S„- CL.. S„, . . . S.„

d'où

•^m-hp •Jni-+-p—l

ii—p-hl

*) On sait que si -j^ , -j~ sont deux réduites consécutives du iahhau, la différence Uj^^Pp — Up F^i se réduit à un ferme monôme.

( 15) Quant à 57„, le système (2) nous donne semblablement

hP ■

et on en conclut

^f:-Ff l . .

posant ?z — p 7^ h, il s'agit donc de déterminer le ravon de convergence de la série

Ji Hp Oi— ^— 1

•Je— 2f

yt y

OU, plus simplement, le rayon de convergence de la série

Si^f^i

'^i-tf-1 •^k^p-2

puisqu'on a convenu de supprimer de la suite (S') les tractions -pr où

V s'annulerait pour la valeur de ;^ considérée.

M. Hadamard*), recherchant un polynôme ?(;<;;) tel que le produit d'une série donnée f(:C) P^"" <^^ polynôme soit une série convergente dans un cercle de rayon supérieur au cercle de convergence de f(jO, a rencontré, lui aussi, ces rapports de déterminants.

Écrivant avec lui

nous aurons à chercher le rayon de convergence de la série

Or, on sait, d'après Cauchy, que ce rayon a pour expression

' \Dk.A

lim

Mais si les inégalités (;^) sont vérifiées, on sait aussi que

limfÎD

i,fi

le rayon de convergence de la série (S') est donc bien (a^^,).

II. Convergence uniforme. — Si pour une valeur déterminée ;^^ de la variable ^ les suites

yt ' yp ' yp '

(ligne horizontale de rang p -j" ^ '^^ tableau)

*) Loc. cit., p. 40.

yq -, yq J yq > • • • > yq > ■ ■ ■

(ligne horizontale de rang q -\- 1 du tableau)

tendent l'une et l'autre vers des limites déterminées, ces limites sont identiques.

Ut , [7* ,

Il suffit de démontrer que si les fractions -pj , d'une part, jpjiri d'au-

tre part, tendent vers des limites finies et déterminées quand l'indice k

croit indéfiniment, la diflérence de ces réduites tend vers zéro.

Sous ces conditions.

VI VI - \vi v\-')

tendra en effet vers zéro.

On a

/^f Dk ,*+;+!

(- ly-

ypyp^>

Sk+p ... Sf.

(-lyx

ou, posant k — p -^ i ^ h.

Sk ■ ■ ■ 5,^

^,.. F^ - - F{ Ft

fe-t-p-t-I

Pour la valeur de :^ considérée, V^, F{"^' tendent, comme les ré-

( i6 ) duites, vers des limites déterminées. Il suffit donc de montrer que, pour cette valeur de :(^, ''^ t^'^'"^' tend vers zéro lorsque k (ou /;) croît

indéfiniment.

Il en est bien ainsi, car la série

a pour rayon de convergence |a,,^J, nombre supérieur à \:(^^\, puisque, par hypothèse, la suite j^r , de rayon de convergence W \, converge au

yuunji>jitj lo. ouiL^

iiiyvjii *j»

\^\Jll V \,i gv