EL

^^n'^dy = o doit être une conséquence des égalités d/f= o. On a identiquement y pour X, et p convenablement choisis»

2^'^/* — p21"'^/ =^'^s\fssdy,-\-^fs^dyA

— ^^^'^sdys — 9^^v%dyaL=^^dys\'ksfss —

2'^^'« 2^*-^'*"" p^^^i ~^^j^yj'

La relation 2^^ ^^^^ ^^^'^^ "'^^ conséquence de

dy^^^edyzno

et

Comme les e sont des constantes numériques arbitraires, il faut avoir Gy = o, c'est-à-dire

piVs='><s/ssy pcVa^^X,/,».

Il viendrait d'abord

9^^y = '^'^s fss y s -H 2 X, /,^ Ja

SOi

= 2>^.< /v.vy.v-+-^/va7a^2>5/. ^O,

en vertu du théorème d'I'luler, ce qui était à prévoir.

Des relations (1) on lire \= p^'s/îs* ^^^ finalement,

(2) ^OL — ^^s/sOi/ss''

D'ailleurs fss^ ^» car si y, ne figurait pas dans /,, les y^^ seraient liées par la relation /^ = o, ce qui est absurde (^8*'),

Les /• — I équations (2), jointes à w^,= i, laissent arbitraires N — r des quantités iv.

Donc : en un point y de Y„ existent qc^~' plans w tangents à (£u.

On peut d'ailleurs prendre à volonté lesN — r rapports des N 4- I ~ r quantités w,.

Comme il y a (38**) 00*^"' points j sur Y„, il y a en tout

oo'--2 X 00^-'' = 00^-*

éléments adhérents à Y„.

48** Revenons maintenant aux plans p qui, avec y, font des éléments de ^Jt^„.

On a entre les P/ les relations (2) du 47**

tous les p sont des plans w tangents à Y„ en y. Je dis que réciproquement tout plan w est un plan ç.

En effet, admettons le contraire. Supposons que, parmi les Qo"~' plans w tangents à Y„ en y, il y en ait seulement Qo^~''~P plans p. La primordiale $„ contiendrait, puisqu'il y a 00''"^ points y, seulement oc^~P"^ éléments (y, p), au lieu de oo^~*, ce qui est absurde (37**).

Il vient, en résumé, la double proposition suivante, où je rélablis r^ pour r.

Théorème. — Les qc^~' éléments (y, p) de la primordiale % s'obtiennent, à volonté, en associant :

soit à chacun des

points y de la variété primordiale ponctuelle Y„, les

oo^'-'>

plans V tangents à Y„ en y ;

On construira de même

soit à chacun des

Oo''i — 2

plans V de la variété primordiale planaire V„, les

od^-r.^

points y ^ en lesquels v touche

la variété V„.

^^x 3u moyen de Yj. et de V^;,

L\cf Quant aux variétés telles que Y„, . . . , U^, elles doivent être considérées comme connues.

Soit, par exemple, Y,^. On considérera les variables z du Chapitre III et les polynômes F/(z) en z.

Alors les polynômes $j du 3i° s'obtiennent au moyen des F/(5), où les z et les u sont traitées comme des indéterminées, par les opérations, strictement rationnelles, qu'on trouvera indiquées dans le Livre de M. Kônig (Chap. V, § 14 du Livre). Les $, sont donc connus et, par conséquent, aussi la variété ponctuelle Y„.

5o*^ Au Chapitre VI (7 1** à 73^*) on achèvera de préciser la notion de variété primordiale.