CHAPITRE V

SUBSTITUTIONS CBKMOMQUES.

Si" Je me propose d'étudier les crémonienncs, où au moins un des huit entiers

a les valeurs i ou 2, réservées dans la discussion (a-'i") du Cliapitro II. J'éludierai, à ce point de vue, le tableau I 9 1 et son rang i\ ^= r.

Occupons-nous d'abord de l'éventualité r ^ i .

Si les variables x manquent dans les formes y,-, on a

dans le tableau [y!, ne sont différents de zéro que les éléments uj de la (N -i- i)"*" et dernière ligne, et l'on a bien

Je dis que la condition est nécessaire. Supposons, en effet, que Tun des ç,j, y,, par exemple, soit :^ o. Alors le déterminant binaire

et y,, Hy= «i9,j. Si l'ordre m do 9, n'était pas zéro, puisque <p,, 7^ o, on aurait

ce qui est absuixlc.

si;bstitltio\s chkhomoies.

Sa" Ainsi : il y a équivalence complète entre les de hypothèses r^ ^^ i et m ^ o et, de nicme, entre les kypothè,

53" Examinons maintenant le cas ;•= 2. On ne peut fa m = o, car alors ;■= i. Jevaismontrerqueriivpollièse7' = m )> o est absurde.

Le tableau iç* peut s'écrire

avec

Appliquons la formule (o) du -jZ" (Deuxième Partie). O (o) Q?*/ = 2'^*'^^" * = '.2,...,r,

autrement dit

Soit K^^,„=K:^o, tj étant un certain des indices s; pourra écrire

^ (1) KQç,^= K 2 K;.I>/. + KE,,D^„

(a) Q»,.z= 2'''^+i."t),.,.HKD^,,

KQ ï-7 = K 2 E,. n.-. + F.,, j Q ", - 2 lÏN.,. Da j

^H«. (/<! Lyon. — XIJI. ,.^

178 TROISIÈME PARTIP. — CIIAPITIIE V.

Celle dernière formule revient en somme à faire, dans la formule

(3) Qç,y = 2E"^>*'

Djr'= Ujj en changeant légèrement le sens des coefficients Q, E,D.

En particulier pour r = 2, on peut écrire

(4) Q9,yr3L,Dy-+-M///y

en faisant E/, = L/, Dy, = Dy, E/^ = M,, avec, bien entendu,

54^ Dans la formule (4 ) ci-dessus, mettons en évidence les

p. g. c. d. A, M et A des formes mixtes L/, M,- et Dy, de façon

que

L, = A /,, M/ =• M |x/, Dj = ^dJ,

les //, les [JL/ et les rfy étant respectivement premiers entre eux. Chan<2:cons O en — O. Il viendra successivement

Comme les ç, sont premiers entre eux, ainsi que les //, on a