Voici le développement des calculs

Si W = {a i -\- b) (c ^i -\- d) , on a posé

et l'équation (12) s'écrit

(13) fVu'-+lVy + {^J{\--j~}ju = o,

où

?r„.^(2«r+/.)^+èc+W+?,

fF, = -[ac(i -\-n)-\-p]n. On a donc

et, portant dans (i 3),

(14) i2^ -I- WH\ — fT' i2„ + W^ a„ + fF fF, - ?„ = 0 ;

or,

(15) il„ = Ca + ^)aci-\- aor.d -{- c<^b = 7^+ S,

en écrivant ac(oL-{- (i) == y , rfaïf + cp/; = ^ et (14) devient ainsi

(ï^ + ^ï + Ou + ^)(U + 'Oï -(i2aci-^bc + ad)iyi + S) + [(2«c + p)^ + ^c + arf + <ij(y V + ^)

(ïv + '^)^ + Gk + ^)(k + 'Oï + (n + '7)(t^ + ^r

- ("^+ ^')(U + à)[ac{i + „) + i.]n -P„ = o.

Cette équation devant être identiquement vérifiée, il s'ensuit qu'on doit avoir simultanément

(16) f -\-acf^pf — ac[ac(i -^ ii)-\-p\n = 0, (i7)2y^-\-(ad-\-bcy( + p^ + <jy-(ad+bc)[ac(i-i-n)-i-p]n=^o, (18) 'V + b^y-\-q^ — bd[ac{i -^ u)-\-p]n — P„ = o.

On tire de (16)

— (a c ~\- p) + (a c -\- p -{- 2 d c II)

d'où les deux valeurs suivantes de y :

y, =acH, f^ = —(ac-\- p -{- acii).

Si y ^ a en, l'équation (17) donne

^ (ad -\- bc)(acii -\- p) — qac 2acn -\- p

et l'équation (18) donne, après un calcul assez long mais qui n'offre aucune difficulté,

n (« a c^p)[ii(ad — bc)a — bp-{-n g] [?i(ad — bc)c — cq-\-pd]

" ~ [2nac-\- pj

L'équation (15) donne alors

(ad A- b c)(acii + p) — qac

a = aciiz + — ^ r-^ « >

^ ' 2nac -\- p

(43 ) d'où (la'^O

QM(2nac-\-p)[2ac(n+i)+p]::^+(ad+bc)[2n'ac-{-2(ac+p)>,-^p]-\-p<l\-X

(2nac-{-p)[2(u-\-i)ac+p\ '

Si Y = — ('^'^ -\- P -\- a en), on est conduit aux mêmes valeurs de ^. et Q„.

Ainsi, les termes des réduites ~- de la fraction continue développement de la fonction Z(-) vérifiant l'équation différentielle

vérifient la relation de récurrence

où

n(iiac-{-p)[n{ad — hc)a — bp-\-aq][n(ad — bc)c — cq-\-pd]

" ~ {2nac-\-py

Q^={(2nac+p)[2ac(n+ï)-^p]l+Qid+bc)[2>rac-\-2(ac-\-p)n-{-p]-\-pqX.

(2ii-\-i),ic-\-p

(2>iac+p)[2(>i-\-i)ac-^p]

Dans le cas où p = o, les quantités P , , 2^ prennent une forme beaucoup plus simple :

On remarquera que, d'après la marche des calculs, si les poljmômes U^ , V^ donnés par les relations de récurrence seront les

(44) produits de t/„ , , ^„ , par un tacteur constant :

Comme -~

= -y — , cela

cela n'offre aucun inconvénient.

II. — Étude de la convergence du développement précédent dans le cas où

Nous montrerons que le cas général rentre dans un cas plus étendu encore, dont nous ferons plus loin l'étude (Ch. III).

32. Posant ac = P, ad -\- bc :^ 2 Q, ad — b c = 2 R, (j = 2co, les relations de récurrence s'écrivent

La suite -~ , -j^ , -~, ... converge ou diverge en même temps que la série

Étudions le rapport

Éliminant (211 -f- i)(P:^ + Q) entre les relations de récurrence, il vient

d'où

R„ = {nR + co)(nR - a>)^ X ^^

( 45 ) Si l'on pose

F =-^CnR — (->) F , ,

R^ devient

n nR -\- (Il »,,, H,,

" " (n -\- ï) R — co »„ «,^, ' d'ailleurs

Or, k fonction y(:^, x)

^,' a ■'<[R-2(Pi+Q)y.+Rx^-] =

où les arbitraires a^, a^ ont été choisis de manière que les coefficients des termes en a°, a' du développement soient précisément ii^, u^, vérifie l'équation différentielle

Si l'on dérive » + ' f°i^ P'"^ rapport à v. cette relation, on obtient,

en substituant m ! i; à — r-r^- >

if a'

la comparaison avec la relation (2) montre que (puisque v^=ti^^, i\=ii,).

quelque soit m.

Pour une valeur déterminée de ~, la fonction Y(^, a)

y(^, a) = a«[i? -2(P^+ 2)a + i?oc^] ^^ X

^ r (fl^-{-a,a)Ja

(46 ) admet un développement

valable dans un cercle ayant pour centre le point a = o et passant par le point singulier cf.- , le plus proche du point a = o.

