La fraction rationnelle

u; ^o + CL ^ + q,„ ^^ + • • • + CL „„, <"-' + g,, c

est définie par cette condition : que les m -\- p -\- i premiers termes de son développement suivant les puissances entières et positives de la variable 5;, soient identiques aux m -\- p -\- i premiers termes du développement en série

de la fonction Z(;^) qui correspond au Tableau des fractions ~y^ . Identifions les termes du produit

aux termes de U'". Il vient p

(0 {cu =5^-^::,v.+ ---+(-o^^;'„5„,

Q:„„ = 5,„ - />'",5„,, + ...+(- iyB;j„^, o = s. - Bi^s„, + ••■+(- i)^5;;5„,^^, ,

Je remarque qu'ici l'indice p est un entier positif déterminé au lieu que l'indice m varie de zéro à l'infini.

Or, M. Hadamard *), à propos de recherches sur les séries, a montré que, si les modules des pôles a , a,, . . . , a a de la fonction repré-

sentée par la série ^ 5„ :^' vérifient les inégalités

/« coefficients B'" tendent, quand m croit indéfiniment, vers des limites B- , telles que l'on ait

chaque pôle multiple devant être compté pour autant de pôles simples qu'il entre d'unités dans son degré de multiplicité. Au contraire, si

|a,| ^ |aj ^ ... ^ |a; = \^^J ^ \x^J ^ . . . ,

il se peut que les quantités B" tendent vers des limites qui ne soient plus les fonctions symétriques des affixes des pôles x, , a, , . . . , y. et même ne tendent vers aucune limite.

Il est donc à prévoir que, si les inégalités (3) sont vérifiées, le cercle

•) J. Hadamard, La série de Taylor et son protonoement atmtytiqtie, p. 41.

de convergence de la série

a pour rayon |a | .