I. — Fractions de la deuxième classe ordinaire

lé. De telles suites de réduites sont de la forme (cf. le tableau des fractions approchées)

u° ir ir

2; yf , f^TT ) p-K2 . • • • (i?=0, I, 2, 3, ...).

17. Nous allons considérer 3 réduites consécutives de la suite (r)

p-^n—I p-t-n p-*-}:—i «— 1 n fl-+-l

ce qui n'offre aucune ambiguïté si l'on se rappelle que les fractions appartiennent à la diagonale au-dessus de la première diagonale et de rang p, qu'elles sont consécutives et que les indices marquent les degrés en :; des polynômes U, V.

Si ces tractions représentent une fonction on aura par définition

d'où

Or le premier membre de cette relation est un polynôme en ;^ de degré p -j- 2 « -[" i> donc le deuxième membre se réduit à son terme de moindre degré en - et

où <'(") est un polynôme en /;, qu'on obtiendrait en faisant ;^ := i. Changeant // en h — i,

U^ V — L\ F ^af,, - i)7f-"'-'.

p-t-n n—l />^ii— I ji \ y \

Éliminant ;^ entre cette relation et la précédente, il vient

c(„)(t7, y —U, V ) cr(,OrYt/„ V —VU, ) = o,

\ X \ /'H-n-^l n p-*-n 11—1/ V y\ \ p-t-ti «~ i Ji ^f-t-ti— 1/ >

OU, quel que soit B^, fonction de }i et de :^,

^J'(« - 0 ^,.„., + B„ u^^„ + .oor t/,.„J

Si i)\ est déterminé par cette condition que

<n - I) t/^^„^. + B„ U^^„ + c(«).^ ^,.„-, = 0, on aura semblablement

Ainsi, i/ existe une même relation de récurrence entre les numérateurs et les dénominateurs de ) fractions consécutives appartenajit à une diagonale principale située au-dessus de la première diagonale principale ou, ceci est un cas particulier, appartenant à cette première diagonale principale même.

Cette proposition est un cas particulier d'une proposition que nous avons rappelée au début.

i8. Réciproquement, considérons six polynômes IJ II II V V V

liés par des relations de récurrence

A t/,^„^. + B„ U^^„ + C„ [7^^„, = 0, AK^. + B„F„+C„F„^ = o, où ^„ , B^, C„ sont des polynômes en ;^ fonctions de h. Sous quelles conditions les fractions j^"*^ , t7" , r/^"~' seront-elles fractions consécutives d'une même diagonale principale d'un tableau de M. Padé? Éliminons B^ entre les relations précédentes; il vient

changeant n en n — i, A (U, V —U, F)=C (U^ F — U, F )

et, par multiplication,

U F — U F — " "-■ •• ' rt/ F — U F) Or, si

on aura

d'où

t^,., ^o - t/p ^, = cp ^^"" + • • •) ^0 ^. = '^ ('0 r' ,

par raison d'homogénéité, d'où

Mais (3) cette expression doit être de la forme 'î(«)\'^""'*' ; il vient donc, en posant

et, de même, d'où

Ainsi C„ est de la forme

e/ les rel lions de récurrence sont de la forme

D'ailleurs, si A^ est de degré /; en -, B^ sera de degré /; -[- i, par raison d'homogénéité. Même dans les fractions du type (C) que nous considérons plus spécialement, A^ et B^ sont de degrés respectifs o et i en n.

Enfin, il est évident qu'une relation de même forme existe entre les réduites de la suite (2), correspondant à une diagonale située au-dessous de la première diagonale principale.