Si la suite

qui n'est autre que la suite

S„, 5„ + Sx, S„ + S,x + 5,x% ..., S„ + S,x+ ... +5„x", ...

du développement en séries de puissances limitées de la fonction Z(;^), converge dans un cercle de rayon R, les suites

y y yp ' i/p ' • ■ ■ ' yp ' ■ ■ ■

convergeront dans le même cercle et y représenteront la fonction Z(;() tout comme la suite (u). Il se pourra même, sous les conditions que nous allons énoncer et qui sont les conséquences immédiates de l'analyse précédente, que les suites («j') convergent et représentent la fonction Z(:^) dans des cercles de rayon R "^ R:

Etant donné une série de puissances entières positives et croissantes, représentant une fonction Z(j^ dont les pôles les plus rapprochés de l'origine sont intérieurs à un cercle (C) lui-même intérieur aux pôles suivants, chaque pôle multiple étant compté pour autant de pôles simples qu'il existe d'unités dans son degré de multiplicité, la fraction continue déduite de la ligne horizontale de rang p du tableau de M. Padé représente la fonction

Z(;^) dans un cercle de rayon la^,^,!, où a^__ est l'affixe du pôle le plus rapproché de l'origine parmi tous ceux qui sont extérieurs au cercle.

Si tous les pôles sont simples et de modules différents, la représentation a lieu dans des cercles d'autant plus grands que la ligne horizontale choisie est plus éloignée dans le tableau. S'il y a des pôles de même module, multiples ou non, il y a stationnement, en ce seris que plusieurs lignes horizontales consécutives représentant la fonction ont le même rayon de convergence.

S'il y a enfin des points singuliers essentiels, le stationnement se prolonge indéfiniment ; aucune des fractions continues considérées ne représente la fonction en dehors du cercle sur la circonférence duquel se trouve le point singulier essentiel le plus rapproché de l'origine.