MERE DE KE T

0Zr7Zk

en posant selon l’usage 7° — Sup (7, o). D'où :

THéorÈmE (5.6). — Le 1°" sous-groupe de dimension de Gmod pl, noté G; n est constitué par les éléments 3€ G dont les représentations (5.3) HZ,3/7 v& tient

JP

DRE PDOUT TOUL j.

Dans le cas où L — 1, on obtient les groupes de dimension modp, déterminés par Zassenhaus | 36 |.

Ces N-suites correspondantaux différentes valeurs de l’exposant se déduisent facilement les unes des autres. Ainsi, si k << h' :

(5,7) Gp = Gp pr G;

et, en particulier, Gp Gps, p Gÿ.

En effet, siz—Il;z7 "eG,,r, nous avons, pour tout r tel que 1Z1<7y — 1 :

ei de RESTE donc épli-W#ii ÿ, ce qui équivaut à : pl #0 jpl-h, Ainsi ë k. Ps ; IL=; zh ë E Gjpwn pl d ou G;,pr (eZ Gjphn ph ee

et l’on montre de même que G;,p# ) Gjph 4 ph Ge

Le théorème (5.4) nous permet de déterminer une N-suite dans G chaque fois que nous avons une fonction F(7, j) vérifiant les conditions (5.2). Prenons, en particulier, F(4,j)=ri+sj(rets entiers 1). Nous aurons d’abord à calculer

Inf F(ipi, k—h)=— Inf riph+s(k—h).

0h Zk 0ZAZR Si p, ret s sont fixes, la borne inférieure est atteinte pour } — 0 si z est suffi-

samment grand (en tout cas si À des irrégularités apparaissent pour

r log p les petites valeurs de z.

Prenons d’abord r —s—1. Alors la borne inférieure est :+#, quels que soient z et p. Par conséquent 6(z —1)— Inf(ki+ Lots

(5.8) La N-suite de G associée à la filtration définie par F(r, j)—1+ 7 est composée des sous-groupes H;— GG? ...G;.

Soit maintenant F(7,7)—1+ 27. Alors nous avons

Inf (ip + 2 (k— h)) —{i+0k,

0<AZK

sauf pour p—2,i—1,où Inf 2°+2(k—h)=—2k#. Désignons par {x} le plus

0ZAZK

petit entier +, de sorte que {xl—1<æx=}x}. Alors:

(5.9) La N-suite de G associée à la filtration définie par F(7, j)=1+ 2j est lasse Route Une composée des sous-groupes K;= G/ EX Ur ...G; Si p est impair,

i) er oi

fi > RARES LUZ EU) CLR Gr GS Per NE GRPOUD= 2

Les filtrations que nous venons d'étudier vérifient, outre (5.1), la condition :

(5.10) F(z, o) <œ. et LimF(r, J)—= © pour tout 11. je

F(i, o)< + pour tout rest la condition nécessaire et suffisante pour que la N-suite (H;) associée à la filtration considérée soit séparante ; lim F(4, 7) — æ 1}

est la condition pour que z”* tende vers 1 [au sens de la (H;)-topologie | quand k tend vers æ, quel que soit :&G. Nous appellerons désormais p-filtrations les filtrations de &, vérifiant (5.1)et (5.10).

Tatorème (5. 11).— Toutes les N-suites de G associées aux p- -filtrations définissent sur G la même topologie, que nous appellerons la p-roPoLoGIe DE G.

Soient, en effet, + et v’ deux p-filtrations de &,,, (H;) et (H;) les N-suites qui leur sont respectivement associées. Nous devons montrer que pour tout: 1 on peut trouver un j tel que H;CH;. Soit z — IL,z2" comme en (5.3). 3e H; équivaut à 4, (:, r) pour 1Zr Zi— 1, puisque d,(:, r) = 0 pourr 1(5.5). Orla condition (5.10), vérifiée par set 6’, montre que D,(7,r) x pour tous #.r et que lin D,(J,;r)—=c pour tout r fixe. On peut donc choisir 7 assez grand pour

Fes

que D, (7, r)=®,(1, r) pour tout r, c'est-à-dire pour que HCH..

Remarquons que les p-filtrations ne définissent pas toutes sur &, la même topologie, puisque certaines des topologies associées ne sont pas séparées [cf. (5.6)]. Par contre, toutes les p-filtrations séparantes de &, [caractérisées par F(4, 7) pour tous ?, 7 << æ ] définissent sur &, une mème topologie qu’on peut caractériser ainsi : on considère &, comme le produit direct de ses composantes homogènes; on prend sur chaque composante la topologie p-adique et sur &, la topologie produit (rappelons que si l’on prenait sur chaque composante la topologie discrète on obtiendrait sur &, la topologie associée à l’ordre), Il résulte de cette interprétation que &, est complet (comme produit de groupes complets) pour la topologie associée à une p-filtration séparante | par exemple + w, comme en (5.8)]. Ainsi le complété G, de G pour sa p-topologie se trouve plongé canoniquement dans &,,, et c'est pour cette raison que nous avons pris comme anneau de base l'anneau des entiers p-adiques et non l’anneau des entiers rationnels.

Ce résultat s'établit plus simplement en considérant toutes les algèbres de