Je considère la fonction Z
où les zéros d'une part, les pôles de l'autre, sont rangés par ordre de modules croissants. Les coefficients / sont déterminés en fonction des coefficients S par l'équation identique :
(5o + 5,^+ ...)x(i+U + '.^^+ ••0 = 5,, qui donne
5.-4-5.,/, + S/,+ ... -t-5„/. = o Si l'on pose, par ailleurs,
= 5„ + 5.^+S,^^4- ••• +5„,r + Pr""+ •■• (« = 1,2,3,...), les constantes t'^, t[, ... , t'^ seront déterminées par le système
et la comparaison avec le système (4) montre que la fraction de rang m -\- 1 de la première colonne du tableau relatif à la fonction Z(:Q a pour expression
La suite des fractions de la première colonne est donc
15. I! est clair que pour toute valeur de :^ de module inférieur à |a| , cette suite converge vers une valeur lînie, déterminée et différente de zéro, exception faite pour les pôles situés à l'intérieur du cercle de rayon |x|. Au contraire, cette suite tend constamment vers zéro quand ^ est à l'extérieur du cercle de rayon |x|.
On peut faire un raisonnement identique pour la colonne verticale constituée par les réduites de rang p -\- 1, en se basant sur ce fait que les zéros et les pôles de la série
sont pôles et zéros de la série
En effet, si l'on pose d'une part
(je dis « poser » pour indiquer que A^, A,, . . . , A^, 11^, . . . , !<„ sont déterminés par la condition que 5^ , S, , . . . , S„^ soient les coefficients des >i -{- p premiers termes des développements de la fraction rationnelle) et d'autre part
on a identiquement
Ce lemmc résulte de ce que
= 5„ + S,^ + 5,^^ + . . . + 5„^^ --^ + Xf-^- + . . . , ce qui permet d'écrire
Nous en concluons la proposition que voici :
La suite des réduites constituant la colonne de rang ^ -f~ ' '■'" tableau se comporte comme la suite des réduites formant la ligne bori\ontale de rang p -\~ i, à cette différence près qu'ici les cercles de convergence sont les cercles passant par les :^éros de la fonction représentée par la série et qu'en dehors de ces cercles la suite des réduites tend vers 7J.r0, au lieu de tendre vers l'infini.
En effet, on peut déterminer la réduite
en posant ou
Cela ramène Vétudc de la suite des réduites de la colonne verticale de rang
p à l'étude de la suite des réduites de la ligne horiT^ontale de ratio p du tableau correspondant à la série
oc i T OP
La suite des réduites d'une colonne verticale quelconque ne saurait prolonger la fonction en dehors du cercle dont la circonférence passe par le point singulier essentiel le plus proche de l'origine, puisque si le point a est point
singulier essentiel pour la fonction Z(jO il l'est aussi pour la fonction „ , . .
Dans certains cas, il y aura cvidemmenc lieu de préiérer les suites de réduites verticales aux suites de réduites horizontales. C'est ainsi que la
première colonne verticale du tableau relatif à la fonction —^ — ,. , (i— 0'.
donnera un développement convergent dans le cercle de rayon 2, tandis
que la première ligne horizontale donnerait un développement convergeant dans le cercle de rayon i seulement.
