DES DIMENSIONS

ro— 2 1 Tn — 2 i

re- 2 )

Ona vu (24^) que les huit entiers r^ — 2, ..., r^, — 2 sont positifs.

4q^ Les N -h I — Tç équations du 38*^

seront dites les équations de la primordiale ponctuelle \ ^^. $^ est une forme à deux séries de variables, les yi et les w,.

Les équations $j= o prendront le nom adéquations primordiales.

Plus généralement, considérons les quatre séries de N va-

riables homogènes

coordonnées de l'élément (a-, w),

OÙ (y, i>) est rélément-image de rélément (x, w).

Associons, dans une forme P à deux séries de N variables :

Une série de variables empruntée à Télément (a?, w); Une série de variables empruntée à l'élément (y, p).

En égalant à zéro la forme P, on aura une équation primordiale.

Il y aura des équations primordiales de quatre sortes :

P(a?;y) = o; P{x\v)=io\ P(«;j) = o; P(m; r) = o.

4i° Les rangs des huit tableaux }^[, . .., \r\'\ ne peuvent être simultanément choisis au hasard. H y a entre les huit rangs des relations qu'il importe d'établir.

Reprenons le tableau du 39**, la primordiale $^ et la primordiale planaire U^^, cette dernière (Sg**) à r^ — 2 dimensions.

On pourra donc écrire

^"y = ^Pj<y ^^<5, j = \,'i., . . . , N, (o) ^ ^

(J I, 2, . . ,, Tyj'

OÙ les dc^ sont des paramètres infinitésimaux arbitraires distincts. Par suite, le tableau [/^ya] à N lignes et r^ — 2 colonnes sera correct. Autrement dit :

Le degré d' indétermination ^ pour un avancement inf nitésimal du plan u sur la variété \}y est

Çrzirr, 2.

l68 TROISIÈME PARTIR. — CHAPITRE IV.

42** Nous allons évaluer maintenant l'entier J^ d'une autre façon .

Pour qu'un déplacement infinitésimal de l'élément {xj u) ait lieu sur la variété ^'^, ou qu'un déplacement infinitésimal du plan u ait lieu sur U^, il faut et il suffit d'avoir

eu égard au théorème d'Iùiler

et posant

dzà

diizzz djct

De plus

On a ainsi, entre les différentielles, le système des N -h i équations, à 2N inconnues rf^y et duj^

I iizl, 2, . . ., N -M )

Ces N -h I équations sont toutes distinctes, car le tableau (28")

est correct, avec le rang N -h 1 .

Prenons une matrice (N 4- i)-aire

VAKiÉTÉS PlUMORDIALES. I Ô9

On obtiendra un système (H) en effectuant sur les hi la collinéation g. Les systèmes {h) et (H) seront équivalents, g-^ = const. :

^i~^giihi—^gii^ijd\j~^^gut^',jduj

= 2 aij d\j 4- 2 bij duj = o , «/y = 2 ^'' "^'J ' ^'-'' ~ 2 ^'' 'P'-' •

Le système T, de N équations à N -h i inconnues //,

a pour tableau des coefficients des inconnues le tableau jç}, de rang f\. T a le degré N -j- i — r<p d'indétermination.

Il y aura N -i- i — r^ solutions ^p, linéairement indépendantes, p = i, 2, ...,N-i-i — Tç [^;o^^ Frobenius, Ueber das Pfaffsche Problem (J-f. r. u. a. M., t. LXXXII, p. 236 et suiv.)]. La solution Cp sera constituée par les N -h i quantités Tp/, et le tableau [xp/] à N -f- i — r<p lignes et N H- i colonnes sera correct.

Nous pouvons donc obtenir une matrice (N -h i)-aire gj avec I ^ I :^ o, en constituant les N -i- i — r^ dernières lignes de g avec les Tp/, et les r^ premières lignes avec des constantes gi^ convenablement choisies.

