IV. — Applications

42. Nous étudierons ici le cas général du développement en fraction continue de la fonction Z(;^) vérifiant l'équation diflérentielle :

(«^ + l'X^l + à)'^-^ = 0^^+ î)Z(0 + 11(0- Nous avons ici (§ 31)

avec

B,^,=—\{2nac+p)[2ac{n-^i)+pY-^{ad-\-bc)[2n'ac-ir2{ac+p)u+p]-^pq\^

{2n+i)ac-\-p [2{n-\-i)ac-\-p][2nac-\-p\

, . n{tiac -\-pyin{ad — bc)a — bp-\- aq\[n{ad — bc)cn — cg -\-pd^

^"^ ~ {2nac+py

et, comme nous allons le voir, ce cas se ramène facilement à celui où n (?;) est un polynôme.

Nous avons à étudier le rapport

Posons

Q=:2ac(ad-\-bc'), M = — 2ac, 5 =; 4«\'%

ad-bcV V. U„

(ad-bcV r

( 58) d'où

on aura

et la relarion de récurrence s'ccrit

nOO--^ X TT^ + 5„^,TF^ +1=0.

Posons encore

a (i — h c H.. IV..

R^ devient, en négligeant la partie qui tend vers un,

Il -t- 1 n

et la relation de récurrence prend la forme (^''—''0("—"J(«—"7X" — ''8)(«-". )""'..

et devient à la limite

ad — bc , l , ail-\-bc\ , ad — bc

a- — 2[ac:^-\ ^ a -j = o.

relation déjà trouvé dans le cas où p ^ o.

Le problème de la convergence est donc résolu : il y a convergence dans loiit le plan, sauf sur le segment rectiligne joignant les points d'affixes __b d a ' ~ -

43. Laguerre *) a donné les développements des fonctions particulières que voici :

*) Laguerre, loc. cit.

( 59 ) qui vérifie l'équation différentielle

le développement converge dans tout le plan, sauf sur la coupure recliligne joignant les points + i.

qui vérifie l'équation diflérenrielle

le développement converge dans tout le plan, sauf sur la coupure joignant les points + i.

qui vérifie l'équation différentielle

le développement converge dans tout le plan, sauf sur la coupure rectiligne joignant les points + i.

V. — Étude des fonctions Z(0 vérifiant l'équation différentielle:

Ok + ^)^^ = (P-^ + '/)^(0 + n(0-

44. Cette équation est un cas particulier de l'équation étudiée par Laguerre où l'on ferait c = o, d = i. Mais la relation de récurrence devient

^„^, —(.Pl+^^ + '])U„-\-n(:na' — bp + (^ q) U„, = o, ^„^, - (Pl+ an -\- q) F„ -^ nO'a' - bp + aq) [\, = o, et nous avons à étudier le rapport

R =-^X -f^X n(na' — bp-\-aq),

( 60) posant

^^na' — bp-\- aq » »„,

a:{n— ï) m„^, ît„ '

et ia relation entre les polynômes V^ devient

na" — bp-\-aq p ■^ -{- a n -\- q

l'équation en a est ici

d'où a = = i et |a,| = [aj = i : quelque soit j^. Il y a doute

sur la convergence.