Le tableau complémentaire
On peut construire un tableau analogue à celui de M. Padè en partant du développement suivant la puissance décroissante de la variable:
Soit encore
et
on
aura
et
aussi
Ail
isi les fractions
sont des fractions approchées de la fonction Zl — I = C(0> ^^ sens
de ce mot défini par la relation (i). Nous appellerons ces fractions: fractions complémentaires.
20. Loi de récurrence Haut les termes de fractions complémentaires consécutives.
Considérons une suite de fractions approchées consécutives du Tableau de M. Padé appartenant à une diagonale principale située au-dessus de la première diagonale :
n — I « Ti + I
et liées par la relation de récurrence
) M fi-t-«-i-i I n p-*-ri I \ y A. H p-hn — i
On aura aussi
( 27 ) et si A^ , B^ sont respectivement de degrés h et /; -{- i en ^,
OÙ
<,(0=v^^,(y)> 5,,(0-e^'5„(Y), ua-.)=-^u,{-j)
et de même
les fractions approchées étant
X, '-'p-i-n,! *-'fJ-n,l
Dans les relations de récurrence en question
les polynômes ^„ , , i^„ , sont respectivement de degrés /; et h -\- i.
Pour une suite de fraction appartenant à une diagonale principale située au-dessous de la première diagonale principale, on aurait semblablement
les fractions approchées étant ^ — — .
Enfin, pour la première diagonale principale, on aurait
les fractions approchées étant -j^ ■
21. Si l'on a oblenu la relation (4) définissant ks fractions approchées (tableau complémentaire, première diagonale principale) d'une Jonction
zXi) = ^h + ^ + ^+---^
( 28 ) les relations
définiront les fractions approchées (tableau de M. Padé, première diagonale principale) de la fonction
En effet (i)
d'où
D'ailleurs
De même, si l'on a obtenu les relations (3) définissant des fractions approchées complémentaires d'une fonction Z, (jO, les relations (2) définiront
les fractions approchées ordinaires de la fonction Z^ 1 —^ \ ^ Z(^:Q.
22. Forme des fractions continues complémentaires de deuxième classe. Les termes des réduites de toute fraction continue
sont liés par la loi de récurrence
Dans le cas qui nous occupe, si ^^^^ , £,, sont respectivement de degrés o et I en :(^ et si
la traction continue correspondant à Li relation sera de la forme
les relations de récurrence étant
IV — (a T 4- h )U — c U =0, ^^ ) V —(a7-^b)F-cF = o ;
d'ailleurs les réduites de la fraction continue F coirespondant aux lois de récurrence (^) vérifient les relations
donc
li.+
«al + ^+ -
Un calcul facile donne les termes y,, [i,, y,» 1^2 eii fonction de î/^^, , ^,,>» ^o,,> ^i,, ' *^n sorte que
III. — Relations entre les aires de convergences des fractions ordinaires et des fractions complémentaires de deuxième classe.
23. L'étude de la convergence d'une suite de fractions -=^ sera basée sur l'étude de la convergence de la série
et en particulier sur l'étude du rapport
Si le module de ce rapport tend vers une limite moindre que un, la série et la suite des fractions convergent.
Si ce rapport iend vers un, il y a doute. En ce cas, l'étude directe
de la fonction dont les fractions -j~ sont des représen cations approchées
permet parfois de lever le doute.
24. Comme on l'a vu, il existe une relation simple entre les développements en fractions continues de deuxième classe ordinaires et complémentaires des fonctions Z^ (;^) et Z{-^^ Zi — 1 .
// existe aussi une relation simple entre les aires de convergence de ces
développements.
Soit en eflet -j^ des tractions approchées complémentaires (pre- 11,1 mière diagonale) d'une fonction Z (;^) :
et ~ les fractions approchées ordinaires correspondantes de la fonction AU„^, + 5„[/„ -1- n{n)i'A„U„ , = o.
( 31 ) Considérons les deux suites
et les rapports
