é.io

d'où

Rappelons, !»i6' /ofi ^oîir toutes, la suite des calculs. Je considère la série

qui converge et diverge en même temps que La suite des réduites. Si le rapport

U ,V - U V. . FF., >r F„ F„

où les fonctions T^^, , F^ , F„, sont liées par la relation

tend vers une limite moindre que un, il y a convergence. Or, si les modules des racines de l'équation

(2) ^oc=-(/ + |)a+I=0

V V obtenue en faisant n infini et -~- ^z. —^ = a dans l'équation précé-

dente 5o;/i inégaux, la limite est moindre que lui, il y a convergence. Si ces modules so)it égaux, ce qui nécessite que l'équation étant écrite

a^ — 2 (j) -j- ? 0 ^ "h 1=0 on ait

et seulement dans ce cas, il y a doute sur la convergence. Dans le cas présent, l'équation en a peut s'écrire

(|ay-2(2(+i)x(7-)+i=0

et les modules des racines de cette équation sont égaux en même temps que les modules des racines de l'équation (i). Il y a donc doute sur la convergence quand

ce qui donne lieu aux relations

et cela a lieu si la variable - a une valeur réelle négative moindre que un : Le point :i^ — i étant point singulier pour la fonction

la coupure est lieu de divergence certaine et la fraction continue (i) représente la fonction dans tout le plan de la variable :(, sauf sur la coupure allant sur 0 x du point — i à — 00 .

je. Gauss a donné aussi le développement ,1 +< 2^

(3) log

Ici,

et nous avons à étudier l'équation

' (an — i)(2« +0 que nous écrirons

et qui devient à la limite

La région de convergence douteuse est définie par les relations

où

y = o, — x' <Cx<Cx'c.a.d.x(x — i)>o avec x(x4-i)>o et comprend la partie de l'axe des x extérieure au segment — i, + l.

Les points — i, -|- i étant points singuliers logarithmiques de la fonction, la région de convergence douteuse est région de divergence certaine et

La fraction continue (3) représente la jonction log — L A ^am tout

le plan de la variable 7^, sauf sur les coupures allant sur Ox du point

-\- I au point -\- co et du point — i au point — 00 .

57. Ces fractions continues dérivent d'une fraction continue beaucoup plus générale donnée par Gauss et que je vais maintenant étudier. Si

représente la série hyper géométrique, Gauss a montré que la fonction

admet le développement en fraction continue

, (« + 0(ï + i-l^) , (li + 2)(y + 2-a)

, (. + 2)(y + 2-^) (fi+3)(T + 3-°^)

et, en général,

2nn

sin

La forme transcendante de cette expression ne nous permet pas d'employer la méthode indiquée et, pour ce motif, nous allons transformer la fraction continue.

On peut écrire, en posant / = — , 6 = '-

et, vu

' + 'ïj + ^ — -

d'où

j ^ (g -I- n - 2)(y - fi 4- ,-, - 2)(^ -I- „ - i)(y - g 4- „ - l)

avec

n-f-l n n n ti—i

(76) ou

— A rt.^ — £a+i=o, ce qu'on peut écrire

Passant à la limite,

(Ty-^[^^-](i)+--

Les conditions d'égalité des modules sont

le point 7^ doit se trouver sur la partie de l'axe des x située à droite du point un. Le point ;^ = i étant le seul point singulier de la fonction, la fraction continue transformée représente la fonction dans tout le plan, sauf sur la coupure allant du point x =; i au point x ^ co .

58. Si dans la formule (4) on fait {i := 0 et qu'on change y en Y — I, l'identité

montre que le développement donné devient celui de la fonction

^ ' ' ^' '^-^ T ^ ^-.Cï+O^ ^ ï(Y+0(ï + 2)^ +

Ce développement est donc valable dans tout le plan, sauf sur la coupure -}- i, -j-"^" Cas particuliers :

1° (t + uy ^ f^ F i^- i., <^, ?., -^);

donc

et le dévehppetneiit conespoiidaiil sera valable dans tout le plan, exceptée la coupure hidiquée.

2° Il en est de même des fractions continues

rencontrées par Gauss dans sa (( Thcoria motus corporum ccekstiutn, etc. ». 3° La fraction continue

étudiée par Tisserand *) aniverge dans tout le plan de la variable z, iauf sur les segments -]- i à -j- co , — i à — ce de l'axe des x.

II. — Les fractions continues de Lagrange. 59. Lagrange a donné le développement de la fonction

*) Tisserand, Mécanique céleste, tome I, p. 285.

^'~(5" + 0(6" + i)^ ' ^^-(6o, + i)(7co + i)^

^"~[(2«— l)w+l](2«(o+l)^ ' ^^"*' (2W0+l)[(2«+I>0+lP ' ■••'

usant d'une transformation déjà indiquée, nous écrirons cette fraction continue

et nous aurons ici

, . , [2(«— l)(o + i][(2;;— i)co+ iy(2«<o+ l)

""■ |f"^[(2«-I>o+l][(2Hto+l)]'T'(2Kto+l)[(2«+I>4-l]^^

écrivant cette dernière équation si

les condirions de convergence douteuse seront, comme à l'ordinaire,

Nous allons examiner quelques cas particuliers.

éo. 1° w = I

z(o = iog(i+0.

convergence douteuse sur la coupure allant du point — i à — ce : la fraction continue (5) représente la jonction dans tout le plan, sauf sur la coupure allant du point — i à — 00 .

Z(0 = arc tang;^,

2(.x^-f) -2xy

Si V = 0, p' ne peut être moindre que u)i.

Si X = o, la condition p' <^ 1 s'écrit (v — i)(y -|- i) > 0: la fraction continue représente la fonction dans tout le plan, sauf sur la partie de l'axe des y extérieure au segment + ;.

la condition q ^ o suppose

y = 0 ou v' — 3 -v" Si )» = 0, la condition p'' •< i donne

(8o) Si y' = ^ x^ la condition p' <^ i s'écrit

X > 0 avec x(8 ,v' — i) >> o .

Les coupures suivent les droites y ^ dl -^'/T; «''«^ '^otH des points

singuliers ^^ ^= ^ — i à l'infini.

Le développenienl représente donc la fonction dans tout le plan, sauf sur les trois coupures définies.