II. — Les fractions continues déduites du tableau

6. Aux fractions rationnelles du tableau correspondant à une fonction de la variable x^, M. Padé fait correspondre comme il suit des fractions continues.

Il remarque que la plupart des fractions continues étudiées jusqu'à ce jour se réfèrent à 3 types principaux :

où les quantités a, a., b, ^, . . . sont des constantes.

Puis M. Padé classe d'abord les fractions continues en deux groupes définis par leurs formes

(I" Groupe) fl,-| ^ (IP""' Groupe) -^

et après avoir rappelé qu'une réduite est la fraction rationnelle obtenue en réduisant une fraction continue limitée au quotient de deux polynômes

entiers, il montre que les termes de la réduite -~ :

-^ = a, -j '- (I" groupe),

(U""' groupe)

sont définis par l'unique loi de récurrence

avec

. . ^ î^,=a,, ^'',= 1, ^^='' /'.+ ='-> F^=:fl, (I" groupe) '^'^JL7=a,, r=a,, L^,=7.,a^, r^=a,d^4-a^ (H'- groupe) ,

d'où l'on déduit les formules :

d" groupe) { ^ ' U V- u'f

.. UF-uy u r-uy^

(n-' groupe) ^ ^ ^^^

ia,=F, . X

Aux suites de polynômes U, F définies par les relations (i), (2) correspond donc toujours une .fraction continue ; même, en effectuant certaines multiplications sur les éléments de la fraction continue, on ramène celle-ci à une fraction continue dont les éléments sont des polynômes. M. Padé se borne alors à la considération des fractions continues simples, c'est-à-dire aux fractions continues dont les éléments sont de la forme

(J, , . . . , ^, , B^, ... , B^ constantes) ,

ce qui nécessite que les polynômes U, V, qui en constituent les réduites, aknt tous un terme constant non nul et que les quantités U.F.^^ — ^+,^i se réduisent toutes à un monôme entier en ^, ayant un coefficient différent de xéro et un degré croissant quand i augmente.

7. Il suit de ces propriétés qu'il ne peut y avoir qu'une seule fraction continue simple, telle que ses réduites successives soient respectivement égales à des fractions rationnelles irréductibles données

et ici se pose la question : Comment doivent être choisies, dans le tableau des fractions distinctes, des fractions pour qu'elles soient les réduites d'une fraction continue simple ?

Il faut que: i" la première fraction de la suite appartienne au bord du tableau ; 2° les carrés contenant deux fractions consécutives quelconques soient toujours contigus ; 3° une fraction quelconque de la suite soit toujours plus avancée dans le tableau que celle qui précède en ce sens que la somme des indices doit aller en croissant d'une fraction à l'autre.

Ici, M. Padé revient à la considération des types ^, ^, ^ et appelant fractions continues régulières les fractions continues simples dont, à l'exemple de celle-ci, tous les numérateurs partiels ont le même degré, ainsi que t u'î les dénominateurs partiels, avec exception permises pour

(I" Groupe) a^, a ,

(IP-' Groupe) a,, a^, a^,

il montre qu'on peut choisir de 3 manières différentes, et 3 seulement, des fractions du tableau de manière à obtenir les réduites successives d'une traction continue régulière:

1° En prenant des fractions consécutives situées sur une ligne horizontale ou verticale, ce qui donne la forme ^.

2° En prenant des fractions consécutives situées sur la première diagonale principale, c'est-à-dire faisant partie de la suite

ou sur une parallèle à la diagonale principale, ce qui donne la forme flj.

3° En procédant cùmmc il suit : quand on passe d'une fraction à la suivante, on doit se déplacer parallèlement à l'un des bords du tableau, si l'on passe encore à la suivante, on doit se déplacer parallèlement à l'autre bord, et ainsi de suite; la forme générale du chemin est ainsi celle d'un escalier à degrés égaux ayant pour direction générale celle de la diagonale principale; les deux premières fractions de la suite doivent appartenir à la première file hori:^ontale ou à la première file verticale. On obtient ainsi la forme S-

8. Conformément à cette classification, j'étudie en premier lien les fractions continues qui correspondent à des suites de fractions rationnelles consécutives toutes sur une même ligne horizontale ou verticale du tableau (forme ^).

Les résultats obtenus pour les fractions de cette catégorie se basent sur la nature des singularités de la fonction génératrice Z(^).

En second lieu, j'étudie les fractions continues qui correspondent à des suites de fractions rationnelles consécutives toutes sur une même diagonale principale (forme d^) et j'étends les résultats à des fractions de même nature que M. Padé n'a pas considérées.

Ici, c'est par l'étude directe des relations de récurrence liant les réduites que j'arrive à fixer les conditions de convergence.