Or la fonction admet les deux points singuliers a^ , a^ racines de l'équation (3) i?a^2(p.4. 0a+i? = O.

Si les modules de ces racines sont diffe'reiits l'un de l'autre (l«,|<C|*2l) un seul point singulier a, sera sur le cercle de convergence et le rapport

— '— tendra vers t., . Donc, en ce cas,

lim

et par suite

puisque a, a^ = i.

Alors

lim

nR +

tend vers une limite moijtdre que un et la suite des réduites converge.

33. Il ne peut y avoir divergence que si les modules des racines a^ , a^ de l'équation (3) sont égaux, car ils sont alors égaux à un et |i?„| tend vers un.

Si les modules des racines de l'équation (3) sont égaux, il y a divergence.

Un calcul facile montre que l'identité des modules a lieu sous condition que le point :{ soit sur le segment rectiligne joignant les points

d'afExes , .

En effet, si l'équation (3) admet la racine a^ = aj -j- a^j, elle admettra la racine

et, les modules devant être égaux,

d'où

y.'' -(- y'' =1 et Zj =-- aj — 7.^ I ,

d'où encore

Soit

7, + a^ = "^^^+ '^^ = 2//(.v, y) + 2:iv(.v, v) ;

la condition précédente nécessitera que

D'ailleurs

a = — // + J'i/' - I nécessite de plus que

!//| ^ I , soit dans le cas présent

on aura :

2(n,.v-n,v+/,)p,+(ii,v-i-ii,v+/.jp,+,[-(ii,.v-iij+/,)p,+ni..v+iij+/.Jp.]

pî + ?;

et les conditions d'identité des modules s'écrivent

r (n, X - n, j + /„) p. + (ii,>. + n. x + /.,) p' -| "L pî + p: J

, / (11, -y -n^y + /,)p, + (ii,-v - n,>' + /Jp. / .

conditions qui deviennent

(a, c, — a, cj -V — G?, c, + a, c,)y + ^?, ti, — a, J,

^ (a, c, — fl,0>' + («.^'. + "■ '-J ■^- + ", '^. + ".'^. ^ ^ + "

avec

si

a = fl, + aj, b ^ b, -Ir l\i , •••

Ces conditions supposent bien que le point :;;; est sur le segment rectili-

gne joignant les deux points d'affixes , — .

D'ailleurs, il y a ordinairement divergence sur ce segment, car les points en question sont ordinairement points singuliers de la fonction représentée par le développement en fraction continue que nous étudions.

34. Cette fonction Z{:^) vérifiant l'équation différentielle (,^ + ;,)(,- + d)"^-^^ = q.Z(l) + 11(0 est de la forme

z(^=(a-^+by^Xci+d)^^ f :^P^ m-

1° Si n(0 est nul,

et les relations de récurrence subsistent :

Les points critiques sont alors algébriqtws.

2° Si l'équation différentielle est de la forme particulière

d'où

. . k . di-\- b k ex -{- d

Z(7) = — ; 7- log — ^^-^ — , = -, ^log — r,

^^^ ad — bc ^ c-^-[' d bc — ad ^ a^-^- b'

les relations de récurrence subsistent encore et s'écrivent

Ici les points critiques sont logarithmiques.

Dans l'un et l'antre cas, la convergence est assurée en dehors du segment rectiligtie joignant les deux points singuliers.

Le prolongement de la fonction par la fraction continue n'est donc pas essentiellement arrêté par les points singuliers qui sont critiques algébriques ou critiques logarithmiques.

Nous aurions ici à examiner le cas des fonctions vérifiant l'équation différentielle

(,^ + è)^^) = ç.Z(o + nrO-

Nous ferons cette étude après l'exposé de la théorie générale.

LU. — Extension des résultats précédents aux fractions continues de M. Padé, qui correspondent au cas particulier étudié.

^^. Comme on l'a vu, si les réduites obtenues se rapportent à la fonction Z(i), les réduites complémentaires -p- vérifiant la relation de

récurrence

se rapporteront à la fonction Z 1 — 1 = Z, (;^) et convergeront dans

tout le plan, sauf sur l'arc de cercle CD, transformé par rayons vecteurs réciproques du S':gment rectiligne A B.

(Fi y. <)■

( 5o) En particulier soit

d'où

Le premier développement, celui qu'on a étudié, est valable pour tous les points du plan, sauf le segment AB. Le développement com-

~|~ ^^ I est valable en tous

les points du plan, sauf sur le segment CD.

Le développement complémentaire de Z(:(), où l'on a échangé a et b, c et (/, représente donc, comme le premier, le développement de

I "T , ) , mais est valable, lui, dans tout plan, sauf sur l'arc de cercle AB.

Nous avons donc deux développements de la fonction, l'un divergeant sur le segment rectiligne A B seul, l'autre divergeant sur l'arc de cercle AB seul. Ainsi la fonction est représentée par l'un au moins de ces développements en un point quelconque du plan.