9^, 9^, à coefficients polynômes homogènes en u^.

IIL Le polynôme $XU,, .. ., U^; U^; m) aux indéterminées U,, . . ., Ur, Uj est irréductible,