Posons

d'où [formule (H) ci-dessus]

^'\-^pj ~ Zj "^p^ ?^> ~ ^'

Les N -h I — Tç dernières équations de (II) ne contiendront plus les dEj,

Au contraire, on ne peut avoir encore

pour un indice i, i'i 7^, car les gu correspondants formeraient une (N -h 2 — r^y^™* solution de (T) et le déterminant | <g\ serait nul comme ayant inactive (66*^, Deuxième Partie) la zone de ses N -h 2 — r^ dernières lignes.

43° Bref, le système H s'écrit

Hp— ^^py^//y3=0, /•ç<p^N-M.

Le tableau [«/y] à N colonnes et r^ lignes est correct. Sinon, on pourrait former une expression

où les rf^ ne figureraient plus, ce qui est absurde (42*^).

Si donc on a choisi un système de duj satisfaisant aux équations

(B) ^^b^jduj—o,

on achèvera la résolution de (H)' en tirant, des r^ premières équations, r^ des ?y.

Enfin le tableau f^py] est lui-même correct. Sinon, le nombre des équations (B) distinctes se réduirait et (H'), équivalent à (H) et à (A) (4^°), ne contiendrait plus N -h 1 équations distinctes.

Comme résultat de la présente discussion, il vient l'énoncé suivant :

Les conditions dyi^=. o se traduisent d'une façon corn-

plètCy sur les duj^ par les N -t- i — r<p équations distinctes

(B) 2^py^Wy=0^

auxquelles il faut ajouter la (N -h 2 — rç)'*"™**

Le degré d'indétermination X, pour les duj est ainsi

N — (N-h2 — /•ç)=irç— 2.

On a vu (4ï°) que ce même degré d'indétermination X, est

rr^- 2.

Donc les deux tableaux \ o \ et \ yj' j ont le même rang.

44^ Tç— 2, c'est le nombre de dimensions qu'a la variété Y,^; Ty,'— 2, c'est le même nombre pour la variété U^.. On peut dire aussi que les variétés U^ et Y„ ont même nombre de dimensions.

Il en sera pareillement pour Y^ et X^.; donc (tableau du 39^)

Prenant V„ et U^, on aura Prenons V^, et X^, il viendra

l?i et IVi; \o'\ et le'j; j^^j et |y)J; jOi et lf|.

45^ Les deux variétés ponctuelle et planaire, qui entrent dans une même primordiale $ et ^', ont entre elles des relations fort étroites qu'il importe d'élucider.

1^2 TK0ISIE3IE PARTIE. — CHAPITRE IV.

La variété formée par les oo^~* éléments adhérents à un point ou à un plan est une variété intégrale (Généralités, lo*^); il en est de même pour une variété primordiale ^ ou ^, constituée par les éléments-images des éléments de la première variété.

Introduisons les définitions suivantes. Soit une variété ponctuelle Y, lieu du point y. Le plan w touchera Y en y, si iv passe par y et par tout point y -h dy^ situé sur Y. De même, pour une variété planaire V, lieu du plan p, le point z sera le point de contact de ^ avec V si z est sur le plan ç et sur tout plan p -f- e/r, situé sur V.

46" Prenons maintenant les variétés primordiales (f^^, ^u^ ^w ^n vertu dos explications ci-dessus, les plans v qui, avec un point donné y de Y„, donnent des éléments de ^^^ doivent être cherchés parmi les plans tangents w en y à Y„.

Soient, en effet :

y ei y -h dy deux points voisins quelconques sur Y„, ç et V -+- dv deux plans associés avec JK ety -f- dy respectivement, pour constituer les éléments {y^ p) et {y -h dy^ ç -h dv) de ^^.

Les deux éléments sont en situation réunie et l'on a notamment

On verra de même, par dualité, que les points y qui, avec un plan donné v de V„, donnent des éléments de <f„, doivent être cherchés parmi les points de contact z de v avec V„.

47*^ Cherchons les plans tangents w à Y„ en y. Posons / ç = r et prenons les N -+- 1 — r équations primordiales (38**) qui définissent Y„, savoir :

d'où, par différenlialion,

dfs = fss dys -f- 51 fsoi dfoL — o,

— 1,2,...,/* I , y .va —