EXTENSIONS DIVERSES

52. La méthode employée aux n°^ 37 et 38 suppose simplement que les termes de 3 réduites consécutives

soient liés par des relations de récurrence

^(«)-^„., +£(«)■ ^., + coo-^,.-. =0,

où A(ji), B{ji), C(ii) sont des polynômes en ;/ et ;^ qu'on suppose (n° 38) d'un même degré en n.

Si l'équation

A{u)-{- B{u).x^ C(n).oi' =0

prend pour n infini la jormc

A-\- By.-^ Cyr = 0, que nous écrirons

yr — 2{p -\- qi)y-\- i = o ,

il ne saurait y avoir dùule snr la convergence de la fraction continue hors du cas où les modules des racines a^ , a, de cette écjuation sont égaux: ce qui suppose les relations ^ = o, p' <^ 1.

53. Souvent, la région où la convergence apparaît comme douteuse est région de divergence. Nous l'avons vu à propos des fractions con-

tinues de Laguerre et nous le verrons encore à propos de la plupart des fractions que nous allons étudier.

J'observe :

1° Que sans doute il n'existe pas plus pour les fractions conti?iues que pour les séries des caractères absolus de convergence.

2° Que les aires de convergence douteuse que donne la méthode sont formées pour l'ordinaire d'arcs de courbes, ainsi que le veulent les conditions générales

pour ce motif, les fractions continues réalisent en général h prolongement analytique.

3° Que la représentation par fractions continues introduit des coupures et renseigne par cela même sur les singularités des fonctions étudiées, ce que ne fait pas le mode de représentation le plus général connu jusqu'ici, je veux dire le développement en séries de polynômes de M. Mittag-Leffler.

54. 1° Je rappelle ici que les termes des réduites , " d'une frac-

tions continue

vérifient les relations de récurrence

2° Je ferai souvent usage de l'une des transformations que voici. On a identiquement :

' + i+r appliquant cette identité à la fraction continue

il vient

ÏIVÏV

JVISVII

appliquant la même identité à la fraction continue

il vient

ï'" riv

ÏVÏVI