II. — Premier cas
57. Si .'''^' tend vers une limite déterminée, nous admettrons
que B sont, comme n, des polynômes, mais polynômes en 7^ et n.
I. Af^ et i>j^, iOH/ ii'»;/ méOTC (%r^ k en n : Alors FI («) se réduit à
une constante w,
et (i) devient, en écrivant A^{n') pour .4,,, 5j(h) pour i?„,
(2) ^, (») F ^, + £, («) r„ + co A, («) r„, = 0 .
Considérons une équation différentielle de la forme
où a, , rtj , a , t , tj , . . . , d , 'j^ , ffj sont des fonctions de :(, Z étant fonction de ;^ et de a.
La fonction
(4) Zfe, a) = S„ + 5.a-f-5,a=+ ... + S, a" + ••.
vérifiera cette équation si la série du second membre converge et si pour OT > 1 on a
l'' (m-ky. '■ (w-A'-j-i)! '■■■+'' (w-i)M- m\ J '-
r (w— 2)! . , (m-iy. , , (/«-2)! , , (m— 2)!1
Déterminons les polynômes en -((7, /?, r, . . .), de manière que, quelque soit m, on ait
' (w— /;— 2)1 ' ' (ffi — a; — i)! ' ' '{m—yy. > (w— 2)! '^ '
les quantités S^ vérifieront la loi de récurrence
(5) ^.('" — 0 5. + -^'i ('" - 0 5„.., + <^ ■ ^-^t ('« - i) 5. = o 0«> I). Si de plus on détermine ff^, <7, , de manière que
on aura, quelque soit ri7tdice m, comme le montre le rapprochement des relations (2), (5), (6),
d'où
Or, on sait que l'équation différentielle (3) admet une solution analytique (4) convergente dans un cercle décrit de l'origine comme centre, le rayon de ce cercle étant égal au module de la racine de moindre module a de l'équation
cela sauf cas exceptionnels.
( 54) Donc,
lim .-ç
où L est la limite du module de la racine a, .
Si
J^(m) = Amk -\- A^ m'"' + • • • ,
où A, A^, B, B,, . . . sont des fonctions de ;^,
a^^=^A, a^^=B, a^ = (àA
et l'équation (7) s'écrit
(8) o^Ax' J^ By.-\- A = o.
Si les modules des racines a , a^ sont inégaux ((aj <] k-J),
lim R = cx} lim | -—— 1 = w a| <[ w a, a^ ,
quantité dont le module est U7i, puisque
donc
lim |i?| < I et il y a convergence.
Si les modules des racines a, , a, sont égaux,
lim \R\ = I
et il y a doute quant à la convergence.
L'équation (8) peut d'ailleurs s'écrire
ce qui montre que si les modules des racines de l'équation (8) sont égaux, il en sera de même des modules des racines de l'équation
comme il est facile de le reconnaître.
38. II. Cas général. — Le cas général se ramène comme il suit au cas précédent.
Si *"' tend vers une limite déterminée et si A, , B, , sont
respectivement de degrés m et k en n, U (11) sera de degré 2 (i? — m). Ainsi, nous avons à déterminer la limite de
sachant que les polynômes F sont liés par une relation de récurrence
A.{") F , -f B,{n)V„ + W^,MA„Xn) F , = o .
Soient h, , n^, . . . , Kt,„, /»' — '« racines quelconques de l'équation ïïj|fc m((") ^ O' ^"^ sorte que
n„*„,('0 ^^(n — "■)(" - «.) • • • (" - «),-,„) nL„('0 •
Posons
Nous aurons à étudier la limite de
ou simplement de
f^-TT- X
puisque !!'(«) est un polynôme en n de degré ^ — m. Or, la relation de récurrence peut s'écrire
OU
x-^x ^^x ^-tX---+- '
ou encore
n.,»-,.,(«)X^ J'0«n,+St('0(''-« -0("— « — 2) • ■ • («-"k„— 1>„ +//„,(«)X("— «,)(«— «J-(«-«i J(«-«.-0-(«—"i,-0-«,.^.=o
et les coefficients de »„__ , !<„ , h„^, sont d'un même degré en n, de degré 2 k — m.
On est ainsi ramené au cas précédent.
39. La convergence a lieu en tous les points du plan où les modules des racines d'une équation
que nous écrirons
r - 2[P(x, y) + i Q(x, y)] ^, + i = 0, sont inégaux, ce qui suppose que
Divers cas peuvent se présenter. Les régions de divergence peuvent être de simples arcs ; elles peuvent être formées de une ou plusieurs courbes fermées ou non.
Elles peuvent ne pas exister.
IIL — Second et troisième cas.
40. ,''"^' tend vers zéro : ici \L\ = i et nous ne pouvons rien
A,VÏÏ(n)
dire sur la divergence ou la convergence. Parfois, l'application des règles
connues relativement aux séries donnera la solution de la question. Mais
on ne saurait énoncer aucune proposition générale.
En fait, la fonction
a, quelque soit ;;;, un ou plusieurs points singuliers sur le cercle de rayon un tracé dans le plan de la variable X et il y aurait lieu d'étudier l'allure de la fonction sur ce cercle.
