Revenons à l'équation

et à son développement, défini par les relations de récurrence

[2(M+i)ac+^][2;/ac+/)] ' - . n(^nac-\-p\n{aà — hc)a — hp-{-aq\n{ad — hc)c — cq-\-pà'\

^"■^~ (2>iac-\-py •

Nous savons

1° que ce développement converge dans tous le plan de la variable

;^, sauf sur le segment rectiligne joignant les points d'aiïîxes , ;

2" que les relations de récurrence

(65 ) où

. .>/(>; a i: — /')[«(a d — b c)û — bp-{-a </][» (g ^/ — /> ç) f — c ^^ -}-^ ^i] '^"''~ i2Hac-\-py

définissent des fractions "' représentant la tonction dans tout le plan

ti.i

de la variable ;^ sauf sur la coupure circulaire joignant les points transformés de

par rayons vecteurs réciproques, le pôle étant l'origine et la puissance étant un, le segment circulaire en question faisant partie d'un cercle passant par le point ;;^ = o, mais ne contenant pas le point ^ = o, ce qui le définit sans ambiguïté.

51. On peut retrouver ce dernier résultat directement. On a en effet à étudier l'équation

ad -\- bc \ , ad — /' c

, ad —

rapport

/ ad ^ bc \ ai - 2{ac-\ ^ iy+-

et l'on peut leur substituer le rapport

et l'équation

, ad^bc de -\ ^ 1

L'égalité des modules a lieu sous condition que

, ad -A- b c ac-\ ^

M + Ni,

ad — bc ^X ::;

posant

ac = n, + n,/,

ad -{- bc — 2-/^, + 2 1^ i,

ad — bc = 2?,-\- 2f:J, il vient

M -r- <^/--P- + /■^P^)('^'' + y') + (^,P, + n.pJ-v + (^.p, - ^,?,)y

(^^ + r)(p: + pD

M ^ (x. p. - X. P J (-^" + JQ + (n. p. - ^, pj ^ - (^, p, + n, f,)y

Si Ton change :( en — , les conditions

— 1 < M < I , N = 0 deviennent

j ^ (n,-v - n^y + x.)p, + (n.x - n,^ + xJp, ^ ^ .

conditions qui, nous l'avons vu, s'interprètent comme il suit : le point :^ doit être sur le segment rectiligne joignant les points d'aftixes

donc les conditions

— I < Ai < I , N — o

équivalent à celle-ci : Je point :^ doit être sur le segment circulaire transformé par rayons vecteurs réciproques du segment rectiligne précédemment considéré, le pôle de transformation étant le point t^ = o et le module de la transformation étant un. En ce cas, et en ce cas seulement, la fraction continue considérée divergera.