V - Q F + P V =0, il s'en suivra que

( 38 ) Ainsi, les polynômes U, V vérifient les relations de récurrence

où P, étant indépendant de ;^, Q est du i" degré en i.

29. Ici Laguerre remarque qu'on peut taire l'hypothèse que voici: La constante de l'équation (4) est éoale à — vi„. Et en effet, la relation supposée

donne lieu à celle-ci Si

^-,, = I + T,^ + r.v' + ■ • • + iX ,

on aura

^,.., Â + ly.^+ ... +Xy„^- ^„^ (J\~^ /L\' d'où

quelle que soit l'indéterminée X, et si le polynôme

vérifie l'équation (6), il en est de même du polynôme

Or, la relation

( 39 ) où ^^, est une constante, donne, dans ces conditions,

la relation (4) donne

*'^(>-T„-'''^„-, — ^P„-^-T„-.) — ?>^':-„T, — nn'^""ï; = constante.

Supposer que la constante est égale à — J^, revient donc à écrire

lïbdC'f a — i V )— q'i y — llnvM — u.Ç^ v — S e )

d'où l'indéterminée \l en fonction de 1.

Dans ces conditions, l'équation (4) s'écrit

(, - + ^) (, , + ^) (F„ F - L\., r) -(pi + q) u., v,^ - n (0 /';

ou

= [0^^ + ^)G■^ + '0 ^: - 0'^ + -y) ^, - Il ^\ + u,^,] i\

ou encore, li__ étant une indéterminée,

et se décompose en les deux suivantes

où ii,, est, par raison d'homogénéité, du i" degré en :(^. Dérivant l'équation (8), il vient

(ai-\-b)(ci-^ d) r:= -(2ac-^^bc + ad) V:+ P-l F„+ £2„ F - V:^^

et (6) devient

( 40) Éliminant F entre cette équation et l'équation (8), on aura

(n + ? + ^-„)(".. ^.. - ^'»^.) - ("-. ^... - ^"..^J + Ou + i)(cv + 'Oi": - [''^(i + ") + p]»\ ^„ = 0

ou

Comparant aux relations (7), il vient

(11) P„ =(Jl+^]+^Ky-K+iK+bXci+d)\ù:-[cK(i + n)+p]n\.

Les relations de récurrence (7) seront déterminées une fois le polynôme du premier degré il^^ déterminé lui-même.