CHAPITRE IV

35° 'Quand le point x parcourt le plan w, quelconque dans Tespace, et prend sur u les

ooî^-«

positions possibles, Télément

image de (x, u) par la crémonienne 5, se meut à son tour. La figure ou variété primordiale $„ sera l'ensemble des positions que prend (y, v). La primordiale ponctuelle Y„ sera l'ensemble des positions que prend y. La primordiale planaire V„ sera l'ensemble des positions que prend le plan p.

Faisons tourner le plan u autour du point quelconque x, 11 y aura une primordiale ^i'^, une primordiale ponctuelle Y^, une primordiale planaire V^.

Pareillement, pour la crémonienne 5~', on aura les figures analogues

CP' ftv Y Y TT 1]

y^ y' •'^♦'> ^*^yi ^f» ^y^

ensemble des positions que prennent l'élément

image de {y^ v) par s~\ le point x^ le plan w,

36° Lemme. ■— Soit (x, u) un élément quelconque de l'espace. Il n'existe aucufie direction d'avancement telle

VARIÉTÉS PRIMORDIALES. l65

que Vêlement (x^ u) venant, suivant cette direction^ en

{x -\- dx^ u 4- du),

Vêlement image (y, p) ne bouge pas.

En effet, définissons (a?, u) et (^, v) par leurs coordonnées non homogènes Xotetuprespectivement j a, ^ = i , ?, . . . , 2N — 3 j . On aurait (lo*^), pour un choix convenable des différentielles

Le déterminant des /p« serait zéro, ce qui est absurde (1 o**).

37° Théorème. — Toute primordiale ^r„, ^'^, ^'^^ ^'y. est une variété à N — 2 dimensions.

Autrement dit, les coordonnées de Vêlement courant sur la primordiale dépendent rfe N — 1 paramètres arbitraires distincts.

Les coordonnées d'un point qui parcourt un plan donné quelconque, les coordonnées d'un plan qui tourne autour d'un point donné quelconque, dépendent de N — 2 paramètres.

Soient, par exemple, le plan m et la primordiale ^^^^. Un point quelconque x de u fait avec u un élément (a;, //) quelconque. Il y a, sur w, qo^~^ points x, et, sur ^^„, oo^ '--^ éléments (j-, p), h^o. Si h > o, à (^, p) donné sur ^\^ correspondrait sur un u une infinité de points x, et, notamment, au moins un point x-\-dx. Alors les deux éléments (;r, u) et (x-^dxju) auraient même image ( v, ^'). Cela est contraire au lemme du 3G*\

Le théorème est ainsi démontré.

38° Théorème. — La primordiale poncluelle Y^ est une variété à r^— 2 dimensions y /^ étant le rang du tableau J a» { . La figure Y„ est le lieu des points y tels que

le soulignement indiquant que u est donne.

l66 TROISIÈME PARTIE. — CHAPITRE IV.

En vertu des théories exposées au Chapitre III, il y a entre les N quantités ^'y les N 4- i — r<p équations distinctes

avec la condition habituelle j© = ^« Oi^ peut prendre arbitrairement r<p — 2 des quantités jj^, c'est-à-dire exprimer toutes les N quantitésj^/cn fonction de ces r^ — 2 là.

3cf On a ainsi le Tableau suivant, en répétant, pour V„, . . ., le raisonnement du 38" :