CHAPITRE II

Étude d'un cas particulier.

25. Laguerre a étudié le développement en fractions continues des fonctions Z(^:^) vérifiant l'équation différentielle du premier ordre

(I) frx'^4^ = ^x^(0+ u,

oii IV, V, U sont des polynômes en ^. Il part de l'identité, supposée vérifiée,

où 0(^1), /(;;;) sont l'un et l'autre des polynômes en x. de degré n et

( ;;;T;rTT ) désigne une série ordonnée suivant les puissances décroissantes de la variable ;( commençant par un terme de degré — (211 -j- 1) et il montre que /(:^) doit vérifier une équation différentielle de second ordre : de cette équation, il déduit une loi de récurrence entre les polynômes/^^^ (:^), /„^, (;(),/„ (k;). On sait d'ailleurs que les polynômes ?«+j(t)> ?«^i(0' ?n(0 vérifient la même loi de récurrence. Cette loi de récurrence conduit au développement en fraction continue de la fonction ZQQ.

A dire vrai, Laguerre n'a appliqué son procédé qu'à des fonctions

très simples, telles que I — 1~^) (constante quelconque) (cf. ^ 42J, vérifiant toutes l'équation particulière :

où a, h, c, d, p, q sont des constantes arbitraires et H (:() un polynôme quelconque et il n'a même pas donné le développement en fraction continue des fonctions vérifiant l'équation (2).

Suivant les indications que Laguerre a laissées, je donne d'abord ce développement. Puis, prenant comme point de départ les relations de récurrence existant entre les numérateurs et les dénominateurs de 3 réduites consécutives quelconques, je montre que le ilévelûppemeut est valable dans tout le plan de la variable ;^, sanj pour les points situés sur la cou-

pure lOii'iMnl les points d atjixes , qui sont points singuliers

pour la Jonclion ZÇ:Q.

I. — Développement en fraction continue de la fonction vérifiant l'équation différentielle :

(2) ia:^+ b)ic-^ + d)''^^^ = (K + î)Z(0 + "(0.

où a, b, c, d, p, q sont des constantes quelconques et Il(.^) un polynôme en i-

26. Nous supposons que Z(i) est développable suivant les puissances négatives de la variable :

Déterminons avec Laguerre deux polynômes de degré n, U^, V^ par la condition que les 2n -\- i premiers termes du développement

de la fraction rationnelle ~ soient identiques aux 2p -{- i premiers termes du développement de Z(^), en sorte que

où ( -j^rn ) représente une série ordonnée suivant les puissances décrois-

santés de :;;^, commençant par un terme en ^^^q:^ .

Les polynômes U^ , F,, peuvent être déterminés, une fois le développement de ;^ connu, par l'identification du polynôme [/„ au produit

On déduit de (3)

et, portant ces valeurs de Z(-) et Z'(:^) dans (2), il vient

Changeant ;^ en — , \.

OÙ l'on a posé

en désignant par -k le degré du polynôme n(:^). Ceci peut s'écrire

Çx") et C;^'"*") représentant des séries ordonnées suivant les puissances croissantes de :^ et dont les premiers termes sont de degrés respectifs 2 n et 2n -\- r..

Le premier membre étant de degré 2 h -j- it, la série V\ (j^"^^') ne peut que se réduire à son premier terme, d'où

[{a + b-,){c + d-,){i\ u^ - i\ r,) - (/, + ,/0 t/, f'Jf- - n, V]

= ;(.'""*''' X constante.

Changeant à nouveau - en — ,

(4) {a ^-f/;) {ci-\-d) {V U-—UV)—{p -+,/) U F—U {() F'= constante.

27. A l'aide de cette relation, Laguerre forme comme il suit une équation différentielle dont V est solution. Soit

(5) A'(0./'-M(Oy' + ^-v = o o^ y'^v' + ^;' = o

une équation différentielle linéaire du second ordre admettant les deux solutions particulières

Des identités

JV/; M y: + Hy, = o, Ny:-My:-\-Hy^^o,

on déduit, par élimination de H,

N(y';y,-y:y,) = M(y:y,-y:y,), d'où

|^ = -^LogO.;^,-v:^.); or, en posant

- CrJ; - fRil

y\y.-y'.y. = ^'' '\u-vz)—Ve ^ ^u' — vz-vz')

+Vc ■^''''y^R{U—VZ)=c ^^''''[V'U-VU'-{-V'Z'+VUR-V'ZR]

[Çai-\-b)(ci-\-d)iFU'- UV)

ou, vu la relation (2),

[Pn(0+C/r(K+?)-(«^+^)(R+<^)(^t/'-(7r)]

et, tenant compte de (4),

y'v — v'v = — -: , ,^, — — — p.Xconst. = — 7 , ,. , — ; — p-X const.,

d'où

{p-\-2ac')z^-{-ad-{-bc-\-q

- ^a~^ + h)ici+i) •

L'équation différentielle (5) que vérifie V est donc de la forme

{ai+h){c~^+ d)f -\-[{p^ 2ac):i + ad-^rbc+ q]y' ^ly = 0 ,

où X est indépendant de :^, vu l'homogénéité. Si

( 37 ) exprimant que le terme de plus haut degré est nul, il viendra

H {il — i)ac -\- n(p -\- 2 a c) -\~ l ^ o ,

d'où

■X = — «[(«+ i)ac-\-p].

Ainsi le polynôme F est une solution de l'équation 28. Cela posé, Laguerre remarque que la relation

où ^,__ est indépendant de :^, comme on le voit immédiatement en remplaçant ..""' , -— par leurs développements

donne lieu à celle-ci qu'on peut écrire

rr A +r A)U=(u a , + u ,a)v

en posant

Si l'on détermine le polynôme Q„, par la condition que